【人教A版】高中数学 第二章 数列章末知识整合 新人教A版必修5

1、起高中数学 第二章 数列章末知识整合 新人教 a 版必修 5一、等差数列1定义：an1and(nn*)或anan1d(nn*，n2)2通项公式：ana1(n1)d(nn*)3如果数列an的通项公式是ananb(a、b是与n无关的常数)，那么数列an一定是等差数列4等差数列前n项和公式：snn（a1an）2，snna1n（n1）2d.5如果数列an的通项公式是snan2bn(a、b是与n无关的常数)，那么数列an一定是等差数列6.a、b、c成等差数列anb为a、c的等差中项2bac.7在等差数列an中，anam(nm)d(nn*)8在等差数列an中，由mnpqamanapaq，若mn2paman

2、2ap.9.在等差数列an中，sk，s2ksk，s3ks2k构成等差数列2(s2ksk)sk(s3ks2k)10已知an 、bn为等差数列，则anc，can，anbn，ankbn(其中c为常数，kn*)仍是等差数列11已知an 为等差数列，若k1，k2，k3，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，akn仍是等差数列12.若三个数成等差数列，则设这三个数为ad，a，ad，可简化计算13证明等差数列的两种方法(1)定义：an1and(nn*)(2)等差中项 2anan1an1(nn*，n2)二、等比数列1定义：an1anq(nn*)或anan1q(nn*，n2)2通项公式：ana1qn1(nn

3、*)3等比数列前n项和：sna1anq1qa1（1qn）1q(q1)；snna1(q1)4a，b，c成等比数列b为a、c的等比中项b2ac.5在等比数列an中，anamqnm(nn*)6在等比数列an中，由mnpqamanapaq，若mn2pamana2p.7.在等比数列an中，sk，s2ksk，s3ks2k构成等比数列(s2ksk)2sk(s3ks2k)(sk0)8已知an 、bn为等比数列，则can，anbn，anbn(其中c为不为 0 的常数，kn*)仍是等比数列9已知an 为等比数列，若k1，k2，k3，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，akn仍是等比数列10若三个数成等比数列

4、，则设这三个数为aq，a，aq，可简化计算11证明等比数列的两种方法(1)利用定义：an1anq或anan1q(nn*，n2)(2)等比中项：a2nan1an1(nn*，n2)三、通项公式的求法数列的通项公式是数列的重要内容之一， 它把数列各项的性质集于一身 常用的求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法累加法： 数列的基本形式为an1anf(n)(nn*)的解析式， 而f(1)f(2)f(n)的和可求出累乘法：数列的基本形式为an1anf(n)(nn*)的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积可求出前n项和作差法：利用ans1（n1） ，snsn1（n2）

5、，能合则合待定系数法：数列有形如an1kanb(k1)的关系，可用待定系数法求得(ant)为等比数列，再求得an.四、特殊数列的前n项和利用等差、等比数列求和公式是最基本最重要的方法数列的求和除记住一些公式外，还应注重对通项公式的分析与整理，根据其特征求和，常用的方法技巧有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可倒序相加法： 这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法， 就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n

6、个a1an.错位相减法： 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差和等比数列裂项相消法： 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的题型 1求数列的通项公式(一)观察法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式例 1数列 114，329，5316，7425，的通项公式为()aan(2n1)n（n1）2ban(2n1)n（n1）2can(2n1)n（n1）2dan4n1（

7、n1）2解析：114114，329329，53165316，an(2n1)n（n1）2.答案：b(二)公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列， 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它例 2已知数列an为无穷数列，若 an1an12an(n2 且 nn*)，且a24，a68，求通项an.解析：an1an12an，an1，an，an1成等差数列又n2 且nn*，数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d.由a24，a68，可得a13，d1，通项an3(n1)1n2.(三)利用an与sn的关系前n项和关系式有两种形式：一种是s

8、n与n的关系式，记为snf(n)，它可由公式ans1，n1，snsn1，n2直接求出通项an，但要注意n1 与n2 两种情况能否统一；另一种是sn与an的关系式，记为f(an，sn)0，求它的通项公式an.例 3已知数列an的前n项和为sn，且an5sn3，求数列an的通项公式解析：当n1 时，a15a13，a134，当n2 时，an5sn3，an15sn13，anan15(snsn1)即anan15an，anan114，an是首项a134，公比q14的等比数列ana1qn13414n1(nn*)(四)累加法、累乘法有些数列， 虽然不是等差数列或等比数列， 但是它的后项与前项的差或商具有一定的

9、规律性，这时，可考虑利用累加或累乘法，结合等差、等比数列的知识解决例 4(1)已知a11，an1ann2n，求an；(2)已知数列an中，a11，anan1n(n2)，求数列an的通项公式解析：(1)当n2 时，ana1a2a1a3a2anan11314253n1n1n（n1）2.而a11 也适合上式故an的通项公式an12n(n1)(nn*)(2)anan1n(n2)，a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n.将这n1 个等式两边分别相加得ana123n，an123nn（n1）2(n2)当n1 时，a11（11）21 成立ann（n1）2(nn*)(五)构造法有些数列直观

10、上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法形如已知a1，an1panq(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an1xp(anx)，anx为等比数列，或an2an1p(an1an)，an1an为等比数列例 5 设数列an是首项为 1 的正项数列，且an1anan1an0(nn*)，求an的通项解析：an1anan1an0.1an11an1.又1a11，1an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故1ann，an1n(nn*)若数列an满足a11，an112an1，求an.分析：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难可变换递推公式，利用

11、构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式解析：方法一an112an1，an212an11，两式相减得：an2an112(an1an)，令bnan1an(n1，2，3，)，则b1a2a132112，bn112bn，数列bn是以12为首项，12为公比的等比数列ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1112112n1112212n1(nn*)方法二设an1a12(ana)，则an112an12aa，根据an112an1 可得：12aa1，即a2，an1212(an2)令bnan2，则b1a121，bn112bn，数列bn是以1 为首项，12为公比的等比数列bnb1qn1(1)

12、12n1，an2bn212n1(nn*)题型 2数列求和的方法数列中求前 n 项和是数列运算的重要内容， 高考题中涉及此部分与通项的综合问题， 对于等差数列与等比数列可依据公式求其和， 对于某些具有特殊结构的非等差、 等比数列可转化为利用等差或等比数列前 n 项和公式能求和的形式， 常用方法有公式法、 分组法、 裂项法、错位相减法等要对通项进行深入研究，找出规律，确定恰当的解题方法例 7等差数列an中，a13，公差 d2，sn为前 n 项和，求1s11s21sn.解析：等差数列an的首项 a13，公差 d2，前 n 项和 snna1n（n1）2d3nn（n1）22n22n(nn*)，1sn1n

13、22n1n（n2）121n1n2 ，1s11s21sn12(1 13) (1214) (1315) (1n11n1) (1n1n2) 342n32（n1） （n2）.例 8 设数列an满足a13a232a33n1ann3(nn*)(1)求数列an的通项；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和sn.解析：(1)a13a232a33n1ann3，当n2 时，a13a232a33n2an1n13，由得 3n1an13，an13n，在中，令n1，得a113，数列an的通项公式an13n(nn*)(2)bnnann3n，sn3232333n3n，3sn32233334n3n1.由得 2snn3n1(3

14、32333n)n3n13（13n）13，sn（2n1）3n1434.题型 3数列的应用问题例 9(2013广东卷)设数列an的前 n 项和为 sn.已知 a11，2snnan113n2n23，nn*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式(3)证明：对一切正整数n，有1a11a21an74.(1)解析：依题意，2s1a213123，又s1a11，所以a24.(2)解析：当n2 时，2snnan113n3n223n，2sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1)，两式相减得 2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23，整理得(n1)annan1n(n1)，即an1n1ann1，又a22a111，故数列ann是首项为a111，公差为 1 的等差数列，所以ann1(n1)1n，当n1时，上式显然成立所以ann2(nn*)(3)证明：当n1 时，1a1174；当n2 时，1a11a21145474；当n3 时，1an1n21（n1）n1n11n，此时，1a11a21an1141321421n21141213 1314 1n11n114121n741n74，综上，对一