二阶微分方程习题课

1、二阶微分方程二阶微分方程 习题课习题课n二阶常系数线性微分方程的一般形式为二阶常系数线性微分方程的一般形式为n ay+by+cy=f(x)na,b,c都是实系数，都是实系数，a0,f(x)是是x的函数的函数n当当f(x)0 n 为二阶常系数线性齐次微分方程为二阶常系数线性齐次微分方程n当当f(x)0n 为二阶常系数线性非齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程0 qyypy02 qprr 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式 实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1 xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 二

2、阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x) (2)一、 型)()(xpexfmx , )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k特别地特别地xaeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexaxepaeqpay222,2,型型二、二、xexpxfxm cos)()( 型型型及其组合型及其组合xexpxfxm sin)()( )sin(cos)()(21xjxexjqxqxyxk )cos)(sin)()sin)(cos)(

3、2121xxqxxqjxxqxxqexxk 是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 jjk, 1, 0由分解定理由分解定理sin)(cos)(re21xxqxxqexyxk cos)(sin)(im21xxqxxqexyxk 分别是以分别是以 xexpxfxm cos)()( xexpxfxm sin)()( 为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解 例例1 设函数 y = y (x)满足微分方程xeyyy223 且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 yx2x1在该点的切线重合，求函数 y = y (x) . 解解 所给方程是二阶常系数非齐

4、次线性微分方程，且 f (x)2ex 是pm(x)ex型(其中pm(x)2，1)。 原方程对应的齐次方程为 ，其通解为023 yyyxxececy221 由于1是特征方程 r23r20的单根，因此设原方程的一个特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a2，故原方程的通解为xxxxeececxy2)(221从上述方程组中，解得c12，c21.故所求函数为122)0(10)0(02121eccyccy 其次确定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知曲线 yx2x1有公共的切线，因此所求函数应满足初始条件：y(0)1及 ，即有1)0( yxexxy)21 ()( 解解 所给方

5、程的对应的齐次方程为 例例2 解微分方程.84422xexyyy 044 yyy它的特征方程0442rr有一个二重实根 r2.于是对应的齐次方程的通解为)(212xcceyx 由于 f (x)= f1(x) f2(x) ，而 f1(x) 8x2属于pm(x) ex型(其中pm(x) 8x2 ，0)； f2(x) e2x也属于pm(x) ex型(其中pm(x)1 ，2)。且0及2i均不是特征方程的根；2是特征方程的二重根，故设特解为 并求出xecxbxbxby222120)(代入原方程中，比较等式两端同类项系数，则有xxecxcxebxby22210222xxxecxcxeceby2222048

6、22 项项项常数项对应xexxcbbbbbb2201021012840480442由上述方程组解得于是求得一个特解为21, 3, 4, 2210cbbb故原微分方程的通解为xexxxy22221342yyy342)21(22212xxxxccex 解解 特征方程为 例例3 求常系数齐次线性方程3)0(, 0)0(;02 yyyyy的通解和给定条件下的特解。解得0221, 221所以方程的通解为xxececy221由 得c11，c21，故所求特解为, 3)0(, 0)0(yyxxeey2 例例4 求方程 的一个特解。xeyayay 22 分析分析 这个二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项这里f(x)=pm(x)ex,其中pm(x)=1, =1xexf)( 当a1时，特征方程为22aa20，1不是特征方程的根，所以特解xxeaaexy0将代入原方程，比较等式两边同类项系数，得 ，故特解2)1(1aaxxxaeyae