arc885133函数的单调性、极值与最值

1、第三节 函数的单调性、极值与最值o一、一、单调性的判别法单调性的判别法o二、二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法o三、三、最大最小值问题最大最小值问题o四、四、小结小结一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1),(,)(上单调减少在，则函数内若在上单调增加；在，则函数内若在）（内可导上连续，在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfyabba例1解.1的单调性讨论函数xeyx. 1xey,)0 ,(内在 , 0 y函数单调减少；,), 0(内在, 0 y.函数单调增加注意注意:

2、 :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,( :d又问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,( :d12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)( xf. 2, 121xx时，当1x, 0)( xf上单调增加；在 1 ,(时，当21 x, 0)( xf上单调减少；在2 , 1 时，当 x2, 0)( xf上单调增加；在), 2 单调区间为， 1

3、,(，2 , 1 )., 2 例3解.)(32的单调区间确定函数xxf).,( :d)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当 x32xy 时，当0 x, 0)( xf上单调增加；在), 0 时，当 x0, 0)( xf上单调减少；在0 ,(单调区间为，0 ,()., 0 结论：结论：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点.,)()(0)(符号然后判断区间内导数的的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf单调区间求法单调区间求法: :注意注意: :区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxx

4、f则, 0)(), 0(,), 0)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在), 0 , 0)0(f时，当0 x, 0)1ln(xx).1ln(xx即例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加但在二、函数的极值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x的是函数则称）（若内定义在设函数)()(),()(1)(),(,),()(0000 xfxfxfxfxuxbaxbaxf极大值；的是函数则称）（)()(),()(200 xfxfxfxf极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注意注意: :.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点

5、的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,3xy , 00 xy.0不是极值点但 x定理定理1(1(必要条件必要条件) ).0)()(000 xfxxxf处取得极值，则处导数存在，且在在设的函数为的实根即方程称导数为零的点)()0)(xfxf驻点.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形)处取得极大值；在，则有，；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(1xxfxfxxxxfxxx处取得极小值；在，则有，；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(2xxfxfxxxxfxxx.)()(),(),(300000处无极值在相同，则符号时，

6、及若）（xxfxfxxxxxxxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);() 1 (xf 求导数;0)()2(的根求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf .)4(求极值(不是极值点情形)xyo例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)( xf. 3, 121xx得驻点x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极小值)3(f极小值.22) 1(f极大值,10)3)(1(3xxmm定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )，则，处二阶可导，且在设0)(0)()(000 xfxfxxf

7、处取得极大值；在时，函数当00)(0)() 1 (xxfxf .)(0)()2(00处取得极小值在时，函数当xxfxf 例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)( xf. 2, 421xx得驻点)2)(4(3xx, 66)( xxf )4(f, 018)4(f故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值.48注意注意: :. 2,)(,0)(00则用定理处不一定取极值在点时xxfxf mm例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x; 0)( xf时，当2x. 0)( xf.)(

8、1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意注意: :函数的不可导点,也可能是函数的极值点.m三、最大最小值问题oxyoxybaoxyabab.,)(,)(存在最值上在零的点，则且至多有有限个导数为，除个别点外处处可导若函数baxfbacxf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小, 大就是最大值,小就是最小值。注意注意: :如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).例1解) 1)(2(6)(xxxf.4 , 314123223上最值在求xxxy得解方程, 0)( xf. 1, 221xx)3(f;23 )2(f;34)

9、 1 (f; 7;142)4(f，最大值142)4(f. 7) 1 (f最小值例2.敌人乘汽车从河的北岸a处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸b处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解公里公里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系).(分追击至射击的时间处发起为我军从设bt敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts公公里里4b a )(ts)(ts20 t.)()2(的最小值点求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt, 0)( ts令得唯一驻点. 5 . 1t.5 . 1分钟射击最好处发起追击后故得我军

10、从b实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: : (1)建立目标函数（定义域）;(2)求最值.注意：注意：若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值.例3.某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解月，元设房租为/x套出租的房子有1018050 x每月总收入为)(xr)20( x1018050 x1068)20(xx680180 x101)20(1068)(xxxr570 x0)( xr350 x（唯一驻点）（唯一驻点

11、）故每月每套租金为350元时收入最高.1035068)20350()(xr即)(10890 元成的三角形面积最大所围及点处的切线与上求一点使曲线在该曲边在围成一个曲边三角形，及抛物线，由直线例8080. 422xyxyxyxytxyopabcacb解),(00yxp设所求切点为为则切线pt),(2000 xxxyy,200 xy ),0,21(0 xa)16, 8(200 xxb),0, 8(c)16)(218(212000 xxxsabc)80(0 x, 0)1616643(41020 xxs令解得).(16,31600舍去xx8)316( s. 0 .274096)316(为极大值s.27

12、4096)316(大者为所有三角形中面积最故s四、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)注意最值与极值的区别：注意最值与极值的区别：最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.思考题思考题1 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？思考题思考题1解答解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxx

13、xf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075思考题思考题2下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧

14、侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题思考题2解答解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 思考题思考题3 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)(

15、 af？思考题思考题3解答解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _. _.2 2、 函数函数212xxy 在区间在区间 -1,1-1,1上单调上单调_， 在在_上单调减上单调减. .3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_， 单减区间为单减区间为_._.练练 习习 题题 1练习题练习题1答案答案一、一、 填空题填空题： 1 1、 极值反映的是函数的极值反映的是函数

16、的 _性质性质. . 2 2、 若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导， 则它在点可导， 则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._. 3 3、 函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy的极值为的极值为_._. 4 4、 已知函数已知函数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小 值 ；当小 值 ；当时时_ x，为极为极_ y大值大值. . 练练 习习 题题 2二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yey

17、x所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. . 一、一、1 1、局部、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),无；无； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee; ; 二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(, ,极小值极小值 ), 2, 1, 0(22)12(

18、4()12(4 kekyk； 2 2、极大值、极大值eeey1)( ； 3 3、极小值、极小值1)0( y； 4 4、极小值、极小值0)0( y. . 练习题练习题2答案答案练练 习习 题题 35 5、 从一块半径为从一块半径为r的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、 求函数求函数xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求数列求数列 nn210的最大项的最大项 . .四、四、 要造一圆柱形油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为v，问底半径，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )围成一曲边三角形围成一曲边三角形oab，在曲线弧，在曲线弧ob上求一点，使得过此点所作曲上