中值定理75992

1、1 中值定理中值定理 洛必达法则洛必达法则 泰勒公式泰勒公式 函数的单调性和极值函数的单调性和极值 函数图形的描绘函数图形的描绘 平面曲线的曲率平面曲线的曲率第第 章章3 3值定理与导数应用值定理与导数应用 在 中中23.1.2 3.1.2 罗尔罗尔( rolle( rolle ) )定理定理3.1.3 3.1.3 拉格朗日拉格朗日(lagrange)(lagrange)定理定理 3.1.4 3.1.4 柯西柯西(cauchy)(cauchy)定理定理 3.1 3.1 中值定理中值定理 3.1.1 3.1.1 费马费马(fermat)(fermat)引理引理33.1.1 3.1.1 费马费马(

2、fermat)(fermat)引理引理问题的引出首先，让我们来观察这样一个几何事实：如图所示xyoab)(xfy c连续曲线弧是函数),)(baxxfy)(af)(bf如果 ,我们看到在曲线弧的最高点c处或最低点处，曲线有水平切线0)(f为，则有 的图形,设c点的横坐标xyoab)(xfy )(af)(bf进一步,当 时,曲线弧ab上,至少有一点c,c又看到使得弧ab在该点处的切线平行于弦ab.4xyoab)(xfy .)()()(abafbff.)()(abafbf又弦ab的斜率是如果仍设c点的横坐标为，则有 由此启发我们考虑这样一个理论上的问题:在区间a ,b 上连续,)(xfy 满足:在

3、区间(a ,b )内可导.是否存在一点, ),(ba使abafbff)()()(成立?下面我们从理论上对这个问题讨论. 为讨论方便,先引入极值定义和费马引理.5定义定义3.1.13.1.1( )i,f x设函数在区间 上有定义0i,x ，的一个邻域若存在0 x使得对一切属于该邻域的0( )() ,f xf x(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf0( )() ,f xf x(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 极大值与极小值统称极值极值x有6费马费马(fer

4、mat)(fermat)引理引理,)(0有定义在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证明证明 设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 7注注(1) 掉的，处可微的条件是不能去在点0 xxf处取得极小值，在0 xxy处不可微，但在0 x例如函数 . 00 f当然也不能有 (2),fxf x此定理中=0只是取得极值的必要条件而非充分条件,3xy 例如函数 .000不是极值点，但虽然xf(3).几何上,可微函数在极值点处的切线是水

5、平的(4).通常称导数为零的点为函数的驻点或稳定点8罗尔（罗尔（ rollerolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a ,b上连续(2) 在区间 (a ,b)内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 证明证明，上连续在因,)(baxf故在a ,b上取得最大值 m 和最小值 m .若 m = m ,则, ,)(baxmxf因此.0)(, ),(fba在(a ,b )内至少存在一点3.1.23.1.2、罗尔、罗尔( rolle( rolle ) )定理定理9若m m , 则m 和m中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afm 则至少

6、存在一点, ),(ba使,)(mf. 0)(f注注 (1)定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo10使(2)定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy 在 (a ,b )内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在(a,b) 内至少存在一点,. 0)(f证明证明 提示提示: : 设证 f(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xfaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(11(3) 罗尔定理的几何意义 yxoabcab如果连续曲线弧 除端点外处处有不垂直于

7、x轴的切线，且端点处的纵坐标相等，上至少存在一异于a、b的点abc，使 在该点的切线平行于x轴（平行于弦ab） ab则12例如 123( )sin0 2 22f xx在 ， 上存在，12( )()0ff使得（4） 点不一定是唯一的。13例例1 1 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1的正实根 .证明证明 1) 存在性 .则)(xf在0,1 连续 ,且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有,

8、0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾,故假设不真!设14例例2 2 若, ),(21xx因此0 )(xxxfe使得)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 证明证明设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexfx显然)(xf在,21xx上满足罗尔定理条件. 0)()(ff整理得15求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使例例3 3 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连

9、续，) 1 ,0()(xf证明证明)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn设辅助函数使得)()(1ffnnn016 例4 设 均在a,b上连续,（a ,b）内可导， xgxf、)()()(xgxfx且有f（a）= g（a），f（b）= g（b）。求证 存在)()(gf（a ，b）使证明 令 ，, 0)()()(agafa, 0)()()(bgbfba,b 上连续,（a ,b）内可导，)()(, 0)()()(gfgf即)(x在a ，b上满足罗尔定理的条件，)(x则由题设知 在且有故存(a ，b)使得173.1.3 3.

10、1.3 拉格朗日拉格朗日( (lagrange)定理定理 )( (1) 在区间a ,b上连续)(xfy 满足:(2) 在区间(a,b) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在a,b 上连续 , 在(a,b) 内可导, 且证证: : 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕18注(1)定理证明中用到的辅助函数 xf不是唯

11、一的如还可改成)(xf afxf)(axabafbf)()(同样可以证明.(2)此定理的几何意义是:可微函数在开区间内至少有一点处的切线平行于两个端点的连线(3)拉格朗日中值定理还有如下表示形式：)()(afbf)(abf),(ba )()(afbf)(ababaf) 1 , 0()()(xfxxfxxxf)() 1 , 0(19可以看出,拉格朗日定理将函数在有限区间上的推论推论 若函数在区间i上满足,0)( xf则)(xf在 i 上必为常数.)(xf证证: : 在i上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(

12、12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 i 上为常数 .也称为有限增量形式. 从式增量和这一区间上某点处的导数联系起来,用导数研究函数的理论依据从而提供了 式20例例5 5 证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证明证明 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令x = 0,得.2c又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1211x211x0经验经验欲证ix时,)(0cxf只需证在 i 上, 0)( xf,0ix 且.)(00cxf使21例例6 6 证明不等式证明证明

13、 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有22 例例7 7 证明当x 1时，ex ex 。 满足拉格朗日定理的条件,) 1)() 1 ()(xffxf即 ex ex 0 =(ee)(x 1) 1x 于是有证明 令 ,etexft 上在时，当xxfx, 11x 1 0，, 0ee而, 0exex1,xexex即则存在（1 ，x）使233.1.4 3.1.4 柯西柯西(cauchy) (cauchy) 定理定理0)()(

14、)()()()(ffafbfafbf)(分析分析)(xf及(1) 在闭区间a ,b上连续(2) 在开区间(a ,b)内可导(3)在开区间(a,b )内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(ffafbfafbf满足 :)(xf0)( xf要证)()()()()()()(xfxfafbfafbfx24证明证明 作辅助函数)()()()()()()(xfxfafbfafbfx)()()()()()()()(bafbfbfafafbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(ffafbfafbf: :

15、柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabfafbf两个 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. 思思考考25柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(ffafbfafbf)(f)(af)()(tfytfx)(af)(bf)(bf)()(ddtftfxy注注xyo弦的斜率切线斜率26注 当f(x)=x时，柯西定理即为拉格朗日定理。故柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。27)0() 1 (ff)0() 1 (ff例例8 8 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xx

16、f,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证明证明 结论可变形为设则)(, )(xfxf在0,1上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 ,1)内至少存在一点 ,使)(f )(f012即)0() 1 (2)(fff证明2811lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(efffeffef例例9 9 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证明证明 法法1 1 用柯西中值定理 .xxfxxfln)(,lnsin)(则 f (x),f(x)在1,e上满足柯西中值定理条件, 令因此

17、11lncoslncos1sin即分析分析: :29例例9 9 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 2 令xxflnsin)(则 f (x)在1,e上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 30小结小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxf)()()(afbfxxf)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维设辅助函数费马引理314412 3412思考

18、与练习思考与练习1. 1. 填空题填空题1) 函数4)(xxf在区间 1,2上满足拉格朗日定理条件, 则中值._2)设有个根 , 它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程322.2.设,0)(cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: : 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xf在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxfsin)()(33费马费马(1601 (1601 1665)1665)法国数学家,他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.34拉格朗日拉格朗