82空间直角坐标系向量的坐标

1、空间直角坐标系空间直角坐标系 向量的坐标向量的坐标第二节第二节相同相同，作三条有公共原点及，作三条有公共原点及在空间取一定点在空间取一定点 o o 由三个坐标轴正向的选择不同，由三个坐标轴正向的选择不同， 在这里我们规定空间直角坐标系在这里我们规定空间直角坐标系称为称为点点o三条坐标轴分别称为三条坐标轴分别称为、横轴横轴轴轴)(x)(纵轴纵轴轴轴y竖轴竖轴轴轴及及)(z的平面称为坐标面的平面称为坐标面任意两条坐标轴所确定任意两条坐标轴所确定分别称为分别称为面面、xoy一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系空间直角坐标系有三张坐标面，空间直角坐标系有三张坐标面， 坐标系坐标系的数轴，构成空间直角的

2、数轴，构成空间直角长度单位，且两两垂直长度单位，且两两垂直空间直角坐标系又分为空间直角坐标系又分为左手系左手系与与右手系右手系 均取均取右手系右手系坐标原点，坐标原点，面面yoz.面面及及 zoxzxyz左手系左手系xyzxyz右手系右手系xyozxoy面面yoz面面zox面面三张坐标面将空间分为八个部分，三张坐标面将空间分为八个部分，称为称为八个卦限八个卦限空间的任一点空间的任一点有序数组有序数组),(zyx 11xyzopqrqp,坐标轴上的三个点坐标轴上的三个点空间点的直角坐标空间点的直角坐标m mm点点；、zyxr反过来，反过来，zyx,任给一组有序数组任给一组有序数组.m点点的的称为

3、点称为点组组因此我们将这组有序数因此我们将这组有序数mzyx,. ),(zyxm记作记作),(zyx特殊点的直角坐标特殊点的直角坐标)0 , 0 , 0(o坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,rx-横坐标横坐标y-纵坐标纵坐标z-竖坐标竖坐标)(z)(x)(yrqp,坐标轴上的三个点坐标轴上的三个点直角坐标，直角坐标，空间的任一点空间的任一点有序数组有序数组),(zyx 11xyzopqrqp,坐标轴上的三个点坐标轴上的三个点空间点的直角坐标空间点的直角坐标m mm点点；、zyxr反过来，反过来，zyx,任给一组有序数组任给一组有序数组.m点点的的称为点称为点组组因此我们将这组有序数因此我们将这

4、组有序数mzyx,. ),(zyxm记作记作),(zyx特殊点的直角坐标特殊点的直角坐标)0 , 0 , 0(o坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c)0 ,(yxa ), 0(zyb ), 0 ,(zxc ), 0 , 0(z)0 , 0 ,(x)0 , 0(yrqp,坐标轴上的三个点坐标轴上的三个点直角坐标，直角坐标，xyoz八个卦限中的点坐标特征八个卦限中的点坐标特征(+,+,+)(+,+,+)(-,+,+)(-,+,+)(-,-,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(+,+,-)(-,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(-,-

5、,-)(+,-,-)(+,-,-)x0zym点的对称点点的对称点关于关于xoy 面面:(x,y,z)(x,y,-z) 关于关于x 轴轴:(x,y,z)(x,-y,-z)q0关于原点关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)m(x,y,z)xrp(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)对称点的坐标特征对称点的坐标特征二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离则则空间两点间距离公式空间两点间距离公式特别地：若两点分别为特别地：若两点分别为，),(zyxm，)0 , 0 , 0(o|omd .222zyx .)()()(|21221221221zzyyxxmm 例例 解解设点设点p 的

6、坐标为的坐标为，)0 , 0 ,(x |1pp，112 x |2pp，22 x |1pp，|22pp221122 xx2223)2( x，1 x故所求点为故所求点为. )0 , 0 , 1()0 , 0 , 1( 或或的距离的距离轴上，它到点轴上，它到点在在设点设点)3, 2, 0(1pxp的距离的两倍，的距离的两倍，为到点为到点)1, 1 , 0(2 p的坐标的坐标求点求点 p则则取负值，取负值，轴反向时轴反向时与与取正值，当取正值，当 uab轴同方向的单位向量，轴同方向的单位向量，是与是与设设ue则则，、轴上的坐标分别为轴上的坐标分别为在在、如果点如果点21uuuba.12uuab 则则.

7、)(eab 三、向量在轴上的投影与投影定理三、向量在轴上的投影与投影定理1. 轴上有向线段值的概念轴上有向线段值的概念上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uabuab轴同向时轴同向时与与且当且当，满足满足如果数如果数uabab| uoe，的值，记作的值，记作轴上有向线段轴上有向线段称为称为那末数那末数ababu .ab 即即1u2ueuuab)(12 2. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影(1) 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u aa 过点过点a作作与与u轴轴垂垂直直的的平面，平面， (2) 向量在轴上的投影向量在轴上的投影那么那么u轴轴上上的有向线段的有向线段ba 的

8、值，的值， uaa bb ba 称为投影轴称为投影轴数轴数轴 u)(1u)(2u.12uu 在在终点终点已知向量的起点已知向量的起点ba，、轴上的投影分别为轴上的投影分别为bau 轴上的投影轴上的投影在在称为向量称为向量.uab向量向量ab在在u轴轴上的投影记为上的投影记为 pr abju性质性质1( (投影定理）投影定理） 向量向量ab在在u轴上的投影等于向量的模乘以轴上的投影等于向量的模乘以 .cos| ab uaba b b u (3) 向量在轴上的投影的性质向量在轴上的投影的性质性质性质1 的说明的说明投影为正；投影为正； 0)1(，2 2)2(， 投影为负；投影为负； )3(，2 投

9、影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等相等向量在同一轴上投影相等轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦： pr abju性质性质2两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于这这两两个个向向量量 （可推广到有限多个向量可推广到有限多个向量） )(21aauaa bb cc u1a2a性质性质3即即 prjprj 1au.2auprj )( au 即即 prjprj.au 在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和. . 数与向量的乘积在轴上的投影等于数与数与向量的乘积在轴上的投影等于数与 向量在该轴上的投影之积向量在该轴上的投影之积 ，设有向量设有向量 a，移到坐标原点

10、移到坐标原点为讨论方便，将其起点为讨论方便，将其起点o四、向量的坐标四、向量的坐标向量的分解式与坐标向量的分解式与坐标 m1mabcaaozxy，设其终点为设其终点为 m作三张平面分别垂直于作三张平面分别垂直于过点过点 m轴，轴，轴及轴及轴、轴、zyx，、设交点分别为设交点分别为cba，则则oma ，面上的投影点为面上的投影点为在在设设1mxoym，、作向量作向量mmom11oma 则则mmom11 mmamoa11 .ocoboa m1mabcaozxy.ocoboa aocoboa、我们称向量我们称向量 为为 在坐标轴上的三个在坐标轴上的三个分向量分向量a从而任一从而任一向量向量均可分解成

11、均可分解成坐标轴上的三个坐标轴上的三个分向量分向量之和之和，的坐标为的坐标为设点设点),(zyxm),(zyx在在各各自自坐坐标标轴轴上上的的坐坐标标、那那么么点点cba分别为分别为，zyx)(x)(y)(zkij以以kji，轴，轴，表示分别与表示分别与 x，轴正向一致的单位向量轴正向一致的单位向量轴及轴及 zy，则有则有ixoa ，jyob ，kzoc 从而从而.kzjyixa 的的上式称为向量上式称为向量 a分解式分解式m1mabcaozxyocoboa a),(zyx)(x)(y)(zkij.kzjyix 分别是分别是、其中其中zyx轴上的投影轴上的投影、在在zyxa的坐标，的坐标，为向

12、量为向量，我们称有序数组我们称有序数组azyx ，记作记作zyxa, a称为向量称为向量 的的坐标表达式坐标表达式 的起点移到坐标原点，的起点移到坐标原点，如果将向量如果将向量 a的直角坐标的直角坐标就是其终点就是其终点的坐标的坐标那么那么mzyxa, 即即 x = pr ，ajx y = pr ，ajy z = pr .ajzkzjyixa zyxa, kji0000 显然显然 ，0 , 0 , 0 kjii001 ，0 , 0 , 1 kjij010 ，0 , 1 , 0 kjik 100 .1 , 0 , 0 根据前面的讨论，我们有根据前面的讨论，我们有向量的分解式向量的分解式向量的坐标

13、式向量的坐标式 ，设有向量设有向量zyxaaaa, ，zyxbbbb, 则则 ，zzyyxxbabababa , .,zyxaaaa ，已知已知例例2, 3, 14, 3, 21 ba.32ba 求求解解 ba32 2, 3, 134, 3, 22 6, 9, 38, 6, 4 .2 ,15, 1 五、向量的代数运算五、向量的代数运算，已知点已知点例例),(),(222221111zyxmzyxm1m2mo解解如图，如图， 111222,zyxzyx ，121212,zzyyxx 的坐标及分解式的坐标及分解式求向量求向量21mm ，则则1111,zyxom .)()()(12121221kzz

14、jyyixxmm 21mm又又，作向量作向量21omom ，2222,zyxom 12omom 解解,111zzyyxxam ,222zzyyxxmb abmxyzo，的坐标为的坐标为设分点设分点),(zyxm则则由题意知由题意知mbam ,111zzyyxx ，,222zzyyxx ，解得解得 121xxx， 121yyy.121 zzz，已知点已知点例例),(),(3222111zyxbzyxa. )1( 的值之比为常数的值之比为常数当当m为为中中点点时时， ，221xxx ，221yyy .221zzz ，上求点上求点在有向线段在有向线段mabmbam 与与使有向线段使有向线段点点m称为

15、有向线段称为有向线段ab的的定比分点定比分点. 的对称点的对称点关于点关于点求点求点例例)0, 1 , 2()2, 3, 1(4 ba解解，设所求点为设所求点为),(zyxm的中点，的中点，为线段为线段则点则点amb从而有从而有，220231212zyx ，解得解得255 zyx. )2, 5, 5( 故所求点为故所求点为六、向量的模与方向余弦六、向量的模与方向余弦1. 向量模的坐标表示向量模的坐标表示 ，设有向量设有向量zyxaaaa, 由两点间距离公式，由两点间距离公式，.|222zyxaaaa 求求，已知向量已知向量例例01, 1, 15aa 解解，3| aaaa|10 1, 1, 13

16、1 31,31,31 的单位向量的单位向量一般地，非零向量一般地，非零向量zyxaaaa, .,2222222220 zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaaa2. 方向余弦的坐标表示方向余弦的坐标表示非零向量的方向角非零向量的方向角)1(非零向量与三坐标轴的正向间的夹角称为非零向量与三坐标轴的正向间的夹角称为分别记作分别记作 、 、 . ， 0， 0 0称为向量的称为向量的方向角方向角, ,xyzoa 显然显然非零向量的方向余弦非零向量的方向余弦)2( 非零向量的三个方向角的余弦非零向量的三个方向角的余弦，、 coscoscos， cos|aax ， cos|aay 则则 ，设非零向

17、量设非零向量zyxaaaa, cos|aaz xyzo 称为向量的称为向量的方向余弦方向余弦所以所以，|cosaax ，|cosaay |cosaaz ，222zyxxaaaa ，222zyxyaaaa .222zyxzaaaa ：的方向余弦为的方向余弦为即非零向量即非零向量zyxaaaa, 显然显然1coscoscos222 且有且有 2222222220,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaaa .cos,cos,cos |cosaax |cosaay |cosaaz ，的方向角的方向角已知向量已知向量例例436 a解解 cos|aax cos|aay cos|aaz 3cos3

18、 ，23 4cos3 ，223 ，23 .23,223,23 a的坐标的坐标求求，又又aa3| 锐角，锐角，与三坐标轴交成相等的与三坐标轴交成相等的已知向量已知向量例例a7解解， ，又又1coscoscos222 ，1cos32 ，负的舍去负的舍去解得解得)(31cos .31,31,310 a.0a求求.31coscoscos 故故解解，又又3 ，4 ，1coscoscos222 ，21cos 的坐标的坐标求点求点，的坐标为的坐标为点点又又21)3, 0, 1(pp.323 或或；，解得解得422 zyx) 4, 2, 2(. ) 2, 2, 2(或或的坐标为的坐标为故点故点2p，故故1cos21 x，2cos2 y，1cos23 z.222 zyx，或或，且且，已知已知，设有向量设有向量例例432|82121 p