14函数的连续性68251

1、函数的连续性 第四节连续函数的运算连续函数的运算闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质函数连续性的定义函数连续性的定义间断点及其分类间断点及其分类函数的连续性 第四节学习重点学习重点函数的连续性概念函数的连续性概念函数的间断点的分类函数的间断点的分类2. 2. 函数函数连续性定义连续性定义则有则有000lim0lim( )()xxxyf xf x 000lim( )( )xxf xf xyf xx若 )，则称函数 在点 处连续。定义定义1.9*0 x0 xxxy0( )f x( )yf xxyo0( )f xx如果函数如果函数y=f(x)在在x0点连续点连续, 则必须则必须同时同时满足下

2、列三个条件：满足下列三个条件：(1) f(x)在在x0的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义(2) 极限值极限值 存在存在(3) 极限值与函数值极限值与函数值 相等相等0lim( )xxf x0()f x连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线. .1.4.2 1.4.2 间断点间断点discontinuitydiscontinuity及其分类及其分类01;xx（ ） 在没有定义002lim( );xxxxf x（ ） 在有定义, 但不存在00003lim( )lim( )();xxxxxxf xf xf x（ ） 在有定义, 且存在, 但x xy yo

3、o1 12 23 34 41 12 2discontinuity at discontinuity at x x =1 and =1 and x x =2 =2若函数若函数 有下列有下列三种情形之一三种情形之一：( )f x则称函数则称函数 在点在点 处不连续，点处不连续，点 称为函数称为函数 的的间断点间断点。0 x0 x( )f x( )f x 不连续点不连续点即为间断点即为间断点函数的间断点的分类函数的间断点的分类 第一类间断点第一类间断点左、右极限都存在的间断点。左、右极限都存在的间断点。可去间断点可去间断点左、右极限相等的第一类间断点。左、右极限相等的第一类间断点。跳跃间断点跳跃间断

4、点左、右极限不相等的第一类间断点。左、右极限不相等的第一类间断点。 第二类间断点第二类间断点左、右极限至少有一个不存在。左、右极限至少有一个不存在。补充：补充：称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .00lim( )()xxf xf x0 ( ) f xdxd设是定义域为的基本初等函数，对， 有 计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。为该点函数值的计算。1. 初等函数的连续性初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的。内都是连续的。所谓定义区间，

5、即指包含在定义域内的所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间区间。1.4.31.4.300lim( )()xxf xf x0 ( )f xx若在 处连续，则有 计算连续函数的极限，都可转化为计算该点计算连续函数的极限，都可转化为计算该点函函数值数值。2. 利用函数的连续性求极限2002 ln(2)2 ln(20)ln2limsin(1)sin(1 0)sin1xxxx000()()lim( ) lim( )()xxxxxxf g xfg xf u3. 复合函数极限的求法000( )()( ),ug xxx xuyf uu极限函数当的等于 ，且在 连续则补充说明补充说明：意义意义极限符号可与极限符

6、号可与连续连续函数符号交换先后顺序，即函数符号交换先后顺序，即极限运算可以穿过极限运算可以穿过连续连续函数符号。函数符号。例例201 cos(1) limsin()xxx201 cossin(lim)xxxsin120ln(1)(2)limxxx10limln(1)xxx10lnlim(1)xxxln1e01(3)limxxex=1 最值定理（最值定理（the max-min theoremthe max-min theorem）1.4.4 1.4.4 闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质abxyo( )yf x在区间内部取得最大值和最小值在区间内部取得最大值和最小值yabxo( )yf

7、x在区间端点取得最大值在区间端点取得最大值说明：可在说明：可在区间内部区间内部取得最值，也可在取得最值，也可在区间端点区间端点取得最值。取得最值。在在闭区间闭区间上上连续连续的函数一定的函数一定有最大值有最大值和和最小值最小值. . 介值定理介值定理 the intermediate value theoremthe intermediate value theorem 设函数设函数 f (x) 在在闭区间闭区间 a, b 上连续上连续, 且最大值且最大值m不等于最小不等于最小值值m , 那末，对介于那末，对介于m与与m之间的任意数之间的任意数c ，在开区间（在开区间（ a, b）内至少存在一

8、点内至少存在一点，使得，使得 ( )()fcabxyoab( )yf xmmc231c*在在闭区间闭区间上上连续连续的函的函数，在该区间数，在该区间内部内部一一定定可以取到介于可以取到介于最大最大值值m m与最小值与最小值m m之间的之间的任何值任何值. . 零点存在定理零点存在定理 设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续, 且且 f (a) 与与 f (b) 异号异号, 那末，那末， 在在开区间开区间 （ a, b）内）内至少存在一点至少存在一点，使，使得得 ( )0f()ab( )yf xxyoab零点定理零点定理 在在闭区间闭区间上上连续连续的函数如果的函数如

9、果在端点处在端点处异号异号，则一定在该区，则一定在该区间间内部内部有零点有零点. .5( )31,( )1 2f xxxf x令则在闭区间 ，上连续，(1)30f (2)250f由由零点存在定理零点存在定理可知，原方程在可知，原方程在1，2内至少有一个根。内至少有一个根。ln20 xx求证：方程至少有两个正实根。( )ln2,( )(0,)f xxxf x令则在内连续22()0,(1)0,()0f eff e22( )0,1)1,)f xee所以，方程在区间(和(内各有一根。解解解解又又而而531 01,2xx 证明方程在区间（ ）内至少有一个根。例题例题 小结小结1) 初等函数的连续性初等函

10、数的连续性. 复合函数的连续性复合函数的连续性. 注意：注意：定义区间定义区间与与定义域定义域的区别的区别.2) 求极限的两种新方法：求极限的两种新方法：极限运算可以穿过极限运算可以穿过连续连续函数符号；函数符号；利用利用初等函数初等函数的连续性求函数的连续性求函数在一点处在一点处的极限。的极限。3）关于）关于闭区间闭区间上上连续函数连续函数整体性质的整体性质的四个定理四个定理：有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，注意条件：注意条件：1闭区间闭区间； 2连续函数连续函数这两点这两点不全满足不全满足时上述定理时上述定理不一定不一定成立成立它们是研究它们是研究连续函数连续函数性质的重要工具性质的重要工具。思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数,01( )2,0 xexf xx)(xf在在)1 , 0(内连