二阶线性常系数微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数 第五节线性微分方程 第八章 一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程( )( ,yp yq yf xp q是常数）目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性常系数齐次微分方程 一、基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化),(0为常数qpyqypy 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性

2、无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrccy21ee21( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxccy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr

3、0)()2(1211 uqrprupru目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xcxcyx目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrccy21ee2121,:rr特征根21rr 实

4、根 221prrxrxccy1e)(21i21,r)sincos(e21xcxcyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkxcxcce)(121xxcxcckkxcos)( e121sin)(121xxdxddkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iidc推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程,

5、0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxccy321ee例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttccse)(21利用初始条件得, 41c于是所求初值问题的解为ttse)24(22c目录 上页 下页 返回 结束 例例3.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxccycos)(31xxccsin)(42目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性常系数非齐次微分方程 二、 第八章 )()()(xfyxqyx

6、py 目录 上页 下页 返回 结束 1、常数变易法常数变易法复习: 常数变易法: )()(xfyxpy对应齐次方程的通解: )(1xycy xxpxyd)(1e)(设非齐次方程的解为 )(1xyy 代入原方程确定 ).(xu对二阶非齐次方程 )()()(xfyxqyxpy 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: )()(2211xycxycy设的解为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:)(xu目录 上页 下页 返回 结束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211

7、vyvyvyvyy 将以上结果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyqypy )()(2222xfvyqypy 得)(2211xfvyvy故, 的系数行列式02121yyyyw21, yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yyp10 目录 上页 下页 返回 结束 122111,vy fvy fww 积分得: )(),(222111xgcvxgcv代入 即得非齐次方程的通解: )()(22112211xgyxgyycycy于是得 说明说明: 将的解设为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件, 方程的引入是为了简化计算.方程3 方程, 目

8、录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化简得 uypyuy)2(111uyqypy)(111 fuz令fzypyzy)2(111设其通解为 )()(2xzxzcz积分得)()(21xuxuccu(一阶线性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxucxycy0方程3 )()()(xfyxqyxpy 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.0) 1( yyxyx的通解为,e21xcxcy 的通解.解解: 将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2) 1() 1( xyyxyx)

9、,(e)(21xvxvxyx令利用,建立方程组: 0e21vvxx1e21xvvx,e, 121xxvv解得xxcvxcve) 1(,2211故所求通解为) 1(e221xxcxcyx) 1(e221xcxcx02211vyvy)(2211xfvyvy积分得 目录 上页 下页 返回 结束 解上述可降阶微分方程,可得通解:例例5.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解解: 对应齐次方程为0)( )2(2 yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy 令, )(xuxy 代入非齐次方程后化简得xuu )(e22121xxccux故原方程通解为 )(e232121xxxcxcuxyx目录 上页

10、 下页 返回 结束 2、待定系数法型)(e)(xpxfmxxxpxflxcos)(e)(型sin)(xxpn一、一、二、二、若非齐次微分方程若非齐次微分方程)()()(xfyxqyxpy 的右端项具有下面的特殊形式，则可用待定系数法的右端项具有下面的特殊形式，则可用待定系数法来求特解。来求特解。目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法目录 上

11、页 下页 返回 结束 )(exqx )()2(xqp )()(2xqqp)(expmx（一）、（一）、 型)(e)(xpxfmx 为实数 ,)(xpm设特解为, )(e*xqyx其中 为待定多项式 , )(xq )()(e*xqxqyx )()(2)(e*2xqxqxqyx 代入原方程 , 得 )(xq )()2(xqp)()(2xqqp)(xpm为 m 次多项式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xqm从而得到特解形式为. )(e*xqymxq (x) 为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , , 02

12、qp,02 p)(xq则为m 次多项式, 故特解形式为xmxqxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xq 则是 m 次多项式,故特解形式为xmxqxye)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0(e)(*kxqxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例例6.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数

13、, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0目录 上页 下页 返回 结束 例例7. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxccy3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxccy3221ee.e)(2221xxx ,2目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 0

14、2323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321ccc21322cc2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1cy xce2xc23e原方程通解为x211cy xce2xc23e由初始条件得0432cc,0目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321ccc目录 上页 下页 返回 结束 （二）、（二）、型xxpxxpxfnlxsin)(cos)(e)(xmxpxf)i(e)()(xmxp)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解xmxpyqypy)i(e)( yqypy分

15、析思路:第一步第一步将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxp)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形xxfe)(i2)(2)(xpxpnlx)i(ei2)(2)(xpxpnlx)i(exmxpxf)i(e)()(xmxp)i(e)(xmxp)i(e)(xmxp)i(e)(则令,maxlnm )(xpl2eeiixx)(xpni2eeiixx目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxqxy)i(1e)()

16、(次多项式为mxqm故xmxpyqypy)i(111e)()()( 等式两边取共轭 :xmxpyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解 .xmxpyqypy)i(e)( xmxpyqypy)i(e)( 设则 有特解:目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmqqiiee原方程 yqypy xxpxxpnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxqm)sini(cosxxqm xkxexrmcosxrmsinmmrr,其中均为 m 次多项式 .xmxp)i(e)(xmxp

17、)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析的特点yxrxrxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmrr,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:xxpxxpnlxsin)(cos)(e对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxrxrxymmxksincose*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例9. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解

18、为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxpl, 0)(xpn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb目录 上页 下页 返回 结束 例例10. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xcxcy3sin3cos21为特征方程的单根 ,3i)3