A无穷级数33幂级数

1、3 . 幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念定义：定义：dnxun为为定定义义在在数数集集设设), 2 , 1()( :,)(则则表表达达式式上上的的函函数数列列或或区区间间 i 121)()()()(nnnxuxuxuxu简称简称 (函数项函数项) 级数级数。称为数集称为数集 d (或区间或区间 i )上的上的函数项函数项无穷级数无穷级数，取点取点显然显然ix 0, 函数项级数可看成是一族常数项级数，函数项级数可看成是一族常数项级数，从而可用数项级数的有关方法来研究函数项从而可用数项级数的有关方法来研究函数项级数。级数。,)(10散散，它它可可能能收收敛敛，可可能能发发对对

2、nnxu的的收收敛敛点点，为为，则则称称若若 1010)()(nnnnxuxcxu收敛点全体称为它的收敛点全体称为它的收敛域收敛域。即即为为常常数数项项级级数数则则 10)(nnxu的发散点，的发散点，为为，则称，则称若若 1010)()(nnnnxuxdxu发散点全体称为它的发散点全体称为它的发散域发散域。 对于对于 中的每一点，不是收敛点就是中的每一点，不是收敛点就是发散点。发散点。i对对收敛域收敛域内任意一点内任意一点 x ，函数项级数为，函数项级数为一收敛的常数项级数，一收敛的常数项级数， 有一确定的和有一确定的和 s,且与且与 x 有关。有关。收敛域上函数项级数的和就是收敛域上函数项

3、级数的和就是 x 的函数，的函数，记为记为 s(x) ,的收敛域。的收敛域。 1)(nnxu称为函数项级数的称为函数项级数的和函数和函数，其定义域就是其定义域就是（注意，与一般项（注意，与一般项 un(x) 的定义域不同）的定义域不同）同样，同样，),()(1xsnxunnn项的部分和为项的部分和为的前的前记记 则在收敛域上有则在收敛域上有)()(limxsxsnn )()()(xsxsxrnn 其余项其余项收敛时，有收敛时，有当当 1)(nnxu0)(lim xrnn niinnxuxuxuxuxs121)()()()()(例例1. nxxx21判别函数项级数判别函数项级数域域与与和和函函数

4、数。的的敛敛散散性性，并并求求其其收收敛敛解：解：，级数的定义域级数的定义域),(nnxxxxs 21)(xxn 1111 x1 x 的收敛域为的收敛域为 (-1,1) 。 1nnx且且为为等等比比级级数数。 x 11发散发散)1, 1(,1112 xxxxxn)1 , 1(,11)1(12 xxxxnn则有则有改成改成把把,xx )1 , 1(,1112242 xxxxn)1 , 1(,11)1(12242 xxxxnn则有则有改成改成把把,2xx则有则有改成改成把把,2xx 例例2.的敛散性。的敛散性。判别判别 1)1(nnxx解：解： ,11）时（时（当当cxx ,11）时（时（dxx

5、)()1(1cxxx ),(1)1(dxxx ),(21cx时级数时级数 ).(21dx时级数时级数 由例由例1 , . )(xqqqn型，型，为为 例例3. )()()(2321xxxxxxunn求求 )(1nnxx在在 0, 1 的和函数。的和函数。解：解：1232)( nnnxxxxxxxxsnx （非（非 un ）nnnnxxslimlim)( 10 x1 x 01).(xs un(x) 在在 0, 1 上连续，上连续， 但但 s(x) 在在x = 1处间断，处间断，s(x)的定义域小于级数的定义域的定义域小于级数的定义域 , 级数的收敛域一般小于或等于其定义域。级数的收敛域一般小于或

6、等于其定义域。 二二. 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性定义定义： nnnnnxaxaxaaxa2210020201000)()()(xxaxxaaxxannn 或或)(0 nnxxa 的级数称为的级数称为幂级数幂级数。其中常数其中常数 称为幂级数的系数称为幂级数的系数,210aaa是常数。是常数。0 x形如形如。),()(00 xxx 或或显然，幂级数的定义域为显然，幂级数的定义域为显然是幂级数的收敛点。显然是幂级数的收敛点。 幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种，幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种， 定理定理1 （阿贝尔定理）（阿贝尔定理） 0nnnxa设设)()*()0(100cx

7、xx时时）当）当（ 其收敛域如何？其收敛域如何？）（ ).()(0caxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合)()*()0(200dxxx时时）当）当（ . )()(0dxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合证明：证明： 000)()1(nnncxaxx时，时，设设00lim nnnxamxamnn 0, 0 使使nnnxau 由由100 xxxx时，时，当当)(00cxxmnn 等比级数等比级数)(cxann nnnxxxa000 nnxxxa000 nxxm0 ).(caxann 反证：反证：只只能能是是发发散散点点。1xx ,01xx ),(*)0cxx处也处也在在 000)(*)n

8、nndxaxx时，时，设设若有一点若有一点 x1 , 适合适合并使并使 (*) 收敛收敛, 则由则由 (1) 知知,矛盾！矛盾！)()*()0(200dxxx时时）当）当（ . )()(0dxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合,00处收敛处收敛在在若若xxannn 内都收敛。内都收敛。则在则在),(00 xx 外都发散。外都发散。则在则在,00 xx 0 x 0 x0)(d)(d)(cx说说明明：即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。(1),00处发散处发散在在若若xxannn pp ，,到到原原点点的的距距离离是是相相同同的的，且且pp ,0 x

9、均为均为,),(00为为对对称称的的收收敛敛区区间间即即xx 的的为为称称 10nnnxaxxpp rr收敛半径收敛半径, 记为记为 r .0 x 0 x0(2) 在收敛与发散点之间的分界点在收敛与发散点之间的分界点:上上, 幂级数可能收敛也可能发散，幂级数可能收敛也可能发散，)(d)(d)(c,00一点收敛一点收敛不是只在不是只在若若 xxannn).(0caxarxnnn 时，时，当当)(0dxarxnnn 时，时，当当,0可能收敛可能收敛时，时，与与当当 nnnxarxrx可可能能发发散散。推论：推论：( p. 209 )也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个也不是在整个数轴上都收敛，则必

10、有一个完全确定的正数完全确定的正数 r 存在，使得：存在，使得：,0的的收收敛敛半半径径为为 nnnxar的的为为 0nnnxa),(rr ,处处的的收收敛敛情情况况后后当当讨讨论论了了点点rxrx , ,rr 所得所得, ,(rr ),rr , ),(rr 的的称为称为 0nnnxa,00一点收敛一点收敛只在只在当当 xxannn;0: x收敛域为收敛域为,0都收敛都收敛对一切对一切当当xxannn , r则则规定：规定：则则 r = 0 ,收敛区间收敛区间,收敛域收敛域。).,( : 收敛域为收敛域为 r则则，、020 ？如如何何求求收收敛敛半半径径r且且设幂级数设幂级数,0 nnnxa

11、nnnaa1lim)(lim nnna或或,1是是幂幂级级数数相相邻邻的的系系数数其其中中nnaa 若：若： 1010 r则则，、030 r则则，、 ：定定理理 2证明：证明：考察正项级数：考察正项级数： nnnnnxaxaaxa100由比值法：由比值法：nnnnnnxaxauu111 1.10 x 当当1 x 当当.1 r由推论，由推论，xaann 1 xn ).(0caxannn 则则，时时)(1cx )(0dxannn 则则)(1dx时时 00.20 x 时时，当当 r”型才”型才只有为“只有为“时，时，当当0.30 x ，可可能能小小于于 10 r,显然显然 nnnalim,由由同理同

12、理也得同样结论。也得同样结论。nnnnnnxaxauu111 xn , )(00cxaxnnn必必时，时，而当而当 1lim nnnaar,1成成立立对对一一切切 x 例题讨论例题讨论求解下列幂级数的求解下列幂级数的 收敛半径，收敛半径， nnnxxx5)1(5352122. 1解：解：由定理由定理 2：nnaa1 ，5 r收敛区间收敛区间 与与 收敛域。收敛域。51 n)2(51 nn15)2( nnnn5)1( . )5, 5( 收敛区间收敛区间 例：例： nx12115 时，级数为时，级数为当当 nxn1)1(31211,51级数为级数为时时. )55，：收敛域收敛域 x 0!nnnx.

13、 2解：解：nnaa1 r),( :x nnnxxx5)1(5352122(-5, 5)(d)(c0 n11 n! )1( n!n. 3 0nnnxn解：解：nnannnn 0 r0: xx )(n( 用根值法用根值法 )221xn )(21cx )(21dx 2 r:2 x当当:2 x当当)2, 2( : x. 4 02212nnnxn解一：解一：用比值法用比值法nnuu1 2)12(232xnn nnnnxnxn2221212232 )(缺少奇次幂的项缺少奇次幂的项 )(12(dn )(12(dn解二解二:nnnynyx 02212级数为级数为，令令nnaa1 2 yr2)(22 xdy2

14、)(22 xcy.2 xr)2, 2( : x同上讨论得同上讨论得21 n)12(232 nn1232 nn122 nn)(2 cx )(2dx . 5 1112)32()1(nnnnx解：解：,32yx 令令112121 nnnnnaa1 yr132 xy型，型，对对 00)(nnnxxarxxrrxx 00，即，即)(21231dxy 21 xr 1112)1(nnnny级数为级数为)(2123cx 1232 x212321 x)21( ，收收敛敛区区间间为为12)1()1(111 nxnnn时，时，当当 11212)1(nnn121)1(211 nxnn时，时，当当2, 1( :x收敛域

15、收敛域21 x2123 x= r, 1112)32()1(nnnnx 51311 51311)(c)(d. 6120)1(41 nnnx解：解：121121)1(44)1( nnnnnnxxuu)(,412cx 2 r用比值法：用比值法：1412 x)(21)(21dxcx )(,412dx )3, 1( 收收敛敛区区间间为为：时，时，当当1 x 0124)2(nnn时，时，当当3 x 01242nnn)3, 1( : x收敛域收敛域21 x31 x212 x120)1(41 nnnx 021n 04214nnn)(d)(210dn 课外作业课外作业习题习题 6 41（1 , 3, 5, 6,

16、 7）三三. 幂级数的运算幂级数的运算 0nnnxa设幂级数设幂级数),(rr 0nnnxb设幂级数设幂级数) , (rr 1）加减法）加减法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa),(mm ),min(rrm 1. 代数运算代数运算2) 乘法乘法 00nnnnnnxbxa 00110)(nnnnnxbababa xbababa)(011000nnnnxbababa)(0110 ),(mm ),min(rrm 3) 除法除法 00nnnnnnxbxa 000nnnnnnnnnxcxbxa由由 xcbcbcb)(011000,000cba 比较系数：比较系数：,10cc顺序求出：顺序求出

17、：小的多。小的多。与与收敛区间比收敛区间比),(),(rrrr 0nnnxc,01101cbcba 2 . 分析运算分析运算 性质性质1. 幂级数的和函数幂级数的和函数 在在其收敛域内连续其收敛域内连续. 0)(nnnxaxs 性质性质2. 幂级数的和函数幂级数的和函数 在在其收敛域内可导，且有逐项求导公式其收敛域内可导，且有逐项求导公式: 0)(nnnxaxs)()(0 nnnxaxs且且收收敛敛半半径径不不变变。 0)(nnnxa 11nnnxna （ 反复用上述结论，可知反复用上述结论，可知 s(x) 在收敛域在收敛域内有任意阶导数）内有任意阶导数） 性质性质 3. 幂级数的和函数幂级数

18、的和函数 0)(nnnxaxs xnnnxdxxadxxs000)( 00nxnndxxa且且收收敛敛半半径径不不变变。在其收敛域内可积，且有逐项积分公式：在其收敛域内可积，且有逐项积分公式： 011nnnxna 虽然收敛半径不变，但在端点虽然收敛半径不变，但在端点 处的敛散性可能会改变。处的敛散性可能会改变。rx 求积后求积后所得幂级数的收敛域所得幂级数的收敛域不小于不小于原级数的收敛域。原级数的收敛域。注意：注意：一般，一般，求导后求导后所得幂级数的收敛域所得幂级数的收敛域不大于不大于原级数的收敛域。原级数的收敛域。例：例：)11(1112 xxxxxn逐项求导：逐项求导： 122321)

19、1(1nnxxxx 11nnnx)11( x逐项积分：逐项积分： 121121)1ln(nxnxxx 0111nnxn 1)1(,1nnnx为为时时当当 x11 nxxxx2422111)1, 1(12 x)1, 1 : x 121121)1(lnnxnxxx 1nnnx)(c又得：又得：由由)1, 1(1112 nxxxx nnxxxx)1(132)1, 1(1 xnnxxxxx26422)1(111 )1, 1(12 x 用用逐项求导逐项求导或或逐项积分逐项积分的方法，可求得的方法，可求得 nxxxx2422111)1, 1(12 x一些级数在收敛域内的一些级数在收敛域内的和函数和函数。例

20、题讨论例题讨论解：解： 不必先求收敛域，在求和函数的过程不必先求收敛域，在求和函数的过程 3)(3xxxs设设，消去分母上的消去分母上的)12( n 6421)(xxxxs)1, 1(, 1 x 02)1(nnnx 求下列幂级数的收敛域与和函数：求下列幂级数的收敛域与和函数： . 1 753753xxxx中可求得收敛域。中可求得收敛域。 01212)1(nnnnx先逐项求导：先逐项求导：211x )(xsxxxarctan0arctan xnxnnnarctan12)1(012 ,11时时，原原级级数数收收敛敛或或且且当当 x. 1, 1 : x时，有时，有特别当特别当1 x 71513112

21、1211)1()(xxxsnnn 41arctan xxdxxdxxs02011)(. 2 nxnxx242)12(531解：解： 42531)(xxxs设设),12( n欲欲消消去去 xxxdxxdxs020)31()( 002)12(nxnxdxn 1253nxxxx 02)12(nnxn 0012nxnx 012nnx先逐项积分：先逐项积分：)1(42 xxx21xx 1 x)()(0 xxdxsxs)1, 1( : x 可见，关键在于可见，关键在于求导或积分后求导或积分后 1253nxxxx 012nnx xxxdxxdxs020)31()()1(2 xx222)1(1xx 所得的幂级

22、数能写出和函数所得的幂级数能写出和函数。写出和函数时要注意：写出和函数时要注意： nnxxxx)1(132nnnx )1(021x nnnx )1(121x 32xxx- x1. 3。的和并求1122212,212nnnnnnxn解：解：，设设 122212)(nnnxnxs xxdxs0)(时，时，当当0 x 12)2(nnx212122xxx 先求积消先求积消去去 (2n-1) 11221nnnx 1022212nxnnxdxnx122xx ，当当122 x)2()()(20 xxxdxsxsx)20()0, 2(， ?)0(0 sx时，时，21)0(0 sx时，时，先看先看 122212

23、nnnxn观察观察)0(s)2, 2( : x即即显然和函数是连续的，显然和函数是连续的，2 x即即 xxdxs0)(22xx 成立，成立，当当122 x222)2(2xx )(0cx时时且且 21 24321x 11232)1()(nnnnxxs 12)3(0nnxx时，时，当当132 x由由 42212231313)1()(xxnxxsnnnn设设. 4的的和和。并并求求 11121)1(,3)1(nnnnnnnnx解：解： 323232xx313222xxx x2232xx )0(3 xx03ln2xx )30()0, 3(， 时，时，当当0 x，0)0()(lim sxsn时，时，当当

24、3 xxdxxxdxsxsxx 02032)()( xxxd0223 1)1(nnn)(c 123)3()1(nnnnn时，时，当当3 x 123)3()1(nnnnn 1)1(nnn)(c23ln3lnx 42223131)(xxxs，显然，显然0)0( s即即和和函函数数连连续续，)3ln(3ln3)1()(212xnxxsnnnn 3, 3 : x 112)1(3)3()1(nnnnnnnn2ln6ln3ln .2ln)1(11 nnn则知：则知：，求求 11)1(nnn时，时，当当3 x)3(s . 5 112)1(nnxnn解：解： 112)1()(nnxnnxs设设 10102)1()(nxnxxdxnnxdxs 121nnxn xnnxdxn0121积分：积分：再积分：再积分： 112nnx)(2132 xx)1(222 x