B1第三章微分中值定理与导数的应用7经济应用

1、17导数在经济中的应用导数在经济中的应用 常用的几个经济函数介绍常用的几个经济函数介绍1 需求函数（销量函数）需求函数（销量函数）2 成本成本c(q)（q产量）产量）c(q)=固定成本可变成本固定成本可变成本3收益函数收益函数r(q)r(q)=qp4 利润函数利润函数l(q)l(q)=r-cq(p) (p是价格是价格)2例例1 设某商品进价设某商品进价3元元(件件),零售价为零售价为4元元(件件)时能销出时能销出400件，若售价每降低件，若售价每降低0.05元元(件件)可可多售出多售出40件，求利润函数件，求利润函数l解：解：设设q为销量，为销量，p为价格为价格由题意知由题意知q与与p是线性关

2、系，是线性关系， 斜率为斜率为80005. 0404)05. 04(400440 )3)(8003600()3( pppql所以所以 q=-800(p-4)+400=3600-800p3 一、一、 边际边际函数的变化率函数的变化率处的边际。处的边际。在在是是处可导，称处可导，称在在000)()()(xxfxfxxfy 的边际函数的边际函数称为称为)()(xfxf 定义：定义：经济含义经济含义个单位。个单位。变化了变化了个单位时，个单位时，处向前或向后变化了一处向前或向后变化了一在在)(00 xfyxx 4例如：例如：边际成本边际成本 )(qc 边际收益边际收益 )(qr 边际利润边际利润 )(

3、),(plql 例例1 ：设某产品的固定成本设某产品的固定成本20000元，每生产一元，每生产一个产品成本增加个产品成本增加100元收益元收益221400)(qqqr 产销平衡。求边际成本；边际收益，边际利润产销平衡。求边际成本；边际收益，边际利润解：解：qqc10020000)( qqrqc 400)(;100)()()()(qcqrql 300)()()( qqcqrql5 二、二、 弹性弹性 函数的相对变化率函数的相对变化率1. 两点间的弹性两点间的弹性的两点间的弹性的两点间的弹性到到从从为函数为函数称称xxxxfyxxyy 0000)(2. 处弹性定义处弹性定义0 x处可导，称处可导，

4、称在在设设0)(xxfy )(lim000存在存在xxyyx 处的弹性处的弹性在在为为0)(xxf0 xxexey 记号记号)(0000 xyyxexeyxx 6弹性函数：弹性函数：)(xyyxexef 经济含义反映由于经济含义反映由于x的变化而引起的变化而引起 y=f(x)变化的幅度变化的幅度具体来说：具体来说：)(xfy 设设yx的的变变化化，则则产产生生了了当当1%exef改变了改变了7(1)需求价格弹性需求价格弹性价格价格需求（销量）；需求（销量）； pqepeqp,)( 改变的幅度为改变的幅度为时，需求时，需求处改变了处改变了在在当当010ppepeqqpp 称为低弹性商品。称为低弹

5、性商品。格变动幅度，格变动幅度，需求变动幅度小于价需求变动幅度小于价 1)(100p 称为不变弹性商品。称为不变弹性商品。变动幅度，变动幅度，需求变动幅度价格需求变动幅度价格 1)(200p 称为高弹性商品。称为高弹性商品。格变动幅度，格变动幅度，需求变动幅度大于价需求变动幅度大于价 1)(300p 8(2)收益价格弹性收益价格弹性eper改变的幅度为改变的幅度为时，收益时，收益处改变了处改变了在在当当0rr10ppepepp ,)(pqpr )1 ( q)1()(qqpqpqqpr 价格上涨，收益增加。价格上涨，收益增加。为上升函数，为上升函数，rprp , 0)(1)(10 价格上涨，收益

6、减少。价格上涨，收益减少。为下降函数，为下降函数，rprp , 0)(1)(20 不不大大。价价格格改改变变时时对对收收益益影影响响, 0)(1)(30prp 结论：需求量的相对增加大于价格的相对结论：需求量的相对增加大于价格的相对减少则总收益增加减少则总收益增加。9例例1时的需求弹性时的需求弹性求需求价格弹性求需求价格弹性设某商品的需求量设某商品的需求量6, 5, 3)2()1( ,5 pppeqp解：解：551)()1(5peqpqpp ; 16 . 053)3( 价格上升价格上升1，需求量减少，需求量减少0.6%(可考虑提价可考虑提价); 1)5( 价格上升价格上升1，需求量减少，需求量

7、减少1%(不变弹性不变弹性)(2); 12 . 156)6( 价格上升价格上升1，需求量减少，需求量减少1.2%(不考虑提价不考虑提价)10三三 优化模型优化模型1 . 边际函数与经营优化边际函数与经营优化(最大利润，最小成本最大利润，最小成本)最大利润原则最大利润原则 在取得最大利润处：边际收益边际成本在取得最大利润处：边际收益边际成本例例1,250)(,510qpcqp 成成本本为为设设需需求求与与价价格格的的关关系系为为验验证证最最大大利利润润原原则则。为为多多少少时时总总利利润润最最大大？；并并问问求求平平均均收收益益与与边边际际收收益益q解：解：510)510(qpqrrqqqpr

8、平均收益平均收益收益收益5210,qr 边际收益边际收益11例例1,250)(,510qpcqp 成成本本为为设设需需求求与与价价格格的的关关系系为为验验证证最最大大利利润润原原则则。为为多多少少时时总总利利润润最最大大？；并并问问求求平平均均收收益益与与边边际际收收益益qqqqcrql250)510()( 解：利润解：利润50582 qq200528)( qqql052)( ql大大值值。是是唯唯一一的的极极大大值值即即是是最最)20(l验证验证:2)20(; 254010)20( cr边际成本边际成本边际收益边际收益12例例2 某房产公司有某房产公司有50套公寓出租，当租金定为每月套公寓出

9、租，当租金定为每月180元时，公寓可全部租出去，当租金每月增加元时，公寓可全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去。而租出去的房子元时，就有一套公寓租不出去。而租出去的房子每月需花费每月需花费20元的维修费，试问房租定为多少时，元的维修费，试问房租定为多少时，可获得最大收入？且求最大收益？可获得最大收入？且求最大收益？解：设房租每月为解：设房租每月为 元元x租出房子套数租出房子套数 x收益收益 1068)20(1018050)20()(xxxxxr1018050 x 705xr x令令0r ，350 x 唯一驻点唯一驻点 35010890r 最大值最大值13例例3 一辆客车能容

10、纳一辆客车能容纳60人，租用该车一次乘客人人，租用该车一次乘客人数数 和支付费用和支付费用(每人每人)p元之间关系为元之间关系为 2403 xp(1)求该汽车每次租出的总收入求该汽车每次租出的总收入r。(2)求边际收入为零的乘客人数。求边际收入为零的乘客人数。(3)求求(2)中的总费用。中的总费用。(4)问问(3)的经济含义。的经济含义。解：解：;403)1(2 xxxpr 04033403)2(xxr40,)(120 xx舍舍)(12034040340元元）费用）费用（ xp可获利最大。可获利最大。名乘客时，名乘客时，即有即有中的费用是最大费用，中的费用是最大费用，）（40)3(4x142.

11、库存问题库存问题设订货周期为设订货周期为t，每次订货量是相同的为，每次订货量是相同的为q吨，每吨，每次订货费用为次订货费用为 元，每天每吨货物的储存费为元，每天每吨货物的储存费为 元，每日货物的需求量为元，每日货物的需求量为q吨，并假定当储存量吨，并假定当储存量为零时立即进货（显然为零时立即进货（显然qt=q）1c2c问周期问周期t为多少时总费用最小？为多少时总费用最小？解：解：一个周期的总费用一个周期的总费用 定费定费 存储费存储费qtcctc2121)( 三角形面积为每天的存货量三角形面积为每天的存货量2qt1c)(tc22qtc 存储费存储费15设订货周期为设订货周期为t，每次订货量是相

12、同的为，每次订货量是相同的为q吨，每吨，每次订货费用为次订货费用为 元，每天每吨货物的储存费为元，每天每吨货物的储存费为 元，每日货物的需求量为元，每日货物的需求量为q吨，并假定当储存量吨，并假定当储存量为零时立即进货（显然为零时立即进货（显然qt=q）1c2c问周期问周期t为多少时总费用最小？为多少时总费用最小？解：解：在一个周期内的费用在一个周期内的费用qtcctc2121)( 每天的平均费用每天的平均费用qtctcqctctc221)(2121 02)(221 qctctc2121222qccqcct 时总费用最小。时总费用最小。当当212qcct 2.库存问题库存问题16关于二阶导数关于二阶导数二阶导数是变化率的变化率，二阶导数是变化率的变化率，, 0)( xf如果如果,)(递增递增则则xf , 0)( xf如果如果,)(递减递减则则xf 即变化率即变化率