45真空中的高斯定理电势和电势差

1、电偶极子电偶极子周围场强周围场强:30r4p2e延线30r4pe中线 rrq41e 020点电荷点电荷周围的场强周围的场强延长线上：延长线上：中垂线上：中垂线上：中垂线上：中垂线上：均匀带电均匀带电圆盘圆盘轴线上轴线上12220 xrxe 23220)( 4rxqxe均匀带电均匀带电圆环圆环轴线上轴线上均匀均匀带电带电直线直线 延长延长线上：线上：)cos(cos210 xa4e alal4e0 特例：特例：无限长无限长带电直线周围：带电直线周围：无限大无限大带电平面带电平面周围：周围：02 eae02复习：复习：例例：求电偶极子在均匀电场：求电偶极子在均匀电场 中所受的作用。中所受的作用。解

2、解: :eqff 电偶极子在均匀外电场中所受的合外力电偶极子在均匀外电场中所受的合外力 f flq+q0 f故故有有力力矩矩的的作作用用。不不在在同同一一直直线线上上由由于于, ffel qflm epm 点电荷点电荷 q q在在外电场中外电场中所受的静电力为所受的静电力为: :eqf e五、带电粒子在外电场中所受的作用五、带电粒子在外电场中所受的作用 p10sinlfm 大小：大小：方向：方向： 顺时针顺时针写成矢量式：写成矢量式： ,时时0 0m电偶极子在均匀外电电偶极子在均匀外电 场中所受的合外力场中所受的合外力0 f的方向elepm 点电荷点电荷 q q在在外电场外电场 中中所受的静电

3、力为所受的静电力为: :eqf f flq+qesinqlem 大小：大小：方向：方向：电偶极子在均匀外电电偶极子在均匀外电 场中所受的力矩场中所受的力矩e13.4 13.4 真空中的高斯定理真空中的高斯定理一、电场线一、电场线13.4 13.4 真空中的高斯定理真空中的高斯定理描述电场描述电场解析法解析法图示法图示法edeeei或电力线电力线方向切线方向表edsde：疏密程度表大小注注意意：电力线是假想的线；电力线是假想的线；电力线代表合电场分布；电力线代表合电场分布；电力线性质：电力线性质：始于正电荷始于正电荷,止于负电荷止于负电荷(或或来自无穷远来自无穷远,去向无穷远去向无穷远)；二电力

4、线不会相交。二电力线不会相交。e ds不形成闭合线；不形成闭合线；一、电场线一、电场线（电力线）（电力线）+qq2+ + + + + + + + + + + + 通过某一曲面的电力线条数通过某一曲面的电力线条数通过面元通过面元ds和和ds 电力线条数相等吗电力线条数相等吗? n dsdse所以所以，通过通过ds的电力线条数或的电力线条数或电通量为：电通量为：= edscos ededs根据得 均匀电场均匀电场 ，通过平面，通过平面ds的的电通量电通量用用 表示表示e?ed ededs edsde先求通过面元先求通过面元ds 电力线条数电力线条数:相等相等 e设设 与平面法线与平面法线 夹角为夹

5、角为n cosedse d ,20 ,2对任意曲面对任意曲面s seeseddsdsen引入矢量面元引入矢量面元nssddsde则对封闭曲面对封闭曲面) 1 (d sese 非均匀电场非均匀电场 ，通过面元，通过面元ds的的电通量电通量?ed习惯上习惯上规定：规定：面元方向面元方向-由闭合面由闭合面内内指向面指向面外外简称简称外外法线方向法线方向sed0sed电力线穿出电力线穿出sesdsd（1）式几何含义：）式几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数通过闭合曲面的电力线的净条数ss1 封闭封闭曲面包围一个点电荷曲面包围一个点电荷 qq求通过球面求通过球面s的电通量多少？的电通量多少？ sese

6、ds20sdr4q0cosd420ssrq0q220r4r4q问题：通过闭合面问题：通过闭合面 的电通量多少？的电通量多少？s0qee 显然显然, 通过任意通过任意包围包围点电荷点电荷q 的闭合面的闭合面的的 电通量都等于电通量都等于q / 0 . .cosdsse2 封闭封闭曲面不包围点电荷曲面不包围点电荷 q 通过曲面通过曲面 s 的电通量的电通量=？0sese ds qssq1 封闭封闭曲面包围一个点电荷曲面包围一个点电荷 q ssed0q先考虑先考虑曲面曲面 s上上任意一点的电场任意一点的电场是多少？是多少？kiiee1q1q2qnqn+1qk s3 封闭封闭曲面曲面s内包围内包围n个

7、点电荷个点电荷 ，通过通过 s 的电通量是多少？的电通量是多少？ sesed点电荷点电荷在封闭曲面内：在封闭曲面内：点电荷点电荷在封闭曲面外：在封闭曲面外：通过曲面通过曲面 s 的电通量：的电通量： d ii0seq1se通过封闭曲面的电通量为：通过封闭曲面的电通量为： 在封闭曲面在封闭曲面所有电荷电量所有电荷电量 的代数和的代数和. iiqs1sdesnsdes1nsdesksde0iiq 0j nee1knee1高斯定律高斯定律: : 在真空中的静电场内在真空中的静电场内, , 通过通过任意封闭曲面的电通量等于该任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量封闭曲面所包围的电荷的电量

8、代数和的代数和的1/1/ 0 0 倍倍. .注意：注意： d ii0seq1se. ,e的合场强内外所有电荷共同产生它是由曲面是曲面上的场强 qi 仅仅是仅仅是曲面内的电荷曲面内的电荷高斯定律高斯定律反映了反映了静电场是静电场是有源场有源场. .思考思考1. 静电场中任一闭合曲面静电场中任一闭合曲面 s , , 0dsse若有?0e 是是否否意意味味着着曲曲面面上上处处处处 d iseqse内01 2. 若闭合曲面若闭合曲面 s 上各点上各点 , 则则 s 面面内一定不包围电荷吗内一定不包围电荷吗?0e 不一定不一定!不一定不一定!s qeeee+ss+q-q3. 要从上式中解出要从上式中解出

9、e,其电场分布应其电场分布应具有什么特点？具有什么特点？ 当电荷分布具有某种对称性时当电荷分布具有某种对称性时, 利用高斯定理求解利用高斯定理求解e较方便较方便 常见的常见的电荷电荷分布的对称性：分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称均均匀匀带带电电的的球体球体球面球面(点电荷点电荷)无限长无限长柱体柱体柱面柱面带电线带电线无限大无限大平板平板平面平面对称性的分析对称性的分析取合适的高斯面取合适的高斯面列方程求解列方程求解e解题步骤：解题步骤：20 4rqe作什么高斯面？作什么高斯面？+or例例13-8 13-8 均匀带电球壳的电场强度均匀带电球壳的电场强度1dsse0内e2

10、dsser1s20 4rqe外02 4qerr2s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的薄球壳的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强求球壳内外任意点的电场强 度度.rq解（解（1）rr 0rr （2）rroe2r1e e-r 图线图线00q1cosdsse022d0cosdssseserors内若为一均匀带电球体若为一均匀带电球体2041rqe外(r r)03041rrqre内(r r)rroe0cos4d2reses外外外0q0cos4d2reses内内内0333434rrq?e外?e内解得解得：e-r 图线图线r外外sq02041rrqe外20 4rqe2r1e 例例 求无限长均匀带

11、电圆柱面的电场分布求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(r, ).解解: sesed 侧sde=0erl下底上底侧sdesdesde0lrle2e =r02(r r) 0 (r r) 0 (r r)llrlr1220 (r r)20r2r( r r)20r2r( r r) 0 (r r)03041rrqre内(r r)(r r) 0 (r r)20r2r( r r)03041rrqre内(r r)(r r) 0 (r r)20r2r( r 0, vp 0, 离电荷越远离电荷越远, 电势越低电势越低;若若 q 0, vp 0, 离电荷越远离电荷越远, 电势越高电势越高.qperld)(20d4plr

12、rqrq04四四 电势电势电场叠加原理电场叠加原理niiee1 )( alevd 电势叠加原理电势叠加原理.如果电荷是连续分布在有限空间如果电荷是连续分布在有限空间, 则电场中则电场中某点的电势某点的电势 dvv n1iiv一一 niaile1)(d )(1daniileniiirq10401d4rvq01204iniiirrq利用点电荷电势公式利用点电荷电势公式1.叠加法叠加法两种方法：两种方法： v0q4qvrd或或 n1ii0ir4qv2. 定义法定义法 参参考考点点0pplev)(d 能够用高斯定理方便能够用高斯定理方便地求出时，用该法求地求出时，用该法求ve当例例2 求均匀带电细圆环

13、轴线上任意一点求均匀带电细圆环轴线上任意一点 p 的的电势电势. (已知已知 r, q)解解:r4qv0dd l0r4qvdlqrd410220044xrqrqr4qv0 x0 则则若若,poxx22rxrrdqro更方便更方便求求用用参考点参考点vlevaa d 例例3 求均匀求均匀带电球面带电球面电场中电势的分布电场中电势的分布. (r, q)解解: 已知e =0 (r r),沿沿径径向向e问题：问题：能否用叠加法求能否用叠加法求 v?e )(daalev )(dare 0cosedrrq，则则并并设设无无穷穷远远处处电电势势为为零零为为积积分分路路径径选选取取沿沿半半径径方方向向的的直直线线,当当 r r 时时,rq04 当当 r r 时时, rrrd0roe )( aalevd ared r20arrq41vdlevrbd rq 041 rrrqd4120 rrovv-r 图线图线a br1v 带电球壳是等势面带电球壳是等势面, 球壳内部是等势空间球壳内部是等势空间.p例例4 电量电量 q 均匀分布在长为均匀分布在长为2l的直线上的直线上, 求延长线上一点求延长线上一点 p 的电势的电势解解:，则，则设电荷线密度为设电荷线密度为 lqdd r4qv0dd llxpoldlal+a-l lllalld40 lallal40 ln lvvd选