定积分(辅导班、习题课)

1、12345678910111213141516175.积分恒等式的证明积分恒等式的证明解法思路解法思路:（1）变量代换公式变量代换公式和和分部积分公式分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；可用来推出其它积分等式；（2）视为变限积分函数问题，转化）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。为导数的应用问题。（3）用中值定理）用中值定理1819206.积分不等式的证明积分不等式的证明与积分等式的证明对应，解法思路与积分等式的证明对应，解法思路:（1）通过定积分估值性质比较大小；）通过定积分估值性质比较大小；（2）视为变限积分函数问题，

2、转化为导）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题函数的单调性；数的应用问题函数的单调性；（3）利用重要不等式，如柯西不等式：）利用重要不等式，如柯西不等式：dxxgdxxfdxxgxfbababa )()()()(222222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 2122237.积分中值问题积分中值问题解法思路解法思路: 通常是积分中值定理、介值定通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。理和微分中值定理的联合使用。2425定积分的应用定积分的应用1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 .物理方面物理方面 :

3、 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .26例例1. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xcxaxf223)(故得27又10d)(2xxfxxcxad2321022caac 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积vxxfd)(102161

4、0132aa,01513av令5a得又v 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 v 取最小值 .xoy1xoy128例例2.（0702）设）设d是位于曲线是位于曲线2(1,0)xayxaax 下方、下方、x轴上方的无界区域轴上方的无界区域 。(i) 求区域求区域 d 绕绕 x 轴旋转一周所成旋转体的轴旋转一周所成旋转体的 体积体积v(a); (ii) 当当a为何值时，为何值时，v(a)最小最小? 并求此最小值并求此最小值.290510152025301.10f x( )300 xf x( )xax2a30200( )xav ay dxxadx0lnxaaxdaa00lnxxaaaxaad

5、xa22.(ln )aa解：解： (i) =22412 (ln )(2ln )( )0(ln )aaaaav aaln ln10aa(ii) 得得 即 a = e 2( ).v ee（唯一的驻点）（唯一的驻点） 31xy224xxyo)d5(dxu 故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxvd5)2(222051uvdd2apxd2ud例例3. 求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为),4,2(a曲线上任一点)4,(2xxxp到直线xy2的距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u则32例例4. 半径为 r , 密度为的

6、球沉入深为h ( h 2 r ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dwxy d2提出水面后的微功为2dw)(dg2xrxyxxrxrd)(g22,0 xxrhxrd)(g)(220h),(yxxyxo现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xrh33因此微功元素为21dddwwwxxrd)( g22球从水中提出所做的功为wxxrxrhrrd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxrrd)(220g)(34003rhr)( g200rhh)(0)(0 xr hxoyx34例例5. 设有半径为 r

7、 的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h r ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyr hr设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则35oxyhr(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyrx)(hvyyryhd)2(20故有t ayyryhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hrhthddathdd)2(2hrhaat (升) ,36(2) 将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于d,yyyyx d2微元体积:微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素oxrywdyx dg2)(yr yyryryd)(2(g2故所求功为wr0