【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 课时提升作业(八) 2.1.2

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(八)空间中直线与直线之间的位置关系(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.在三棱锥s-abc中,与sa是异面直线的是()a.sbb.scc.bcd.ab【解析】选c.如图所示,sb,sc,ab,ac与sa均是相交直线,bc与sa既不相交,又不平行,是异面直线.2.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()a.一定平行b.一定相交c.一定是异面直线d.平行、相交或异面都有可能【解析】选d.当a,b,c共面时,ac;当a,b,c不共面时,a与c可能异面、平行也可能相交.3.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,

2、f分别是ab,ad的中点,则异面直线b1c与ef所成的角的大小为()a.30°b.45°c.60°d.90°【解析】选c.连接b1d1,d1c,则b1d1ef,故d1b1c为所求,又b1d1=b1c=d1c,所以d1b1c=60°.【补偿训练】在正方体ac1中,e,f分别是线段bc,cd1的中点,则直线a1b与直线ef的位置关系是()a.相交b.异面c.平行d.垂直【解析】选a.如图所示,直线a1b与直线外一点e确定的平面为a1bcd1,ef平面a1bcd1,且两直线不平行,故两直线相交.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知abc=120&

3、#176;,异面直线mn,pq,其中mnab,pqbc,则异面直线mn与pq所成的角为.【解析】结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线mn与pq所成的角为60°.答案:60°【补偿训练】平行六面体abcd-a1b1c1d1中,既与ab共面又与cc1共面的棱有条.【解析】与ab平行、cc1相交的直线是cd,c1d1;与cc1平行,ab相交的直线是bb1,aa1;与ab,cc1都相交的直线是bc,故满足条件的棱有5条.答案:55.如图所示,正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别为棱c1d1,c1c的中点,有以下四个结论:直线am与cc1是相交直线;直线am与b

4、n是平行直线;直线bn与mb1是异面直线;直线am与dd1是异面直线.其中正确结论为(写出所有正确结论的序号).【解析】直线am与cc1是异面直线,直线am与bn也是异面直线,所以错误.点b,b1,n在平面b1c中,点m在此平面外,所以bn,mb1是异面直线.同理am,dd1也是异面直线.答案:三、解答题6.(10分)如图所示,oa,ob,oc为不共面的三条射线,点a1,b1,c1分别是oa,ob,oc上的点,且oa1oa=ob1ob=oc1oc成立.求证:a1b1c1abc.【解题指南】由初中所学平面几何知识,可证明两内角对应相等,进而证明两个三角形相似.【证明】在oab中,因为oa1oa=

5、ob1ob,所以a1b1ab.同理可证a1c1ac,b1c1bc.所以c1a1b1=cab,a1b1c1=abc.所以a1b1c1abc.【误区警示】在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等.此时要注意观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.【补偿训练】空间四边形abcd中,ab=cd且ab与cd所成的角为30°,e,f分别是bc,ad的中点,求ef与ab所成角的大小.【解析】取ac的中点g,连接eg,fg,则egab,gfcd,且由ab=cd知eg=fg,所以gef(或它的补角)为ef与ab所成的角,egf(或它的补角)为ab与cd所成的角.因为ab与cd所成的

6、角为30°,所以egf=30°或150°.由eg=fg知efg为等腰三角形,当egf=30°时,gef=75°当egf=150°时,gef=15°.故ef与ab所成的角为15°或75°.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()a.l1l2,l2l3l1l3b.l1l2,l2l3l1l3c.l1l2l3l1,l2,l3共面d.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选b.a选项,l1l2,l2l3,则l1与l3的位置关系可能

7、是相交、平行或异面;b选项正确;c选项,l1l2l3,则l1,l2,l3既可能共面,也可能异面;d选项,如长方体共顶点的三条棱为l1,l2,l3,但这三条直线不共面.2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是()a.空间四边形b.矩形c.菱形d.正方形【解析】选b.易证四边形efgh为平行四边形.又因为e,f分别为ab,bc的中点,所以efac,又fgbd,所以efg或其补角为ac与bd所成的角.而ac与bd所成的角为90°,所以efg=90°,故四边形efgh为矩形.【拓展延伸】作异面直线所成角的三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位

8、线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·重庆高二检测)给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.在空间若两条直线不相交,则它们一定平行;平行于同一条直线的两条直线平行;一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交;空间四条直线a,b,c,d,如果ab,cd,且ad,那么bc.【解析】错,可以异面;正确,公理4;错误,和另一条可以异面;正确,由平行直线的传递性可知.答案:4.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,(1)aa1与c1d1所成的角的度数为.(2)aa1与b1c所成的角的度数为

9、.【解析】(1)因为aa1dd1,所以dd1c1即为所求的角.因为dd1c1=90°,所以aa1与c1d1所成的角为90°.(2)因为aa1bb1,所以bb1c即为所求的角.因为bb1c=45°,所以aa1与b1c所成的角为45°.答案:(1)90°(2)45°三、解答题5.(10分)如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中的面a1c1内有一点p,经过点p作棱bc的平行线,应该怎样画?并说明理由.【解题指南】由于bcb1c1,所以平行于bc的直线只需要平行于b1c1即可.【解析】如图所示,在面a1c1内过p作直线efb1c1,交

10、a1b1于点e,交c1d1于点f,则直线ef即为所求.理由:因为efb1c1,bcb1c1,所以efbc.【补偿训练】在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧面都是矩形,底面abcd是菱形且ab=bc=23,abc=120°,若异面直线a1b和ad1所成的角为90°,试求aa1.【解析】连接cd1,ac,由题意得四棱柱abcd-a1b1c1d1中a1d1bc,a1d1=bc,所以四边形a1bcd1是平行四边形,所以a1bcd1,所以ad1c(或其补角)为a1b和ad1所成的角,因为异面直线a1b和ad1所成的角为90°,所以ad1c=90°,因为四棱柱abcd-a1b1c1d1中ab=bc=23,所以acd1是等腰直角三角形.所以ad1=22ac,因为底面abcd是菱形且ab=bc=23,abc=120°,所以ac=23×sin 60°×2=6,所以ad1=2