微分方程基本概念57836

1、高等数学作业本和二课堂等注意事项高等数学作业本和二课堂等注意事项1、请班长到任课老师领取、请班长到任课老师领取二二张报名表，并做好本班的张报名表，并做好本班的二课堂的统计报名工作，本周五交二课堂的统计报名工作，本周五交一一份给老师。份给老师。2、作业本（、作业本（11学分）每套学分）每套17元，二课堂元，二课堂72元元/人。人。4、请班长在本周一、请班长在本周一11:30-13:30到理学院到理学院129室领作业本。室领作业本。3、作业本和二课堂等的钱第二周周五、作业本和二课堂等的钱第二周周五9:30-13:30，理学院，理学院129。5、本学期将另外开设、本学期将另外开设高等数学第二课堂提高

2、班高等数学第二课堂提高班，主要内容主要内容 是一元函数微积分到多元函数微分学。为数学竞赛和考研是一元函数微积分到多元函数微分学。为数学竞赛和考研服务，上课时间周日服务，上课时间周日17:30-20:00，收费，收费60+20。报名另行。报名另行通知，请有兴趣的同学安排好时间欢迎报名参加。通知，请有兴趣的同学安排好时间欢迎报名参加。6、高等数学老师答疑从下周开始：每周一、二、五三次。、高等数学老师答疑从下周开始：每周一、二、五三次。地点：地点：a楼二楼休息室，时间楼二楼休息室，时间12:10-13:20.8、我班的课件存放地址：、我班的课件存放地址： 第九章yxfy求已知, )( 积分问题积分问

3、题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广推广 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第九章第九章 例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxm处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22)1(2,1 yyx或或写写成成时时其其中中,2cxy 即即, 1 c求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为米米，的的距距离离为为离离点点秒秒，

4、开开始始时时一一物物体体作作变变速速直直线线运运动动例例5)0(2ot 速度为速度为sm/2的加速度远离点的加速度远离点现以现以osmt2/2o求物体离点求物体离点的函数关系的函数关系与时间与时间的距离的距离)(tssts 解解已知已知，5)0( s，2)0( stts2dd22 以及以及)1(式两边积分一次得：式两边积分一次得：)1( tttsd2dd12ct 积分，得积分，得两边再对两边再对 t tctsd)(1231213tc tc为为独独立立的的任任意意常常数数其其中中21,cc，由由2)0( s；得得21 c，由由5)0( s；得得52 c故故所所求求函函数数为为52313 tts基

5、本概念基本概念1.微微分分方方程程的的等等式式或或微微分分包包含含未未知知函函数数及及其其导导数数)(常常微微分分方方程程：微分方程微分方程未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的偏微分方程：偏微分方程：微分方程微分方程未知函数是多元函数的未知函数是多元函数的2.微微分分方方程程的的阶阶阶阶数数的的未未知知函函数数导导数数的的最最高高在在一一个个微微分分方方程程中中出出现现3.或积分）微微分分方方程程的的解解( (满满足足微微分分方方程程的的函函数数我们仅仅探讨一些与常微分方程相关的问题。我们仅仅探讨一些与常微分方程相关的问题。例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 5.微

6、微分分方方程程的的特特解解不不含含任任意意常常数数的的解解通解与特解的几何意义通解与特解的几何意义6.初初始始条条件件反反映映初初始始状状态态下下的的条条件件定解条件定解条件初始问题：常微分方程初始问题：常微分方程边界问题：偏微分方程边界问题：偏微分方程4.通积分）微微分分方方程程的的通通解解( (程的阶数相同程的阶数相同的任意常数的个数与方的任意常数的个数与方解中含有解中含有独立独立312123stc tc例例如如：例例中中方方程程的的解解3121()3stcct并并非非通通解解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族

7、. .定义定义0),()( nyyyxf求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件iiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni的的特特解解，阶微分方程的阶微分方程的这样一个问题称为这样一个问题称为n，问题问题 y y初值问题cauch初值问题cauch记记作作0),()( nyyyxfiiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni21 (1 )2d yxd xy 例例中中22d2d2 (0)5(0)2sttss 例例 中中的通解，的通解，是方程是方程验证函数验证函数例例xxxeyyecey22333 的特解的特解并求满足初始条件并求满足初始条件00| xy解解xxecey232

8、3 yy3 则则)23(23xxece )(323xxece xe2 含有一个任意常数，含有一个任意常数，又因又因 y且且方方程程是是一一阶阶的的，的通解的通解是方程是方程函数函数xxxeyyecey2233 1)0( cy而而，0 ，得到得到1 c故特解为故特解为xxeey23 所满足的微分方程所满足的微分方程为任意常数为任意常数求曲线族求曲线族例例)(1422cycx 解解求导，得求导，得两边对两边对 xycx122 022 yyxc)2(得得由由122 ycx221xyc 式式代入代入)2(021222 yyxyx所求微分方程为所求微分方程为xyyy12 例例5 5 一船从一船从o o点

9、以恒定速度点以恒定速度 v0 垂直向对岸行驶垂直向对岸行驶 , , 假假定水流速度与船离两岸距离的乘积成正比定水流速度与船离两岸距离的乘积成正比 , , 设河宽设河宽为为 a , ,求船的运动状况求船的运动状况 0 0yxam(x,y)xvyvv解解建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 设船的运动曲线为设船的运动曲线为 y=y(x) , ,由题意知由题意知: :0ydyvvdt ()xdxvky aydt 0()dyvdydtdxdxky aydt 于是有于是有由于船从原点由于船从原点o o出发出发 , , 故船的运动轨迹曲线故船的运动轨迹曲线y=y(x) 满足初值问题满足初值问题: :0()

10、vdydxky ay (0)0y 例例6 6一水箱盛有盐水一水箱盛有盐水 100 公升公升 , , 其中含盐其中含盐 20 公斤公斤 . .现将每公升含盐现将每公升含盐 0.1 公斤的低浓度盐水以每分钟公斤的低浓度盐水以每分钟 5 公升的速度注入水箱公升的速度注入水箱 , , 同时开启箱底阀门同时开启箱底阀门 , , 以同样以同样的速度将此混合盐水从箱中排出的速度将此混合盐水从箱中排出 , , 求水箱中盐水的求水箱中盐水的含盐量含盐量 y 与时间与时间 t 的关系的关系 解解设在时刻设在时刻 t , , 水箱中盐水含盐量为水箱中盐水含盐量为 y = y(t) 则在则在 t , t+dt 时间段内时间段内 流进盐量流进