定积分的应用(ch10sec1)

1、假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；假舆马者，非利足也，而致千里；-旬旬子子本章主要内容本章主要内容: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 解决问题方法解决问题方法: 定积分的元素法表示为niiixfu10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 u 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) u 对区间 a ,

2、 b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量求出局部量的的微分表达式微分表达式xxfud)(d第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量求出整体量的的积分表达式积分表达式uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近

3、似值近似值精确值精确值四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第一部分一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(边梯形面积为 a ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfabad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限

4、所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxadd22332x01331x3110axxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyad)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42aabxoyx例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有axya0d4利用椭圆的参数方程)20(sincostt

5、bytax应用定积分换元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxdoyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(ttttta)(1axt对应)(1bxt对应例例4. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tada解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uua

6、dsin162042216a4321223 a20axyoa22. 极坐标情形极坐标情形,0)(,)(,rcr设求由曲线)(rr 及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(rr x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2ra 所求曲边扇形的面积为d)(212ra 对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20a22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积 . ttadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarx

7、a2o dd)cos1 (2122a02a02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223aoxya2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义心形线心形线(外摆线的一种)2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aa22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2a2sin2a例例8. 求双纽线所围图形面积 .

8、 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404a402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 ab 上任意作内接折线 ,0m1imimnmabyox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 ab 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iimm1ni 10lims则称sdyxabo定理定理 1: (1) 曲线弧c由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)

9、(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:

10、xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为例例10. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos

11、22ta02a8xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为xxavbad)(xabxxxd)(xa上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(x

12、dbav当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcvxxoy)(yxcdyayxb例例13. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(2v20222(利用对称性)3222312xxaab0a234abox方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyvad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343axyoa2例例14. 计算摆线)cos1 ()si

13、n(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyvaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxvayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !202

14、3dsin)sin(tttta336a)(1yxx 分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226注注:a2柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yvyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxvayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函数yvttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttt

15、a2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a轴所围图及表示xtxxfytv)0(, )()(例例15. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftv 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtvd)()(2d则xxfxttvtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftvtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftv 故例例16. 一平面经过半径为r 的圆柱体的底圆中心 , 并与

16、底面交成 角,222ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .orxyxorxy思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(ya提示提示:tan2yx22tan2yryvr0tan2yyryd22abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面1222222czbyax所

17、围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxa因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaav02x233axx的体积.ox1 2ybc3a例例18. 求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(考研题)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为v432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充

18、补充)设平面光滑曲线, ,)(1bacxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsysd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsysd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积s 的 )(2ttttd)()(22s注意注意:侧面积为xryo例例19. 计算圆上绕在,21222rrxxxryxx 轴旋转一周所得的球台的

19、侧面积 s .解解: 对曲线弧,2122xxxxry应用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr当球台高 h2r 时, 得球的表面积公式24rs1x2xozyx例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 s .解解: 利用对称性2022sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos星形线星形线taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 r

20、a小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttad)(212a3. 已知平行截面面面积函数的立体体积baxxavd)(旋转体的体积2)(yxa绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sysd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxa2)(绕 y 轴 :(柱壳法)

21、(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 a 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yad 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆)()(222brrbyx绕 x 轴oxyrbr上上半圆为22xrby y22xrx下下222)(xrb222)(xrbrv02xdbr222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 v 及表面积 s .方法方法2 用柱壳法rbrvdy2x2ydrbrbv4oxyybyryd)(22ybr222说明说明: 上式可变形为2rvb2d2br 20上上半圆为,22xrby下下 y22xrx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2brv求侧面积求侧面积 :oxyrbrr02)(222xrbxyd12r02)(222xrbxyd12相同二者