高数一知识点

1、第一章s_第三章一、极限数列极限尸n 函数极限lim f (x), lim f (x), lim f< x工士心求极限(主要方法)C1 lim 沁 1, lim(1e, Hm(l X)' ex° X*(2)等价无穷小替换(P76) .当(X)sin(X) (x), tan (x) (x)f arcs in (x) (x), arctan1c1(v)1 cos (x)s-"(x), ln(l (x)(x), e(x)(0)代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。（3）洛必达法则（，。°，1， °），只有°,一可以直接用罗比达法则。0幕

2、指函数求极限：limu（x）心 elttV（x）lnuW若 lim v(x) In u(x) a ,则或，令 y u (x)v<x) 两边 取对数 In y v(x) In u(x), lim u（x）T（x）结合变上限函数求极限。左、右连续lim二、连续 lim f (x)f (xo)fUJ flX0> 13 f(X> fljfi), X xoXX.函数连续 函数既左连续又右连续,介值，推论。三、导数f (xo) limX XolimVx 0f (Xo)左导数f' (Xo) lim -01- f(XNx) f(X。)Vx 0右导数f , (Xo)limf (x) f

3、(X。)lis f (Xo Vx) f(Xo) V* 0微分dy Adx y' dx可导连续可导可微 可导既左可导又右可导求导数:(1) 复合函数链式法则f u u g(x)字 ¥¥y f Eg(x) y' f' g(x) g(2)隐函数求导法则两边对x求导，注意是x的函数。(3)参数方程求导x (t) y (t)也dxdy dx/ 一 dt dt字)四、导数的应用(1)罗尔定理和拉格朗tl定理(证明题)(2)单调性(导数符号)，极值(第一充分条件和第二充分条件)，最值。(3)凹凸性(二阶导数符号)，拐点(曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同

4、凹凸性)。第四章不定积分原函数(F(x) f (x)不定积分f(x)dx F(x) Cf(X)或令：f(x)F (x) dxF(x) c 或dF (x) F(x) C.g(x)dx (分项积分)f (x) g (x) dx f (x) dx kf (x) dx k f (x) dx（2）X dx;X11）基本积分公式(1) kdx kx C ； -dxIn x Cadx(6)cosxdxsin xInsi nxdxcosx C(8)sec xdxtanxesc" xdxcotx C(10)secxtanxdxsecx C(11)cscx cotxdxcscx C(12)arrciin

5、 y Ci(13)dx91 xarctanx C除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1.tanxdxIn cosx C;2.cotxdx Insinx C;3.seestanx C;4.cscx cotx C;7.9.一dxxdxaxrx2 a求不定积分的方法1 arcta n- C; a2a.C；6.8.In I x Vx'a:lC.1.直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质,2.换元法：第类换元法（凑微分法）f(X)(x) dxf (u) du F (u) Cf (x) dx换元的思想:第二类换元法（变量代换法）f( (t)(t)dt F(t)(t)f( (t)>f

6、(x) dxf( (t) (t)dt主要有幕代换、三角代换、倒代换3.分部积分法uvdx udv uv vdu uvZ 2 , la x(tidtarcsi n- C;x.x直接使用基本积分公式。F( (x) C.F （x） C,（注意回代）g(t)dt F(t) C F(u vdxv的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幕函数rva(x)x C;C.(5).推论 2 i af(x)dx|若函数f x在区间第五章定积分al f (x) dx ( aa, b上可积，且mm(b a) f (x) dxM(b a)上连续，则存在max' Xia, b,使. f (x) dxf (x) dx

7、f (x)dx ：（6） .（定积分中值定理）设f x在区间a,b 一、概念bn1,定义t f （ J先，2.性质： 设f X、 g x在a, b区间上可积，则定积分有以下的性质b(1) . dx b a ； a bbb(2) . mf x n g x dx m f (x) dx n g (x) dx ：. 若在a, b上，f X 0 ,则f (x)d工0 ;推论1.若在a, b上,，则 f (x)dxg (x) dxf (x) dx f3 积分上限函数.f (t) dt及其性x 质x.(f(t)dt) f、或 dx f 代元 a(x)t(2) .如果 x f (t)dt,则 0(x)(3)

8、.如果 xf(t)dt,(x)(x)则 x (f(t)dt)(x)4.广义积分(1) .无穷限积分(X)f (t) dt) fxdx Idx收敛发散（极限存在）（极限不存在）f x dx lim f x dxX d工收敛的充分必要条件是反常积分且在收敛时,（2） 瑕积分a为瑕点b为瑕点C为瑕点dx收敛收敛发散收敛发散收敛发散（极限存在）（极限不存在）。dx、X dx同时收敛,并（极限存在）（极限不存 在）（极限存在）（极限不存在）dx均收敛，并且在收敛时，有二、计算（一）定积分的计1、微积分基本公式：设函数在区间a,b上连续，且F X f x,则f (x)dx F牛顿-莱布尼兹（N-L）公式2

9、、换元法：设函数f x在区间a, b上连续,函数t满足:在区间上可导,且 t连续;a, b(t) (t)dt3、分部积分法:uv dxib UVu vdxtudv uvvdu 4、偶倍奇零:设函数f x在区间a, a上连续,5、sinn品工af (x) dxoWxdx(x) dx6,(2k)!2 B2k加：! n 2k 1(2k 1>!阿基米德螺线双纽线Y a2 cos2摆线x a( sin )y a(l cos )第六章微分方程-、内容小结：（i八概念：微分方程；阶：通解：特解：初始条件：初值问题：线性相关；线性无关 （二）、解的结构齐次线性y P（x）y, Q（x）y 0 （*）非齐

10、次线性y P (x) y, Q(x)y f(x) (*)1、yi , y二是（*）的解，则y G y工C y也是（*）的解；若力，外线性无关，则y Ci yi C： v为(* )的通解)2、y#, y#是（* ）的解，贝y yi* $*是对应齐次线性 方程的解丫是（* ）的通解，y*是（* ）的解，贝y Y y求是 （* ）的通解（三）、解方程：判别类型，确定解法。阶，二阶。二、阶微分方程求解Nt (x) Nx(y) dy M： (x) N：(y) dx 01、可分离变量方程V f (x) g (y)或 g (y) dy f (x) dx 或解法：先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程y

11、9; fH则y xudxdudydyP(x)dx(Q(x)e dx C)f(x, p)dy3、阶线性微分方程齐次线性 y，P(x)y非齐次线性y' P(x)y三、二阶微分方程求解()、可降阶情形1、y' f(x)2、不显含y的二阶方程解法：令y, p,则寸'3、不显含x的二阶方程解法：令y' p,则解法：令X解法：P(x)dx(y Ce?(x)dxQ(x)y' f(x, /)p',原方程化为p，y' f(y, y)“ p*'原方程化为(二)、二阶线性微分方程y'' py' qy 。 (*)(其中 p, q 为常数)1、二阶常系数齐次线性微分方程特征方程r pr q 0特征根 r-, r2ri卜且为实根，则微分方程通解为y Ge:rx Ce 护(G C：x) e y