【人教A版】高中数学必修二：4.3空间直角坐标系学案设计 新人教A版必修2

1、人教版高中数学必修精品教学资料第四章圆与方程4.3空间直角坐标系学习目标1.掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.2.掌握空间中两点的距离公式.学习过程一、设计问题,创设情境在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢?二、学生探索,尝试解决图1借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置

2、,那么空间的点如何表示呢?1.在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢?4.观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.5.观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点m如何用坐标表示呢?三、信息交流,揭示规律1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根,就成了空间直角坐标系. 2.如无特别说明,本书建立的坐标系都是直角坐标系.

3、60;3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”:. 图24.在平面上画空间直角坐标系oxyz时,一般使xoy=xoz=135°,yoz=90°,且使y轴和z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画.已知m为空间一点,过点m作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为p,q,r,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点m就确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点m的坐标,并依次称x,y,z为点m的.坐标为x,y,z的点m通常记为m(x,y,z).&

4、#160;5.反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点p,在y轴上取坐标为y的点q,在z轴上取坐标为z的点r,然后通过p,q与r分别作的垂直平面.这三个垂直平面的交点m即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点m的坐标,并依次称x,y和z为点m的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示) 坐标为x,y,z的点m通常记为m(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点m和有序数组x,y,z之间的关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.6.如果点m在yoz平面上,则;同样,zox面上的点;面上的点,z=0;如果

5、点m在x轴上,则;如果点m在y轴上,则;如果点m在轴上,则x=y=0;如果m是原点,则x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)间的距离公式. 四、运用规律,解决问题8.如图,长方体oabcd'a'b'c'

6、中,|oa|=3,|oc|=4,|od'|=2,写出d',c,a',b'四点的坐标.总结规律:(试总结如何根据题设条件写出点的坐标?)9.在z轴上求一点m,使点m到点a(1,0,2)与点b(1,-3,1)的距离相等.总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?)10.如图,在正方体abcda1b1c1d1中,e,f分别是bb1和d1b1的中点,棱长为1,求e,f点的坐标.总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?)五、变练演编,深化提高11.在上题中求b1(1,1,1)点关于平面xoy对称的点的坐标.12.在上题中求b1(1,1,1)

7、点关于z轴对称的点的坐标.13.在上题中求b1(1,1,1)点关于原点d对称的点的坐标.六、信息交流,教学相长类比平面直角坐标系,你能很好地掌握空间直角坐标系中中点的坐标吗?七、反思小结,观点提炼空间直角坐标系中的坐标对于空间任一点m,作出m点在三条坐标轴ox轴、oy轴、oz轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,则把有序实数对(x,y,z)叫做m点在此空间直角坐标系中的坐标,记作m(x,y,z),其中x叫做点m的横坐标,y叫做点m的纵坐标,z叫做点m的竖坐标.(设计意图:通过反思小结掌握本节课所学的主要内容和思想方法,掌握空间直角坐标系中点的坐标的特征和空间两点间的距离.)布置

8、作业课本p138习题4.3a组第1,2,3题,b组第1,2题.参考答案三、1.竖轴2.右手3.原点、坐标轴方向、单位长度4.唯一,横坐标、纵坐标和竖坐标5.x轴、y轴和z轴,一一对应6.x=0,y=0,xoy,y=z=0,x=z=0,z7.|p1p2|=四、8.d'在z轴上,而|od'|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此d'的坐标是(0,0,2).同理c的坐标为(0,4,0).a'在xoz平面上,纵坐标为0,a'的横坐标就是|oa|=3,a'的竖坐标就是|od'|=2,所以a'的坐标就是(3,0,2).点b'在

9、xoy平面上的射影是点b,因此它的横坐标x与纵坐标y同点b的横坐标x与纵坐标y相同,在xoy平面上,点b的横坐标x=3,纵坐标y=4;点b'在z轴上的射影是点d',它的竖坐标与d'的竖坐标相同,点d'的竖坐标z=2,所以点b'的坐标是(3,4,2).9.设m(0,0,z),由题意,解得z=-3,所以m(0,0,-3)10.解:方法一:从图中可以看出e点在xoy平面上的射影为b,而b点的坐标为(1,1,0),e点的竖坐标为,所以e点的坐标为(1,1,);f点在xoy平面上的射影为g,而g点的坐标为(,0),f点的竖坐标为1,所以f点的坐标为(,1).方法二:从图中条件可以得到b1(1,1,1),d1(0,0,1),b(1,1,0).e为bb1的中点,f为d1b1的中点,由中点坐标公式得e点的坐标为()=(1,1,),f点的坐标为()=(,1).11.解:设所求的点为b0(x0,y0,z0),由于b为b0b1的中点,