中值公式的证明

1、数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0( ).f 微分中值定理与中值公式的证明微分中值定理与中值公式的证明罗尔定理：罗尔定理：若函数若函数f(x)满足满足:(1)在在a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;(3)f(a)=f(b).则至少存在一点则至少存在一点(a,b),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0( ).f 定理：定理：若函数若函数f(x)满足满足:(1)在开区间在开区间(a,b)内连续且可导内连续且可导;(2) f(a+0)=f(b-0).则至少存在一点则至少存在一点(a,b),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课

2、件多媒体教学课件( )0.f 证明证明: 情形情形1: a,b都是有限实数都是有限实数,且且f(a+0),f(b-0)也也由洛尔定理由洛尔定理,至少存在一点至少存在一点(a,b),使使是有限实数是有限实数.令令00( ), ( , )( )(),(),f xxa bf xf axaf bxb (a,b),时时,( )( )0.ff 则则f(x)在在a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;f(a)=f(b),但但数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件00()()().f af b 情形情形2: a,b都是有限实数都是有限实数,但但令令( )tan( ),f xf

3、 x 令令则则f(x)满足情形满足情形1的所有条件的所有条件,因此因此存在存在(a,b),使使201( )( ),( )fff 即即0( ).f 情形情形3: a是有限实数是有限实数, b=+ , f(a+0),f(b-0)是有限实数是有限实数.令令( )(tan ),f tft 可以证明可以证明.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件情形情形4: a=- , b=+ , f(a+0),f(b-0)是有限实数是有限实数.令令( )(tan ),f tft 可以证明可以证明.情形情形6: a=- , b=+ , f(a+0),f(b-0) =+ (- )类似于情形类似于情形5.情形

4、情形5: a是有限实数是有限实数, b=+ , f(a+0),f(b-0) =+ 时时,f(x)有有最小值最小值. f(a+0),f(b-0) =- 时时,f(x)有最大值有最大值.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )( ).f bf afba拉格朗日定理：拉格朗日定理：若函数若函数f(x)满足满足:(1)在在a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;则至少存在一点则至少存在一点(a,b)使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )( )().f xf yfxy()( )().f xxf xfxxx 注注1如果函数如果

5、函数f (x)在在(a,b)内可导内可导,则对任意则对任意x,y (a,b),存在存在 ( 在在x与与y之间之间)使使注注2 对对x, x+ x (a,b),存在存在 (0 1),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件注注3 拉格朗日定理有明显的几何意义拉格朗日定理有明显的几何意义.如果函数如果函数f (x)在在(a,b)内可导内可导,则对任意则对任意x, x(a,b),存在存在 使曲线使曲线y=f (x)在点在点c( ,f ( )处的切线平行于连结处的切线平行于连结a(x,f (x)axyoabbcxxb(x ,f (x )的弦的弦.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多

6、媒体教学课件( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag柯西定理：柯西定理：若若f(x)与与g(x)满足满足:(1)在在a,b上连续上连续,(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,(3)对任意对任意x (a,b), g (x) 0,则至少存在一点则至少存在一点(a,b),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件000( )()( )()( ).!knknkfxf xxxrxk1101()( )( )(),()!nnnfrxxxn 泰勒定理：泰勒定理：若函数若函数f(x)在在x=x0的某邻域内有的某邻域内有n+1阶导数阶导数则则其中其中 在在x与与x0

7、中间中间.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0000( )()( )()() ).!knknkfxf xxxo xxk定理：定理：若函数若函数f(x)在在x=x0的某邻域内有的某邻域内有n阶阶导数阶阶导数,则则特别地特别地,当当x0=0时时00( )( )( )( ) .!knknkff xxo xk数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2. 中值公式的证明中值公式的证明(1)与洛尔定理有关的问题与洛尔定理有关的问题( )( )( ),g xf xf x e例例1 假设假设f(x)和和g(x)都是可导函数都是可导函数,试证试证:在在f(x)的任意两个的任意两个零

8、点之间必定有函数零点之间必定有函数f(x)g (x)+ f (x)的零点的零点.证：证：作辅助函作辅助函数数并设并设x1, x2是是f (x)的的任意两个零点任意两个零点,且且x11为常数为常数.所以令所以令在在0,1上对上对用罗尔定理可得到证明用罗尔定理可得到证明0yxy注：注：解微分方程解微分方程可得到辅助通解为可得到辅助通解为.x yc 那么就作辅助函数那么就作辅助函数这是中值公式证明过程构造辅助函数的常用方法这是中值公式证明过程构造辅助函数的常用方法.( )( ),f xx f x( )( ),f xx f x数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0( )( ).ff 例

9、例3 设设f(x)在在a,b上可导上可导,f(a)=f(b)=0,(0a1为常数为常数. (a,b),使得使得证证: 设设( )( ),f xxf x 则则f(x)在在a,b上可导上可导,且且f(a)= f(b)=0,洛尔定理洛尔定理,存在存在 (a,b),使得使得f ( )=0.而而1( )( )( ),afx xf xfxx 故由故由f ( )=0,推出推出0( )( ).ff 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1( ).f1111( )( )0.2222ff 例例5 设设f(x)在在0,1上连续上连续,在在(0,1)内可导内可导,且且f(0)=f(1)=0,f(1/2)

10、=1,试证试证:至少存在一点至少存在一点 (0,1)使使112(, ),0( ).f00 1( , )( , ),由连续函数的介值定理由连续函数的介值定理,存在存在使使由罗尔定理由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点证：证：令令f(x)=f(x)-x,则则f(0)=0,f(1)=f(1)-1=0-1=-10,试证存在一点试证存在一点 (0,1)使使证明证明:令令则则f(x)在在0,1上连续上连续,在在(0,1)内可导内可导,且且f(0)=f(1)=0,由罗尔定理至少存在一点由罗尔定理至少存在一点0( ).f (0,1)使使即即21210( )( )()( )().fffff数学分析选讲数学分析选

11、讲多媒体教学课件多媒体教学课件211( )().( )()ffff亦即亦即211( )()( )()ffff211( )()( )()fxfxf xfx( ) (1)2 ( )(1)0fx fxf x fx2 ( )(1)0.f x fx 注注1 构造辅助函数的思考方法是由构造辅助函数的思考方法是由数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件12012( )( ).fxf x dx( )( ).ff 例例7设设f(x)在在0,1上可导上可导,且满足且满足证明：至少存在一点证明：至少存在一点 (0,1),使得使得证：证：令令f(x)=xf(x),则则f(x) 在在0,1上可导上可导,由由

12、及积分中值定理及积分中值定理,存在存在1(0, )212012( )( )( ),fxf x dxf11112( )( )( ),( )( ),().fffff于是有于是有12012( )( ).fxf x dx使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0( ),f0( )( ),ff( )( ).ff 即即亦即亦即( )( )ff 1( )( )( )( )f xfxfxxf xx ln( )lnln( )( )cf xxcf xxf xcx ( )( ).f xxf x 注：注：用用x代替代替 ,结论为结论为从而得辅助函数从而得辅助函数( ,1)(0,1)由罗尔定理，存在由罗

13、尔定理，存在使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( ).( )( )ffgg例例8设设f(x),g(x)在在a,b上二次可导上二次可导,且且g (x) 0,f(a)=f(b)=0,g(a)=g(b)=0,试证试证:(1)在在(a,b)内内g(x) 0;(2)在在(a,b)内至少存在内至少存在一点一点 ,使使证证:(1)(用反证明法用反证明法)若存在一点若存在一点c (a,b)使使g(c)=0,则在则在a,c和和c,b上用洛尔定理上用洛尔定理,存在存在 1 (a,c), 2 (c,b),使使1200(),(),gg再在再在 1, 2上对上对g (x)用洛尔定理用洛尔定理

14、,存在存在 3 ( 1, 2),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件30(),g 这与已知条件矛盾这与已知条件矛盾,在在(a,b)内内g(x) 0.(2) 令令( )( )( )( ) ( ),xf x g xfx g x 易知易知 (x)在在a,b上满足洛尔定理的条件上满足洛尔定理的条件,因此存在因此存在 (a,b),使使( )=0,即即0( )( )( )( ) ( ).fgfg 因为因为g ( ) 0, g ( ) 0,所以所以( )( ).( )( )ffgg数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件21( )( ).ff 例例9 设设f(x)在在0,1上

15、二次可导上二次可导,且且f(0)=f(1)=0,证明至少存证明至少存在一点在一点(0,1),使得使得证证2121( )( )( )()( )ffff 120( )()( )ff 10( )()( )ff 10( ( )().f 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件因此令因此令f(x)=f(x)(1-x),则则f(x)在在0,1上满足洛尔定理的条件上满足洛尔定理的条件故存在故存在 1 (0,1),使使f ( 1)=0,但但110( )( )()( ),( ),f xfxxf x f所以在所以在( 1,1)上对上对f (x)用洛尔定理用洛尔定理,存在存在 ( 1,1),使使f (

16、)=0,120( )()( ).ff 即即亦即亦即21( )( ).ff 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )( ).( )( )( )ff afg bgg例例10 设设f(x), g(x),在在a,b上可导上可导,且且 g (x) 0,证明至少存证明至少存在一点在一点(a,b),使使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ),f xf x g xf a g xg b f x证明证明 作函数作函数则则( )( )( ) ( ),f af bg b f a 由罗尔定理即可得由罗尔定理即可得.数学分析选讲数学分析

17、选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2|( )|,fx2|( )|( )|().fafbba0( ).f 3 拉格朗日中值公式的证明拉格朗日中值公式的证明例例10设在设在a,b上上且且f(x)在在(a,b)内取得内取得最大最大(小小)值值,试证：试证：证：证：设设f(x)在在(a,b)内内的最大内内的最大(小小)值点为值点为 ,则则 必为一必为一个极值点，因此个极值点，因此( )fx对对在区间在区间a, , ,b上分别用拉格朗日定理有上分别用拉格朗日定理有( )( )( )( )(),( , ).faffafaa 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )( )( )(),(

18、 , ).fbffbfbb |( )| |( )| |( )| |( )|f af bfafb 因此因此22222|()()().ababb a 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )|( )| |.f bf afba 例例11 设设f(x)在在a,b上连续上连续,在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,y= f(x)非直线非直线.求证：存在求证：存在(a,b)使使( )( )( )( )( )()f bf af xf xf axaba证：证：令令则则f(a)=f(b)=0,由于由于y= f(x)非直线非直线,所以所以f(x)不是线性函数不是线性函数因此因此f(x)不

19、恒为零不恒为零,即存在即存在c (a,b),使使f(c)0(0),对对f(x)在在 区间区间a,c,c,b上应用拉格朗日定理上应用拉格朗日定理,有有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1100( )( )( )( )( )( )( )()f bf af cf af cffb ac ac a 2200( )( )( )( )( )( )( )()f bf af bf cf cffb ab cb c 0( )( )f bf aba1( )( )|( )| |.f bf afba 0( )( )f bf aba2,当当,取取有有当当时，取时，取有有( )( )|( )| |.f bf

20、 afba 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( );afbfab 例例12 设设f(x)在在0,1上连续上连续,在在 (0,1)内可导内可导,且且 f(0)=0, f(1)=1,对任意正数对任意正数a,b,证明存在证明存在 , (0,1), ,使使(1).( )( )ababff (2)证证: (1)1( )( )( )( )abafbfabffabab 11( )()( )().affab 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件00( )( )( ) ,()fff 对对f(x)在在0, 和和 ,1上应用拉格朗日定理上应用拉格朗日定理,有有111( )(

21、 )( )(),().fff 因此因此111( )( )()( )( ).()ffff 证证(2)11.( )( )( )( )ababffff 由于由于f(0)=0 1,由拉格朗日定理由拉格朗日定理,有有110( )( )( )(),f xffx 所以所以1( )( ).f xf 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件00( )()( )()f xf xfxx 例例14 设设f(x)在有限开区间在有限开区间(a,b)内可导且无界内可导且无界,证明证明 f (x)在在(a,b)内也无界内也无界.证明证明: 若若f (x)在在(a,b)内有界内有界,即存在常数即存在常数m0,使对使

22、对(a,b)内的任意内的任意x,有有|f (x)|m.设设x0是是(a,b)内的一个定点内的一个定点, x是是(a,b)内的任意一点内的任意一点,则函数则函数f(x)在由在由x0与与x构成的闭区间上可导构成的闭区间上可导,因此由拉格朗日定理因此由拉格朗日定理,存在存在(a,b),使使故有故有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件000|( )()| |( )|(),f xf xfxxm xxm ba 从而从而000|( )| |( )()|()|() |()|.f xf xf xf xm baf x故故f(x)在在 (a,b)内有界内有界,与已知条件矛盾与已知条件矛盾,因此因此f

23、 (x)在在 (a,b)内内无界无界.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件12|( )|( )|,fxf x例例15 设设f(x)在闭区间在闭区间0,1上可导上可导, f(0)=0,且且证明在证明在0,1上上f(x) 0.证明证明:对任意对任意x (0,1,由拉格朗日定理由拉格朗日定理,存在存在 1 (0,x),11102|( )| |( )( )| |() |()|,f xf xffxxf 在在0, 1上对上对f(x)再应用再应用由拉格朗日定理由拉格朗日定理,存在存在 2 (0, 1),使使11212|()|()|,ff 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件这

24、样依次递推这样依次递推,存在存在 n (0, n-1),使使1112|()|()|,nnnff 故有故有1211122|( )|()|()|.nnnnnf xxff 由于由于f(x)在在0,1上可导上可导,因此连续因此连续,故故f(x)在在0,1上有界上有界,即存即存在在m0,使对任意使对任意x 0,1,有有| f(x)| m,因此因此12|( )|.nf xm故在故在0,1上上f(x) 0成立成立.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件证明证明:f(x)在闭区间在闭区间0,a上可导上可导,所以所以f(x)在在 0,a上连续上连续,12,n 例例16 设设f(x)在闭区间在闭区间

25、0,a上可导上可导, f(0)=0, f(a)=n,其中其中n为给定的正整数为给定的正整数,证明在证明在(0,a)内存在内存在n个互不相同的点个互不相同的点使得使得11.()nkkaf 由于由于f(0)=0 1 n= f(a),由连续函数的介值定理由连续函数的介值定理,有有x1 (0,a),使使f(x1)=1.又又f(x1)=12 n= f(a),故存在故存在x2 (x1 ,a),使使f(x2)=2,依此可知依此可知,对任意对任意k=1,2,n-1,存在存在xk (xk-1 ,a)使使f(xk)=k,数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件111()()()(),(,).kkkkk

26、kkkf xf xfxxxx 记记x0=0, xn=a,在闭区间在闭区间xk-1, xk上应用拉格朗日定理得上应用拉格朗日定理得即即11()(),kkkfxx 故故11,()kkkxxf 从而从而1111().()nnkkkkkxxaf 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例17 设设x 0,证明证明:112,( )xxxx (1) 其中其中1142( );x (2) 01142lim ( ), lim( ).xxxx 证明证明:设设( ),f xx在在x,x+1上应用拉格朗日定理上应用拉格朗日定理,11()( )( )f xf xxxfxx 12.( )xx 数学分析选讲数

27、学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件故故1211( ),xxxxxx 42121( )(),xxxx x 从而从而即即001221144()lim ( )lim,xxxx xx 因此因此1142( ).x (2)12214()( ),xx xx 1221142()lim( )lim.xxxx xx 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件( )( )( )ln.bf bf afa ( )( )( )lnbf bf afa ( )( )( )1lnlnf bf afba 柯西中值定理的应用柯西中值定理的应用例例18设函数设函数f(x)在在a,b上可导上可导,0ab,试证存在一点试证

28、存在一点(a,b)使使证：证：从而对从而对f(x)及及g(x)=lnx,应用柯西中值定理即可得到证明应用柯西中值定理即可得到证明.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1( )( ).( )( )abffab f af b 1( )( )abab f af b 11( )( )( )( )f bf aaf bbf abaabba ( )1( ), ( )f xf xg xxx 例例19 设函数设函数f(x)在在a,b上可导上可导, 0a0,使使f (x)在在- , 上连续上连续,从而有从而有21002( )( )( )( ),f xffxfx 界界,即存在即存在m0,有有|f (x)| m成立成立.由泰勒公式由泰勒公式其中其中 在在0与与x之间之间, x - , ,于是有于是有2211022|( )( )|( )|.f xfxfxmx 即即22110022( )( )( ).fxmxf xfxmx数学分析选讲数学分析选讲多