高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.1 1．1.2　弧 度 制 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料11.2弧 度 制预习课本预习课本 p69,思考并完成以下问题思考并完成以下问题(1)1 弧度的角是如何定义的？弧度的角是如何定义的？(2)如何求角如何求角的弧度数？的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？新知初探新知初探1角的单位制角的单位制(1)角度制：角度制：规定周角的规定周角的1360为为 1 度的角度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)弧度制：弧度制：把长度等于把长度等于半径长半径长的弧所对

2、的的弧所对的圆心角圆心角叫做叫做 1 弧度的角以弧度作为单位来度量角的单弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制位制,叫做叫做弧度制弧度制,它的单位符号是它的单位符号是 rad,读作读作弧度弧度,通常略去不写通常略去不写(3)角的弧度数的求法：角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正角的弧度数是一个正数正数,负角的弧度数是一个负角的弧度数是一个负数负数,零角的弧度数是零角的弧度数是 0.如果半径为如果半径为 r 的的圆的圆心角圆的圆心角所对弧的长为所对弧的长为 l,那么角那么角的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值|lr.点睛点睛用弧度为单位表示角的大小时用弧度为单位表示角的大小时,“弧度弧度”两个字可

3、以省略不写两个字可以省略不写,如如 2 rad 的单位的单位“rad”可省略不写可省略不写,只写只写 2.2角度与弧度的换算角度与弧度的换算角度化弧度角度化弧度弧度化角度弧度化角度3602_rad2 rad360180_rad rad1801180rad0.017 45 rad1 rad18057.30度数度数180弧度数弧度数弧度数弧度数180度数度数3弧度制下的弧长与扇形面积公式弧度制下的弧长与扇形面积公式公式公式度量制度量制弧长公式弧长公式扇形面积公式扇形面积公式角度制角度制lnr180snr2360弧度制弧度制lr(02)s12lr12r2(02)点睛点睛由扇形的弧长及面积公式可知由扇

4、形的弧长及面积公式可知：对于对于,r,l,s“知二求二知二求二”,它实质上是方程思想它实质上是方程思想的运用的运用小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”)(1)1 弧度弧度1.()(2)每个弧度制的角每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用弧度制度量角用弧度制度量角,与圆的半径长短有关与圆的半径长短有关()答案：答案：(1)(2)(3)2若若k3,kz,则则所在的象限是所在的象限是()a第一、二象限第一、二象限b第二、三象限第二、三象限c第一、三象限第一、三象限d第一、四象限第一

5、、四象限答案：答案：c3半径为半径为 1,圆心角为圆心角为23的扇形的面积是的扇形的面积是()a43bc23d3答案：答案：d4(1)23_；(2)210_.答案：答案：(1)120(2)76角度与弧度的换算角度与弧度的换算典例典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4)29.解解(1)727218025.(2)30030018053.(3)22180360.(4)292918040.角度与弧度互化技巧角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式抓住关系式 rad180是关键是关键,由它可以

6、得到由它可以得到： 度数度数180弧度数弧度数,弧度数弧度数180度数度数活学活用活学活用将下列角度与弧度进行互化：将下列角度与弧度进行互化：(1)5116；(2)712；(3)10；(4)855.解：解：(1)5116511618015 330.(2)712712180105.(3)101018018.(4)855855180194.用弧度制表示角的集合用弧度制表示角的集合典例典例已知角已知角2 005.(1)将将改写成改写成2k(kz,02)的形式的形式,并指出并指出是第几象限的角；是第几象限的角；(2)在在5,0)内找出与内找出与终边相同的角终边相同的角解解(1)2 0052 00518

7、0rad40136rad524136 rad,又又413632,角角与与4136终边相同终边相同,是第三象限的角是第三象限的角(2)与与终边相同的角为终边相同的角为 2k4136(kz),由由52k41360,kz 知知 k1,2,3.在在5,0)内与内与终边相同的角是终边相同的角是3136,10336,17536.用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角 2k(kz)时时, ,其中其中 2k是是的偶数倍的偶数倍, ,而不是整数倍而不是整数倍, ,还还要注意角度制与弧度制不能混用要注意角度制与弧度制不能混用活学活用活学活用1将将1 125表示成表示成 2k,02,kz 的形式为的形式为

8、_解析：解析：因为因为1 1254360315,31531518074,所以所以1 125874.答案：答案：8742用弧度表示终边落在阴影部分内用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界不包括边界)的角的集合的角的集合解：解：如图如图,330角的终边与角的终边与30角的终边相同角的终边相同,将将30化为弧度化为弧度,即即6,而而 7575180512,终边落在阴影部分内终边落在阴影部分内(不包括边界不包括边界)的角的集合为的角的集合为 |2k62k512，kz.扇形的弧长公式及面积公式扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积题点一：利用公式求弧长和面积1已知扇形的半径为已知扇形的半

9、径为 10 cm,圆心角为圆心角为 60,求扇形的弧长和面积求扇形的弧长和面积解解： 已知扇形的圆心角已知扇形的圆心角603,半径半径 r10 cm,则弧长则弧长 lr310103(cm),于是于是面积面积 s12lr1210310503(cm2)题点二：利用公式求半径和弧度数题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形扇形 oab 的面积是的面积是 4 cm2,它的周长是它的周长是 8 cm,求扇形的半径和圆心角求扇形的半径和圆心角解：解：设扇形圆心角的弧度数为设扇形圆心角的弧度数为(02),弧长为弧长为 l cm,半径为半径为 r cm,依题意有依题意有l2r8，12lr4，由由,得得 r2,l8

10、2r4,lr2.故所求扇形的半径为故所求扇形的半径为 2、圆心角为、圆心角为 2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是已知扇形的周长是 30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？大？最大面积是多少？解解： 设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为(02),半径为半径为 r,面积为面积为 s,弧长为弧长为 l,则则 l2r30,故故 l302r,从而从而 s12lr12(302r)rr215r15,所以所以,当当 r152cm时时,2,扇

11、形面积最大扇形面积最大,最大面积为最大面积为2254cm2.弧度制下涉及扇形问题的攻略弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是明确弧度制下扇形的面积公式是 s12lr12|r2(其中其中 l 是扇形的弧长是扇形的弧长,r 是扇形的半是扇形的半径径,是扇形的圆心角是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪关键是先分析题目已知哪些量求哪些量些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组组)求解求解提醒提醒运用弧度制下的弧

12、长公式及扇形面积公式的前提是运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度为弧度层级一层级一学业水平达标学业水平达标1把把 50化为弧度为化为弧度为()a50b518c185d9 000解析：解析：选选 b5050180518.2扇形的周长是扇形的周长是 16,圆心角是圆心角是 2 弧度弧度,则扇形的面积是则扇形的面积是()a16b32c16d32解析：解析：选选 c弧长弧长 l2r,4r16,r4,得得 l8,即即 s12lr16.3角角的终边落在区间的终边落在区间3，52 内内,则角则角所在的象限是所在的象限是()a第一象限第一象限b第二象限第二象限c第三象限第三象限d第四象限第四象限

13、解析：解析：选选 c3的终边在的终边在 x 轴的非正半轴上轴的非正半轴上,52的终边在的终边在 y 轴的非正半轴上轴的非正半轴上,故角故角为第三象限角为第三象限角4时钟的分针在时钟的分针在 1 点到点到 3 点点 20 分这段时间里转过的弧度为分这段时间里转过的弧度为()a143b143c718d718解析：解析：选选 b显然分针在显然分针在 1 点到点到 3 点点 20 分这段时间里分这段时间里,顺时针转过了顺时针转过了73周周,转过的弧度为转过的弧度为732143.5下列表示中不正确的是下列表示中不正确的是()a终边在终边在 x 轴上的角的集合是轴上的角的集合是|k,kzb终边在终边在 y

14、 轴上的角的集合是轴上的角的集合是2k，kzc终边在坐标轴上的角的集合是终边在坐标轴上的角的集合是k2，kzd终边在直线终边在直线 yx 上的角的集合是上的角的集合是42k，kz解析：解析：选选 d终边在直线终边在直线 yx 上的角的集合应是上的角的集合应是4k，kz.6135化为弧度为化为弧度为_,113化为角度为化为角度为_解析：解析113113180660.答案：答案：346607扇形的半径是扇形的半径是 6,圆心角是圆心角是 60,则该扇形的面积为则该扇形的面积为_解析：解析：603,扇形的面积公式为扇形的面积公式为 s扇形扇形12r2123( 6)2.答案：

15、答案：8设集合设集合 mk23，kz,n|,则则 mn_.解析：解析：由由k23,得得43k83.kz,k1,0,1,2,mn56，3，6，23.答案：答案：56，3，6，239一个扇形的面积为一个扇形的面积为 1,周长为周长为 4,求圆心角的弧度数求圆心角的弧度数解：解：设扇形的半径为设扇形的半径为 r,弧长为弧长为 l,则则 2rl4.根据扇形面积公式根据扇形面积公式 s12lr,得得 112lr.联立联立2rl4，12lr1，解得解得 r1,l2,lr212.10将下列各角化成弧度制下的角将下列各角化成弧度制下的角,并指出是第几象限角并指出是第几象限角(1)1 725；(2)60360k

16、(kz)解：解：(1)1 7257553605251210512,是第一象限角是第一象限角(2)60360k180602k32k(kz),是第四象限角是第四象限角层级二层级二应试能力达标应试能力达标1下列转化结果错误的是下列转化结果错误的是()a60化成弧度是化成弧度是3b103化成度是化成度是600c150化成弧度是化成弧度是76d12化成度是化成度是 15解析解析：选选 c对于对于 a,60601803；对于对于 b,103103180600；对对于于c对于；对于 d,1211218015.故故 c 错误错误2集合集合k4k2，kz中角的终边所在的范围中角的终边所

17、在的范围(阴影部分阴影部分)是是()解析解析： 选选 c当当 k2m,mz 时时,2m42m2,mz； 当当 k2m1,mz 时时,2m542m32,mz,所以选所以选 c.3若角若角与角与角 x4有相同的终边有相同的终边,角角与角与角 x4有相同的终边有相同的终边,那么那么与与间的关系为间的关系为()a0b0c2k(kz)d2k2(kz)解析：解析：选选 dx42k1(k1z),x42k2(k2z),22(k1k2)(k1z,k2z)k1z,k2z,k1k2z.22k(kz)4圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为则该圆弧所

18、对圆心角的弧度数为()a3b23c 3d2解析解析： 选选c如图如图,设圆的半径设圆的半径为为r,则圆的内接正三角形的边长则圆的内接正三角形的边长为为 3r所以圆弧长度为所以圆弧长度为3r 的圆心角的弧度数的圆心角的弧度数3rr 3.5若角若角的终边与的终边与85角的终边相同角的终边相同,则在则在0,2上上,终边与终边与4角的终边相同的角是角的终边相同的角是_解析：解析：由题意由题意,得得852k,425k2(kz)令令 k0,1,2,3,得得425,910,75,1910.答案：答案：25,910,75,19106已知一扇形的圆心角为已知一扇形的圆心角为3rad,半径为半径为 r,则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为_解析：解析：