微分方程在医学上的应用

1、医用高等数学”医用高等数学第五节第五节 微分方程在医学上的应用微分方程在医学上的应用一、细菌的繁殖一、细菌的繁殖二、药物动力学模型二、药物动力学模型三、流行病数学模型三、流行病数学模型医用高等数学 随着整个科学技术的数学化，现代医学也加快了向数学化发展的速度.普遍地、有效地应用数学方法来解决医学科研中的问题，提示其中的数量规律性，已成为现代医学发展的潮流.这种提示医学问题中各变量之间关系的解析式，称为数学模型.而微分方程是建立数学模型时应用得最为广泛的工具之一.下面我们举几个例子，初步说明现代医学定量分析研究的方法和一些途径.医用高等数学 在例在例5.15.1中曾提到过中曾提到过“理想环境理想

2、环境”中的细菌增殖模型中的细菌增殖模型. .所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件: :一、细菌的繁殖一、细菌的繁殖 (3) (3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜. .因此因此“理想环境理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境至多只是实验室内人为制造的环境. .自然环自然环境中的空间和资源总是有限度的境中的空间和资源总是有限度的. . (1 (1) )没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况迁出等情况; ;(2)(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制系

3、统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制; ;医用高等数学 实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，死亡率减少；死亡率减少；当该生物总数过多资源供不应求时，出生率当该生物总数过多资源供不应求时，出生率减少而死亡率增加减少而死亡率增加.现假定出生率现假定出生率p和死亡率和死亡率q都是生物总数都是生物总数x的函数的函数,即即,pabx qx其中其中 都是正数都是正数，,ab则有则有( )()( )x tpxqxtx tpxqxt医用高等数学()dxrk

4、x xdt(,)rakb()dxpq xdt()()pqabxx()()abxrkx所以有所以有1 dxrkxx dt1 dxrkxx dt称为称为相对增殖速率相对增殖速率.医用高等数学 解解: 将检验人员测得的关于相对增殖速率的关系式进将检验人员测得的关于相对增殖速率的关系式进行分离变量，得行分离变量，得()dxdtx r kx11()dxrdtxrkx即即 例例5-17 检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样观察样观察,测得该水池中大肠杆菌的相对增殖速率为测得该水池中大肠杆菌的相对增殖速率为 1 dxrkxx dt其中其中 、 均为正数均为正数.试分析该

5、水池中大肠杆菌的繁殖规律试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律.rk医用高等数学两边积分，得两边积分，得lnln()lnxrkxrtcrtxcerkx整理，得整理，得设初次取样时设初次取样时 ,测得测得 将此初始值代入上将此初始值代入上式式,则可解得则可解得0t 0(0)xx00 xcrkx00()rtxxerkxrkx所以所以医用高等数学00 xrkt分析分析: 上式称为上式称为自然生长方程自然生长方程，也称，也称 logistic方程，它对表方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图式中的图形为形为s形曲线，称为形曲线，称为logist

6、ic曲线。曲线。0,rtxk时00rtrxrkxkex解得解得 是该蓄水池中大是该蓄水池中大肠杆菌密度的肠杆菌密度的极限极限值值.rk医用高等数学二、药物动力学模型二、药物动力学模型 药物动力学是一门研究药物、毒物及其代谢物在机药物动力学是一门研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学.这这里仅以最简单的一室模型为例里仅以最简单的一室模型为例,说明微分方程在这方面的说明微分方程在这方面的应用应用. 例例5-18 假定药物以恒定的速率假定药物以恒定的速率 进行静脉滴注，进行静脉滴注，试求体内药量随时间的变化规律试求体内

7、药量随时间的变化规律.0k 解解 把机体设想为一个同质单元把机体设想为一个同质单元, ,并假定药物在体内并假定药物在体内按一级速率过程消除按一级速率过程消除, ,消除的速率常数为消除的速率常数为 . .这样的一室这样的一室模型如图所示模型如图所示. .k0kkv x医用高等数学 设静脉滴设静脉滴 时刻体内的药量为时刻体内的药量为 , ,则有以下数学模则有以下数学模型：型：()xtt0dxkkxdt 这是一个可分离变量的一阶微分方程这是一个可分离变量的一阶微分方程, ,在初始条件在初始条件 下下, ,求得其解为求得其解为 0,0tx0(1)ktkxek医用高等数学0lim ( )tkx tk00

8、kkt分析分析: 药量在静脉注射后随时间上升药量在静脉注射后随时间上升, ,经过相当长的时间经过相当长的时间后后, ,体内的药量将趋于一个稳定的水平体内的药量将趋于一个稳定的水平 . .而且静脉滴而且静脉滴注的速率越大注的速率越大, ,最后体内药量的稳定水平就越高最后体内药量的稳定水平就越高. .0kk医用高等数学三、流行病数学模型三、流行病数学模型 这里举一个最简单的一类流行病模型这里举一个最简单的一类流行病模型-无移除无移除的流行病模型的流行病模型. .这类模型假定这类模型假定: : （1 1）感染通过一个团体内成员之间的接触而传播）感染通过一个团体内成员之间的接触而传播, ,感感染者不因

9、死亡、痊愈或隔离而被移除；染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除； （2 2）团体是封闭的）团体是封闭的, ,总人数为总人数为n,n,开始时不妨只有一个开始时不妨只有一个感染者；感染者； （3 3）团体中各成员之间的接触机会均等）团体中各成员之间的接触机会均等, ,因此易感者因此易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比积成正比. .医用高等数学 记时刻记时刻t的易感人数为的易感人数为s,感染人数为感染人数为i,根据以上假设根据以上假设可以建立以下的微分方程可以建立以下的微分方程dssidt 其中其中, (0)1sin i()dss n sdt分离变量并积分得分离变量并积分得()dsdts ns 医用高等数学即即1lnstcnns 根据初始条件得根据初始条件得1ln(1)cnn所以所以11lnln(1)stnnnsn (1)(1)ntn nsne整理后得整理后得医用高等数学当当0t 时时,( )0s t 从而从而( )i tn 描述了易感人数随时描述了易感人数随