固体物理答案

1、（1）共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的 数目是有限制的。N<4,有n个共价键；n>=4,有（8-n）个共价键。其中n为电子数目。 方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。（2）如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力， 而电负性是用来表示原子得失电

2、子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。（3）引入玻恩-卡门条件的理由是什么？在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样 所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的 晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间 的原子的运动方程来描述。波恩一卡门条件解决上述困难。（4）温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？温度一定，一个声学波的声子数目多。对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。（5）长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？不能

3、。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。（6）晶格比热理论中德拜（Debye）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因 是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得 到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹 性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对 热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在 低温主要对热容贡献的是长声学支格波。

4、（7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有 负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？"FF F Fl F v F v Fl v= + 吕 =+ ! m m m m m mb也p 11（p） 外力给予电子德+（ :p）晶格给予电子彳诂（p）外力给予电子徳" CP） 电子给予晶格胡 mmm当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。（8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费

5、米能级的变化？在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范 围的能级。故费米球体积 V增大，又电子总数N不变，则电子浓度减小，又，则 费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V增大，同理费米能级减小。（9）什么是p型、N型半导体？试用能带结构解释。P 型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入微量的三价元素（硼或 铝），主要依赖空穴导电；N型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入少 量五价元素（磷或砷）杂质，主要依赖电子导电。（10）德拜模型的三点假设？（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波（2）有一支纵波两支横波（3）晶格震动频率在0之间（为德拜频率）（11）布洛

6、赫定理的内容？当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：伙尸）二erw（r） 布洛赫函数） = M（r）周期性函数其中k为电子波矢，R,二佔+陀爲+吸 是格矢。（12） 金刚石结构有几支格波？几支声学波？几支光学波？设晶体有N个原胞， 晶体振动模式数为多少？金刚石为复式格子，每个原胞中有两个原子。则m=3，n=2.（m表示晶体的维数，n是原胞中原子的数目）所以，有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N（13）近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？近自由电子：（1）在k=n /a时（在布里渊区边界上），电子的能量出现禁带， 禁带宽度为（2）在k=nn /a附近，能带底部电子

7、能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线（3）在k远离n n /a处，电 子的能量与自由电子的能量相近。紧束缚：，表示相剧为 的两个格点上的波函数的重叠积分，它依赖于与的重叠程度，重叠最完全，即 最大，其次是最邻近格点的波函数的重叠积分，涉及较远的格点的积分甚小，通常可以忽略不计。近邻原子的波函数 重叠越多，的值越大，能带宽度越宽。由此可见，与原子内层原子所对应 的能带较窄，而不同的原子态所对应的和 是不同的。（14） 紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为 什么？外层电子的能带较宽，因为近邻原子的波函数重叠越多，的值越大，能带将越宽。（15）在

8、晶格常数为a的一维简单晶格中，波长=4a和=4a/5的两个格波所对应的 原子振动有无不同？画图说明之。没有不同（16）在什么情况下必须可以忽略电子对固体热容量的贡献，并说明原因。 在什么情况下必须考虑电子对固体热容量的贡献，并说明原因。 在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为，而电子比热容的量级为，晶格热容量比电子热容量大得多，可以忽略。这是因为尽管金属中有大量 的自由电子，但只有费米面附近 范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级，所以电子热容量很小。在低温范围，晶格热容量迅速下降，在低温的极限趋于 0,电子热容量和 T成正比，随温度下降比较缓慢。（17）请简述满带、空带、价带、导带和带

9、隙。满带：能带中所有电子状态结构被电子所填满空带：能带中所有电子状态均未被电子占据价带：最外层电子所处的能带导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态带隙：量能带之间的间隔近满态：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态（18）请解释晶向指数、晶面指数和密勒指数。任意两格点连线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数据称为晶向指数。如果取某一原子为原点，沿晶向到最近邻的原子的位矢为，为固体物理学原胞基矢。为该晶列的晶列指数。在晶格中，通过任意三个在同一直 线上的格点，作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数（密勒 指数）。1试证明倒格矢Gh二hQ h2b2 h3b

10、3与正格子晶面族（hi,h 2,h 3）正交；并证明晶面族（hi,h2,h 3）面间距为dh2h3 = 一，其中Gh1h2h3为倒格矢Ghih2h3Gh = h-ib-i h2b2 h3b3 的长度。讣明：（1 ）设/月C为晶面族（hjqhj中离原点最近的晶面，恥=0=0如3C在基矢7祐质上的截距分别为 由图可知：ca = 5a-5c = hi叽Gh CA =(热力1十為肌十耳亦) ¥>-9-GkCB = (hybi + *3*3)所以Gh = hJ）x+hJ）2+h 与晶面族（町他佩）正一交。O点到最近晶面的距离为%叭=OA n = OB n = OC n4F*1虬Gh屿-（

11、么屍十粗鼻十爲亦）_ 2加12证明对于基矢量ai,a2,a3互相正交的晶格，证明密勒指数为（h，k, i ）的2 i'（）。a3晶面系，面间距d满足:d2 =1/()2ai2i, b2 二 ai _倒格矢 Ghki 二 hbi kb2.2 “ 2 二.2解: bl2uj, bs 二a2止）2a22 一ka3lb3与正格子晶面族（h,k, |正交。d=)G hklh)2 & (丄)2aia2a33.某单价金属，为平面正六方形晶格如图所示，六角形两个对边的间距是a,基- a73a43 :矢 aiiaJ , a2iaJ，2 2 2 21）求出正格子原胞的体积；求出倒格子基矢，并画出

12、倒格子点阵原胞，和画出此晶体的第一布里渊区；2）若价电子可以看成是自由电子，原胞数为 N，求能态密度N （E）;3）求T= Ok时的费米能级丘°。若晶格为平面正三角形，相邻原子间距为a？a?昶i =aj，a3 二 k_223a222 2(1) ai = ai,正格子原胞体积:-2兀- -bia2a3'J二 2二 J 3i = 23 J 二 3a、3a-2兀-4兀-k2ai3r aib?a 3 aj2 i i 1. 3aN(E)V3 22N a22(2)22 kx3Na2m22k meQN(E)dEeQ2 2J3Na2m4.已知由N个原子组成的惰性元素晶体总势能可写为:-U(r

13、)=2Nw A,I-a_P，其中 ACJ2 =12.132,代=14.454，求:单个原子:八严护号m(1) 原子平衡时距离;(2) 晶体结合能。r =£q(1)平衡时空"dr单个原子:八严护号m6A2“叽匚67= 0rQ _rQ,、a/Ne(2)结合能：Eb-U°-8.6N ；2Ai2 V6-1.09：2A12Of p5若晶体中两相邻原子的相互作用能U(r) =，求r r(2)单个原子结合能。=0t/(r)=十rmr11(i)平衡时原子间距;解:5)drdU(r)dr«+1- h = Yma JF = -U(r0) = 4单个原子:八严护号mm 2=-

14、 Vn 二）-10c（丄 n Vn ）dt运动方程：2m 2“ = -C（Vn - A n申）- 10c（vn -n ）dt(1)设试探解：J=Ae'wt nka-mw2A 二 c(10 e_lka) 11cAvn 二 Be【wika(2)代入（1）式,有解的条件:2 c/ ika-mw B 二 c(emw2 - 11cc(10 eika)10)B -11cB c(10+ e*3)mw2 - 11c(3)(4)6. 试从k的取值范围和E（k）k的关系两方面，画出一维晶格能带扩展 能区图或简约能区图7. 考虑一个双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于 10G令两种原子的质

15、量m相等，近邻原子间距为a/2 , （1）求色散关系 要求写出推导过程并粗略地画出简约区的色散关系图d2打24222W_w - 22mcw 20c (1 - coska) = 0 二 £11 叮 121 二20(1：coska)m22c2 门,w0 m20c2当 k =na, w, w 一二m8.考虑一维双原子链的晶格振动， 恢复系数为B ,（1）求色散关系 区的色散关系图。（2）讨论在布里渊区的边界处光学波和声学波的特点。质量为M的原子编号为助2 、2#汁2、2 _当 k = 0, w 二2cm平衡时相邻原子间距为a,质量为m和（m<M, s （k）要求写出推导过程。粗略地画

16、出简约质屋为加的原子编号为加7、乃汁1、2/1+3.若只考虑最近邻原干的相垃作用，则有;£+i)川尤 3 5-1=歸+ ”%_i 一)m x2n = -"C+i=Q&g 十 5 -0%2/?20£ °IVm=071<2/=0时x Ngf 固1冶2 tt _1J + 2-MajrB =+)4 - 2pB 、-mA = 0诚 + 严U-2J3A f (2/5 cos aq)A + (Af e?1 2/3)B = O1 (/十(2Q cos aq)B = O若直不全为零，必须其系数行列式为零，即：2 pcosaq Mar 2/3 m(D 2J3

17、2cosa(tn + M )十 |/<: + Af3 + 2mM cos(2aq »%0昭A|(wf + Af ) /w : + M 2 + 2mM cos(2fl ) 光学支格波，4(-)声学支格波>o(+)Q(-沪如)讹+矢如0IUIH"2时F2(朋十 mM折合质量# (/; + M) ± nr +Af: 2mM cslaqq= n/2a或-n/2a时光学支格波取最小值，声学支格波取最大值；q=0时，光学支格波取最大值，声学支格波取最小值。9. 推导晶格常数为a的体心立方晶格(或面心立方、简单立方)中由原子S态巾 S (r)形成的能带：1)写出在最

18、近邻作用近似下，由紧束缚法得到的晶体S态电子能量表达式E( k); 2)指出能带底与能带顶晶体电子能量，其能带宽度等 于多少？并求出能带底与能带顶的有效质量。-*最近邻 -atik REs(k) = Es - J。- Je mRm对于简单立方晶格：Rm =a,0,0 , 0,-a,0 , 0,0,故Es k 二 Esa - J0 - 2J, coskxa coskya coskza-(0,0,0)，能带底部,Es k 二 Esat - J。6J1p(,)，能带顶部, a a aEs k 二 EsatJ06J1E - 12J1，电子的有效质量分量:mxx22a J1(coskxa)yy22a J

19、1 (coskya)mzz22a J1(coskza)能带底部，mxx - myy2aJ-2能带顶部，mxx二myy二 mzz2aJ10. 已知一维晶体的电子能带可写成:舟2 71E(k)二( coska cos2ka)ma2 88。式中a是晶格常数。试求(1) 能带的宽度；电子在波矢k的状态时的速度；(3)能带底部和顶部电子的有效质量沪71解：(1)E(k) -2 ( coska cos2ka)ma 882 71=2-coska+-(2 cos ka- 1)ma 88岛22=2 -(coska 2) 114ma当 ka= (2n+1)二时,n=0, -1, -2,2岛2E max (k )

20、=2当ka=2n时,Emin (k) = 0能带宽度=Emax-Emin2 mama103103(2) . -1dE(k)-1(sin ka 一sin 2ka)'dk ma42 1 1二 m(coska cos2ka)当k 时,带顶，a11 设晶体中每个振子的零点振动能2、试用德拜模型求晶体的零点振动能。103103Vc 2v3( )dVcVl1 D 2 -)2d = 3N3 0Vt仏(丄丄、3Q 2' 33)冷 3N6 2 v3 v；18N二 2Vcd 2)VlVt103晶格振动的零点能1030D1 d 一 D Vc12 0勻13d = - Nv； 2812.在极低温度下，利

21、用德拜模型证明一维、二维、三维晶格热容与温度T的关系。7L证在极低温度下.可用徳拜模塑.q点密度为云(Jco 区 I h格波 数为g(otdco = 2dy :cl CO2离K乡爲叫所以格波密皮函敌g(o)=只Tkq<-的格波才能被激发.激发的格波敌対:hA= Jo由"题述亦极低温度F F单式格鬥”S波激发榊足笳格波能:为KttT. WiJ晶挤熾容为-2g即热容【卜比十T0而徳拜模型中=vq ,故*(m)xx qet4*7真匕«珀(严心-订令晋则上式变为JK A*-fr I"一1严在低温时"警 TOOkT捍1*1厂-'Tdv x(才一订则积分【左严为一个于T无关的常数故Cv Tm 对三维m=3 G 乂严对本题研究的一维 m=2 Cv * T'对一维C¥ oc13.温度为0K时，N个自由电子构成的三维自由电子气，费米能级为丘，N(E) = 4 V2% '2，求：（1）k空间费米半径、h2个电子的平均能量E0 （用Ef0表示）费米温度；（2）体系中每PF -力血fa。在只考虑最近邻相互作用的近似下，求出由s态电子形成的能带色散关系；（2）解：（1）如图,费米动量 Q01_06_003温度为OKK, V个自由电子构成的三址日由电子气