高考理科数学二轮专题复习讲义：专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用Word含答案

1、第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018I卷已知零点求参数范围T91 .基本初等函数作为高考的命题热 点，多考查利用函数的性质比较大 小，一般出现在第 511题的位置， 后时难度较大.2 .函数的应用问题多体现在函数零 点与方程根的综合问题上，近几年 全国课标卷考查较少，但也要引起 重视，题目可能较难.in卷函数零点个数的判断T152017i卷指数对数互化运算及大小比较T11出卷已知零点求参数值T112016出卷指数函数与骞函数的大小比较T6讲练结合考点一基本初等函数授课提示：对应学生用书第 7页悟通一一方法结论1 .利用指数函数与

2、对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的备用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对 数值用对数函数的单调性进行比较.(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结 合图象进行比较.2 .对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对 数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解.全练一一快速解答1. (2017高考全国卷I )设乂，v, z为正数，且2x=3y= 5z,则()B. 5z<2x<3yD . 3y<2x<5zA. 2x<3y<5zC. 3y<5z<2x解析：由

3、 2x=3y = 5z,可设(*J2)2x=(印3)3y = (55)5z= t,因为 x,V, z为正数，所以t>i,因为小=623=68,般=6?=69,所以正<33；因为近=1025 =1监2甯=1J25,所以山5/5,所以乐<表< 羽.分别作出y=(小)x, y=(赤)x，y=(y/5)x的图象，如图.则 3y<2x<5z,故选D.答案：D2. (2016 高考全国卷 I )若 a>b>0,0<c<1，则()A. log ac<log bCB. logca<logcbC. ac<bcD. ca>cb解析

4、：法一：因为 0<c<1 ,所以y= logcx在(0, + )上单调递减，又 0<b<a,所以 logca<log cb.法二：取 a=4, b=2, c=2,则 log4 2= - 2>log2 g,排除 A； 4义=2>2"2，排除 C； gj W排除D.故选B.1B.4)若f(x)是哥函数，且满足答案：B3. (2018吉林实验中学摸底1 A.2C. 2D. 4解析：设 f(x)=x：由耦卜,=3 = 2,得 a= log3 2,f(9 1= 3 2 = 1答案：B则满足？(x+ 1)< ?(2x)的x的取值4. (2018高考

5、全国卷I )设函数？仅)=/'"°11, x>0,范围是()A. (00, 1B , (0, +°0 )C. (-1,0)D.(巴 0)r解析：法一：当 f+1w6 即 xw1 时，？(x+1)v?(2x)即为 2一(x+ 1)V22x,即一(x 2x< 0,+ 1)< - 2x,解得 xv 1.因此不等式的解集为(一8, 1.x+1<0,当f时，不等式组无解.2x> 0当个+1,0' 即一1vxW0时，？(x+1)v?(2x)即1<2一2x,解得x<0.因此不等式的2x< 0,14解集为(-1,0)

6、.x+ 1 >0当*2x> 0,即 x>0 时，？(x+ 1) = 1, ?(2x)= 1,不合题意.综上，不等式？(x+ 1)v?(2x)的解集为(一8, 0).故选D.2 x, x<0,法二：. ?(x)=«1, x>0,，函数？(x)的图象如图所示.由图可知，当x+ 1W0且2xW0时，函数？(x)为减函数，故 ？(x+ 1)v?(2x)转化为x+1 >2x.此时x< - 1.当 2xv0 且 x+1 >0 时，？(2x)>1, ?(x+1)=1,满足？(x+1)v?(2x).此时一1 vxv 0.综上，不等式 ？(x+ 1

7、)V?(2x)的解集为(一8, - 1U (-1,0)=(-oo, 0).故选D.答案：DjT类题通法/基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数 a的值不确定时， 要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于哥函数y=x"的性质要注意 的0

8、和“<0两种情况的不同.讲练绪合函数的零点授课提示：对应学生用书第 8页悟通一一方法结论1 .函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.函数F(x)=f(x) g(x)的零点就 是方程f(x) = g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.2 .零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0,那 么函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在 cC (a, b),使得f(c) = 0,这个c也就是方程 f(x) = 0 的根.典例(

9、1)(2018南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且 x>0时，f(x)=ln x-x + 1,则函数g(x)=f(x)ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：当 x>0 时，f(x)= ln x- x+ 1, f' (x) = ：1=Lxx,所以 xC2I /y=(0,1)时，f' (x)>0,此时 f(x)单调递增；xC (1, +00)时，(x)<0,此时-f(x)单调递减.因此，当 x>0时，f(x)max=f(1)=ln 1 1+1 = 0.根据函数一，“危)f(x)是定义在R上的奇函数作出

10、函数y=可刈与y=ex的大致图象，如图所示，观察到函数丫=£仅)与y= ex的图象有两个交点，所以函数g(x)= f(x) ex(e为自然对数的底数)有2个零点.答案：C(2)(2017高考全国卷出)已知函数f(x) = x2-2x+a(ex 1 + e x+ 1)有唯一零点，则a=()1 1A.一己B.o2 3ex1+e x+"M1 e x+1 = 2,当且仅当x=1时取.x2+2x=(x 1)2 + 1< 1,当且仅当 x=1 时取.若 a>0,则 a(ex 1 + e x+1)>2a,1要使f(x)有唯一零点，则必有 2a=1,则a=-若aw。，则f

11、(x)的零点不唯一.故选C.答案：C苦，x<0,(3) (2018高考全国卷I )已知函数？(x)=*g(x)=?(x) + x+ a.若g(x)存在2ln x, x>0,个零点，则a的取值范围是()A. -1,0)B. 0, +8)C. 1 , +°° )D . 1 , +8)解析：令 h(x)=x a,y +则 g(x) = ?(x) h(x).、在同一坐标系中回出 y=?(x), y= h(x)图象的本意图， 如图所 *示.若g(x)存在2个零点，则y=?(x)的图象与y=h(x)的图象有2卜网个交点，平移y=h(x)的图象，可知当直线y= xa过点(0,

12、1)时，有2个交点，此时 1 = 0a, a = 1.当丫= x a在y=x+ 1上方，即av1时，仅有1个交点，不符合题意.当y= - x- a在y= x+ 1下方，即a> 1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1, +8).故选C.答案：C1 .判断函数零点个数的3种方法行蒜口当函数对应方程易解时，可令,3)=。，则方程解： 的个数即为零点的小教：南太印扁店星工看乐性蚤理；场合函&的图象3强露 七斗三口(如犁调性)确定函赦有多少个零点:'诬。I而于始意向函M不能去瓦曲4员画后图就33： ；通量分解转化为两个做画出的函数图象交点向题， IJ f2 .利用函数零

13、点的情况求参数值(或范围)的3种方法'宜用法u而a基点看在涯定一鼠而，木摹不讴m凳围一 ，二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 分得先珞参瞰分离，转化成求函鞍的也城问底加以 赛缴法解决教形U先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中; 区的空上巴墓的叫殳国员数里变令啰号i练通一一即学即用2, x>2,1. (2018福州质检)已知f(x)=Ox，若函数g(x) = f(x)k有两个零点，则3, x<2两零点所在的区间为()A.(巴 0)B. (0,1)C. (1,2)解析：在平面直角坐标系内作出函数D. (1 , +OO )f(x)的图象如图所示，由图易得若函数g(x)=

14、f(x) k有两个零点，即函数f(x)的图象与直线个交点，则k的取值范围为(0,1),两个零点分别位于(1,2和(2y= k有两+ °°)内,故选D.答案：D2. (2018洛阳名校联考)若函数f(x)满足f(x1)=束上7 fx尸1当 xC 1,0时，f(x) = x,若在区间1,1)上，g(x) = f(x)- mx+ m有两个零点，则实数m的取值范围是解析：因为当 xC 1,0时，f(x)=x,所以当 xC(0,1)时，x 1C( 皿由f(xT)=R可得,所以"六十1作出函数f(x)在1,1)上的图象如图所示，因为 g(x) = f(x) mx+m有两个?零

15、点，所以y=f(x)的图象与直线y=mx m有两个交点，由图可得 mC (01 2- 一 1答案：(0, 2考点三讲练结合函数的实际应用授课提示：对应学生用书第 8页悟通方法结论解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域. 其解题步骤是：（1）阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.（2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.（4）实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.典例（2018湖北七市（州）联考）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废

16、气 的污染物数量P（毫克/升）与时间t（小时）的关系为P=Poe "如果在前5小时消除了 10%的污 染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为 小时.解析：前5小时污染物消除了 10%,此时污染物剩下 90% ,即t=5时，P=0.9P0,代入，得k）5=0.9,k=。. 9-，. P=P°e-kt=P0" 9一）：当污染物减少 19%时，污染物剩±下81%,此时P=0.81P0,代入得0.81=（。.9-）t,解得t=10,即需要花费10小时.答案：10T类题通法/f1应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键（1） 一般程序:（2）解题关键：解答

17、这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方 程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.练通一一即学即用1. （2018保定二模）李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为L甲=5x2+900x 16 000, L乙= 300x2 000（其中x为销售辆数），若某月两连锁店 共销售了 110辆，则能获得的最大利润为 （）A. 11 000 元B. 22 000 元C. 33 000 元D. 40 000 元解析：设甲连锁店销售 x辆，则乙连锁店销售（110x）辆，故利润L= 5x2+900x16 000 + 300（110 x）2 000=- 5x2+600

18、x+ 15 000= 5（x60）2+33 000, 当 x = 60 时，有最大 利润33 000元.答案：C2.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a,经过t天后体积V与天数t的关系式为：V = a e "已知新丸经过50天后，体积变为4a.若一个新丸体积 9变为枭，则需经过的天数为（）A. 125B. 100C. 75D. 50解析：由已知，得 9a = a e 50k, e k=+,.设经过ti天后，一个新丸体积变为 27a,贝 U 27a= akte i,8. k _27=(e )t授课提示：对应学生用书第117页一、选择题1,函数y=ax+21（

19、a>0且aw1）的图象恒过的点是（）A. （0,0）B. （0, - 1）C. （-2,0）D. （-2, 1）解析：令 x+ 2 = 0,得 x= 2,所以当 x=-2 时，y=a°1 = 0,所以 y = ax 2 1（a>0 且aw1）的图象恒过点（一2,0）.答案：C11T2.设 a=log3 2, b=ln 2 , c=，则（A. c>b>aB.C. a>c>bD. 解析：因为e<3,所以由对数函数的性质可得<1，所以b>a>c.故选D.答案：D3. （2018长郡中学模拟）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数

20、的是（）A . f（x）= sin x =旦=3502't1 = 75.答案：C端技巧：；嶙打法a>b>cb>a>c1,2<a=log3 2<b= ln 2<1.因为 c=,J提升能力B.f(x)= x3+ 1C.D.f(x)= 10g 2(由2+ 1 + x)x1 -2 f(x)=x-1 + 2解析：依题意，又于选项 A,注意到f(0) = f( nt,)因此函数f(x) = sin x在其定义域上不是 增函数；对于选项B,注意到f(x)的定义域为 R,但f(0)=1w0,因此函数f(x)=x3+1不是1奇函数；对于选项 C,汪息到f(x)的

21、7E义域是 R,且f(x) = log2K/x2 +1 x)= log2.2xVx2+1 + x=log2(货臼+x)=f(x),因此f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数；对于选项D,注一,1 2x2 - ，口 上一 s w 位意到f(x)= 11p= 1 + Up在R上是减函数故选 C.答案：C4.函数f(x)= |log2 x|+x2的零点个数为(A. 1B.C. 3D.解析：函数f(X)=|lOg2X|+X2的零点个数，就是方程110g2X| 十x 2=0的根的个数.令 h(x)=|1og2 x|, g(x)=2-x,画出两函数的 图象，如图.由图象得 h(x)与g(x)有2个交点

22、，方程110g2x|+x2 =0的解的个数为2.答案：B5. (2018河南适应性测试)函数y = axa(a>0, a1)的图象可能是()解析：由函数y=ax-a(a>0, a1)的图象过点(1,0),得选项A、B、D一定不可能；C 中0<a<1,有可能，故选C.答案：C6.某种动物繁殖数量 y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y= alog2(x+ 1),设这种 动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只解析：由已知第一年有100只，得a=100.将a= 100, x=7代入y=alog2(x+

23、 1),得y= 300.答案：A7.(2018河北衡水中学月考)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线 y=x对称， 且 f(2)+f(4) = 1,则 a=()A. - 1B. 1C. 2D. 4解析：因为函数y=f(x)的图象与y= 2x+ a的图象关于直线 y=x对称，所以y= f(x) = log以 -a, f(2) + f(4) = 1 a+ 2-a=3- 2a=- 1,所以 a= 2.故选 C.答案：C8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与M最接近的是(参考数据：lg 3 = 0.48)

24、()A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093解析：因为 lg 3361=361 X lg 3=361X0.48173,所以 M=10173,则以枭心化93.答案：D9. (2018甘肃天水一中月考)已知函数f(x)=ln x ax2+ax恰有两个零点，则实数 a的 取值范围为()A. ( 8, 0)B. (0, +8)C. (0,1) U(1, +8 )D. ( 8, 0)U1解析：f(x)=ln x- ax2 + ax有两个零点，即函数y= ln x与y= ax2ax的图象有两个交点，则a>0且aw1.故a的取值范围是(0,1) U(1, +8).故选C.答案：C10.

25、 (2018 高考全国卷出)设 a=log0.20.3, b=log2 0.3,则()11. . a+bvabv0B . abva+bv 012. a+bv0vabD . abv0va+ b.a+ bab解析：- a = log0.20.3 > log0.21 = 0 , b= log20.3 < log21 = 0 , abv 0.a+b= 10g0.30.2 + log0.32 = log0.30.4,l- 1 = log0.30.3>log0.30.4>log0.31= 0,0<a+ b< 1,，abva+bv0.ab故选B.答案：Bax+a, xw。

26、，11,若函数f(x)=的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数xln x, x>0的取值范围是()A., e)B.& e)u(1，e)C. (1, +8)D. (0,1) U(1, +oo )解析：若函数f(x)的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数y=ax+a, x>0的图象与y= xln x的图象有且只有两个交点，函数y=ax+a, x>0的图象与函数y=xln x的图象均过点(1,0).当0<x<1时，函数y= xln x的导数y' <1,当x= 1时，函数y = xln x的导 数y = 1,当x>1时，函数y= xln

27、 x的导数y' >1.故当aw 0或a= 1时，函数y= ax+ a,x>0的图象与函数y= xln x的图象有且只有一个交点，所以使得y=ax+a, x>0的图象与函数y= xln x的图象有且只有两个交点的实数a的取值范围是(0,1) U (1, + 8).故选d.答案：D12.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆， /I垂直于x轴的直线l： x= t(0wtwa)经过原点。向右平行移动，l在移动过程中 , 扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分).若函数y = f的大致图象如图，那/-h解析：选项A, B, D, l在移动过程中扫过平面图形的面积为y,在中线位置前，都是先慢后快，然后相反.选项 C,后面是直线增加，不满足题意.答案：C二、填空题13 . (2018 高考全国卷 I )已知函数？(x)=log2(x2+a).若？(3)=1,则 a =.解析： ?(x)=log2(x2+a俎?(3)=1,，1 = log2(9+a),，9+ a=2,，a=7.答案：714 .若募函数y=(m2-3m+3)/田一2)01)的图象不经过原点，则实