空间力PPT课件

1、3.1 3.1 空间力的分解及其投影空间力的分解及其投影3. 3. 空间力系空间力系3.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩3.3 3.3 空间力偶空间力偶3.4 3.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡3.5 3.5 重心和形心重心和形心一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 3.1 3.1 空间力的空间力的分解及其投影分解及其投影（1 1）力在直角坐标轴上的投影）力在直角坐标轴上的投影 cosffxcosffycosffzcossinffxsinsinffycosffzkjizyxfff（2 2）力沿直角

2、坐标轴的分解）力沿直角坐标轴的分解 222zyxffffzyxffffffx),cos(ifffy),cos(jfffz),cos(kf如已知力如已知力f在轴系在轴系oxyz的三个投影，的三个投影，则力则力f的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为 3.1 3.1 空间力的空间力的分解及其投影分解及其投影由此可得合力的大小和方向余弦为由此可得合力的大小和方向余弦为 kjifziyixirfff二、空间汇交力系的合成与平衡二、空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为作用线通过汇交点。合力矢为nfff2

3、1222)()()(ziyixirffff或或（1 1）合成）合成rfnii1frxirff),cos(ifrzirff),cos(kfryirff),cos(jf3.1 3.1 空间力的空间力的分解及其投影分解及其投影（2 2）平衡）平衡 空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：空间汇交力系平衡的必要和充分条件为： 要上式成立，必须同时满足：要上式成立，必须同时满足： 0 xif 0yif 0zif空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。 该力系的合力等

4、于零。该力系的合力等于零。 上式称为空间汇交力系的上式称为空间汇交力系的平衡方程平衡方程。 0irff3.1 3.1 空间力的空间力的分解及其投影分解及其投影解：解：取起重杆取起重杆ab与重物为研究对象与重物为研究对象 0 xf 0yf 0zf解得解得 kn536. 321 ff045sin2f030cos45cos2f030cospfakn66. 8af例：已知例：已知; ;ce=eb=de,=ebf=30，物重物重p=10kn。如杆重不计，试求杆所。如杆重不计，试求杆所受的压力和绳子的拉力。受的压力和绳子的拉力。 45sin1f30sinaf30cos45cos1f30sin45cos1f

5、30sin45cos2f3.1 3.1 空间力的空间力的分解及其投影分解及其投影3.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示 上式为力对点的矩的矢积表达式。上式为力对点的矩的矢积表达式。 力矩矢不可任意挪动，称为力矩矢不可任意挪动，称为定位矢量。定位矢量。 力矩矢力矩矢mo(f)在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影 yzxozfyf )(fmzxyoxfzf )(fmxyzoyfxf )(fmfrfm)(okjirzyxkjifzyxfffzyxofffzyxkjifrfm)(kji)()()(xyzxyzyfxfxfzfzf

6、yf这两种情况合起来说：当力与轴在同一平这两种情况合起来说：当力与轴在同一平面时，力对轴的矩等于零。面时，力对轴的矩等于零。 二、力对轴的矩二、力对轴的矩 正负号规定：从正负号规定：从 z 轴的正向轴的正向看，逆时针取正号，反之取负号。看，逆时针取正号，反之取负号。力对于任一轴的矩，等于力力对于任一轴的矩，等于力在垂直该轴平面上的投影对于轴在垂直该轴平面上的投影对于轴与平面的交点的矩。与平面的交点的矩。力对轴的矩等于零的情况：力对轴的矩等于零的情况： （1 1）当力与轴相交时（此时）当力与轴相交时（此时h=0）；）； （2 2）当力与轴平行时（此时）当力与轴平行时（此时fxy=0）。）。力对轴

7、的矩的单位：力对轴的矩的单位：nm。 hfxyoaba 23.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩)(fzm)(xyomf力对轴的矩的解析表达式：力对轴的矩的解析表达式： 即即 同理可得其余二式。同理可得其余二式。 将此三式合写为将此三式合写为3.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩)(fzm)(xyomf)(xomf)(yomfxyzyfxfm)(fyzxzfyfm)(fzxyxfzfm)(fxyzyfxfm)(f三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 比较前面两式，可得比较前面两式，可得 上式说明：上式说

8、明：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。于力对该轴的矩。 如果已知力对通过点如果已知力对通过点o的直角坐标轴的直角坐标轴x，y，z的矩的矩则可求得该力对点则可求得该力对点o的矩的大小和方向余弦为的矩的大小和方向余弦为3.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩)()(ffmzzom222)()()()(fffmfmzyxoommm)()(),cos(ffimoxomm)()(),cos(ffjmoyomm)()(),cos(ffkmozomm)()(ffmxxom)()(ffmyyom例：传动轴上圆柱斜齿轮所受的啮合力

9、为例：传动轴上圆柱斜齿轮所受的啮合力为f,齿轮压力角为齿轮压力角为, ,螺旋角为螺旋角为, ,节圆半径为节圆半径为r。求该力对于各坐标轴的矩。求该力对于各坐标轴的矩。 coscosffxsincosffysinffz力作用点的坐标为力作用点的坐标为 rzlyx20代入公式，得代入公式，得 zxyxfzfm)(fxyzyfxfm)(fsincos2flcoscosrf)sincos()sin(2frfl)sin2sincos(lrf3.2 3.2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩解：解：啮合力啮合力f 在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 yzxzfyfm)(ffxfzfy 3.3

10、3.3 空间力偶空间力偶一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢 实际经验告诉我们：力偶的作用面可以平行移动，实际经验告诉我们：力偶的作用面可以平行移动，而不改变力偶对刚体的作用效果。而不改变力偶对刚体的作用效果。 空间力偶对刚体的作用效果取决于三个因素：空间力偶对刚体的作用效果取决于三个因素： （1 1）力偶矩的大小；）力偶矩的大小；（2 2）力偶作用面的方位；）力偶作用面的方位；（3 3）力偶的转向。）力偶的转向。 3.3 3.3 空间力偶空间力偶空间力偶的三个因素可以用一个矢量表示空间力偶的三个因素可以用一个矢量表示矢量的长度表示力偶矩的大小，矢量的长度表示力偶矩的大

11、小，矢量的方位与力偶作用面的方位相同，矢量的方位与力偶作用面的方位相同，矢量的指向与力偶转向的关系服从右手矢量的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则。螺旋规则。力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。力偶矩矢是力偶矩矢是自由矢量自由矢量。二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理 作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。3.3 3.3 空间力偶空间力偶这个矢量称为这个矢量称为力偶矩矢力偶矩矢，记作，记作m。即即合力偶矩矢在合力偶矩矢在x，y，z轴上投影等于各分力偶矩

12、矢在相轴上投影等于各分力偶矩矢在相 应轴上投影的代数和。应轴上投影的代数和。 niizm1三、空间力偶系的合成与平衡三、空间力偶系的合成与平衡（1 1）合成）合成 任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即 合力偶矩矢的解析表达式为合力偶矩矢的解析表达式为其中其中 nxxxxmmmm21nyyyymmmm21nzzzzmmmm21niixm1niiym1 3.3 3.3 空间力偶空间力偶nii1mn21mmmmkjimzyxmmm 例：在工件上同时钻五个孔，每个孔所受的力偶矩均为例

13、：在工件上同时钻五个孔，每个孔所受的力偶矩均为80nm。求工件所受合力偶矩矢的投影。求工件所受合力偶矩矢的投影mx，my，mz。并求。并求合力偶矩矢的大小和方向余弦。合力偶矩矢的大小和方向余弦。 3.3 3.3 空间力偶空间力偶zzmm 解：解：将作用在四个面上的力偶用将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢来表示，并将它们平行移力偶矩矢来表示，并将它们平行移到点到点a，得，得 xxmmyymm45cos5mmn1 .1932mmn8045cos5mmn1 .193 3.3 3.3 空间力偶空间力偶a3m45cos4m1m45cos4m合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的大小 222zyxmmmm合力偶矩矢的

14、方向余弦合力偶矩矢的方向余弦 mn6 .2846786. 02811. 06786. 0 3.3 3.3 空间力偶空间力偶mmy),cos(jmmmx),cos(immmz),cos(km（2 2）平衡）平衡 空间力偶平衡的必要和充分条件是：空间力偶平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即。即 欲使上式成立，必须同时满足：欲使上式成立，必须同时满足： niizniiyniixmmm111000上式为空间力偶系的平衡方程。上式为空间力偶系的平衡方程。 空间力偶平衡的必要和充分条件是：空间力偶平衡的

15、必要和充分条件是：该力偶系中所有该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 3.3 3.3 空间力偶空间力偶nii10moxyz4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化 oxyz=原来的空间任意力系被空间汇交力系和空间力偶系等效替原来的空间任意力系被空间汇交力系和空间力偶系等效替换。换。 oxyzmo()(1,2, )iiioiinffmmf刚体上作用空间任意力系刚体上作用空间任意力系f1，f2，fn。 m1m nm2f2f1fnfnf2f1fr空间汇交力系

16、空间汇交力系 空间力偶系空间力偶系 空间任意力系向任一点空间任意力系向任一点o简化简化, ,可得一力和一力偶可得一力和一力偶, ,这这个力的大小和方向等于该力系的主矢个力的大小和方向等于该力系的主矢, ,作用线通过简化中作用线通过简化中心心o; ;这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩; ;主矢主矢与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关, ,主矩一般与简化中心的位置有关主矩一般与简化中心的位置有关. .一力一力（原力系的（原力系的主矢主矢）一力偶一力偶（原力系对点（原力系对点o的的主矩主矩） 1nrii ffniio1mmniio1)(fmnizin

17、iyinixifff111kjinixiiyiiniziixiiniyiiziiofyfxfxfzfzfy111)()()(kjimniii1)(fr4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡二、空间任意力系的简化结果分析二、空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系向一点简化可能出现四种情况，即空间任意力系向一点简化可能出现四种情况，即 1 1空间任意力系简化为一合力偶的情况空间任意力系简化为一合力偶的情况 这时得一与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系这时得一与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下对简化中心的主矩。在这种情况下, ,主矩

18、与简化中心的位置无关。主矩与简化中心的位置无关。2 2空间任意力系简化为一合力的情况空间任意力系简化为一合力的情况 这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线通过简化中这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线通过简化中心心o，其大小和方向等于原力系的主矢。，其大小和方向等于原力系的主矢。 （2）fr0，mo=0， （4）fr=0，mo=0， （1）fr=0，mo0， （3）fr0，mo0， 主矢主矢fr=0，主矩主矩mo0， （1 1）主矢）主矢fr0，主矩，主矩mo=0， 4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡得作用于点得作用于点o的一个力的一个力fr。此力即为原力系的合力，

19、。此力即为原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，其作用线离简化中心其大小和方向等于原力系的主矢，其作用线离简化中心o的距离为的距离为oooood dd d= = =rofdmfrfrfrmofrfrrrrormf d fff（2 2）主矢）主矢fr0，主矩，主矩mo0，且，且 frmo 4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡3 3空间任意力系简化为力螺旋的情况空间任意力系简化为力螺旋的情况 力螺旋力螺旋：就是由一个力和一个力偶组成的力系，其：就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。中的力垂直于力偶的作用面。左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋中心轴中心轴中心轴

20、中心轴这就是力螺旋。这就是力螺旋。 （1 1）主矢）主矢fr0，主矩，主矩mo0，且，且frmo， 4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡=可简化为一力螺旋，其中心轴不在简化中心可简化为一力螺旋，其中心轴不在简化中心o，而是通过，而是通过另一点另一点o。o，o两点间的距离为两点间的距离为4 4空间任意力系平衡的情况空间任意力系平衡的情况 （2 2）主矢）主矢fr0，主矩，主矩mo0，两者既不平行，也不垂直。，两者既不平行，也不垂直。 sinoorrmdffm主矢主矢fr=0，主矩，主矩mo=0，空间任意力系平衡的情况。，空间任意力系平衡的情况。4.4 4.4 空间力系的合成与

21、平衡空间力系的合成与平衡一、空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：空间任意力系平衡的必要和充分条件：该力系的主矢该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。和对任一点的主矩都等于零。 要上式成立，必需满足：要上式成立，必需满足： 上式称为空间任意力系的平衡方程。上式称为空间任意力系的平衡方程。 空间任意力系平衡的必要和充分条件：空间任意力系平衡的必要和充分条件：所有各力在三所有各力在三个坐标轴中每一个轴上投影的代数和等于零，以及这些力个坐标轴中每一个轴上投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于

22、零。000zyxfff00ro fm0)(0)(0)(fffzyxmmm4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡上式称为上式称为空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程 0zf空间平行力系空间平行力系 0)(fxm 0)(fym4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡二、空间约束的类型举例二、空间约束的类型举例 4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡三、空间力系平衡问题举例三、空间力系平衡问题举例 例：图示三轮小车，自重例：图示三

23、轮小车，自重p=8kn，作用于点，作用于点e，载荷，载荷p1=10kn，作用于点，作用于点c。求小车。求小车静止时地面对车轮的约束力。静止时地面对车轮的约束力。 解：解：取小车为研究对象取小车为研究对象 0zfkn8 . 5df01dbafffpp02df02 . 1bfkn777. 7bfkn423. 4af12 . 0pp2 . 118 . 0pp6 . 0df6 . 0 0)(fxm 0)(fym4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡 例：例：f2=2f1，f=2000n。d=400mm，r=300mm，=30=30 ，=60=60 ，其它尺，其它尺寸如图。求胶带拉力和

24、轴承约束力。寸如图。求胶带拉力和轴承约束力。 解：解：取整个轴为研究对象取整个轴为研究对象 0 xf 0zfkn31fkn384. 3bxfkn62fkn044.10axfkn397. 9azfkn799. 1bzf0bxf0bzf04 . 0bzf0)(212ffd04 . 0bxf30sin2 . 01f60sin2 . 02f30sin1f60sin2faxf30cos2 . 01f60cos2 . 02ff2 . 030cos1f60cos2ffazffr 0)(fzm 0)(fxm 0)(fym4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡例：板重例：板重p=200n，求绳

25、子的拉力和支座约束力。，求绳子的拉力和支座约束力。解：解：取板为研究对象取板为研究对象n200f0bzf 0 xf 0yf0zf0bxf030sin2afpa0230sinbzbfpbbf030sin30cosfn6 .86axf030cos30cosfn150ayf030sinfn100azfabaxfbxfazfpayf 0)(fzm 0)(fym 0)(fxmfayfbzfbxffazfaxp4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡 例：例：重重p1=10000n的载货小车借图示的装置沿斜面等的载货小车借图示的装置沿斜面等速上升。已知鼓轮重速上升。已知鼓轮重p2=1000

26、n，其直径为，其直径为d=24cm；杠杆；杠杆臂长臂长l=1m。如鼓轮用止推轴承。如鼓轮用止推轴承a和轴承和轴承b铅垂地固定，求铅垂地固定，求加在每根杠杆上的力加在每根杠杆上的力f 的大小以及支座的大小以及支座a和和b的反力。的反力。 4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡解：解：先取小车为研究对象先取小车为研究对象 0 xf再取鼓轮为研究对象再取鼓轮为研究对象 0 xf 0yf 0zfn375025 . 1tbyff1sin300tfp 5000ntf 0bxf04 lfn1508tfldf05 . 1tf0bxaxff0axf0tbyayfffn1250ayf02pfaz

27、n1000azfxp2xyztfd2byf2 0)(fzm 0)(fxm 0)(fymp1ftfnfbyfbxftfffffaxfayfaz4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡例已知例已知p，f，且，且f=2p。求各杆的内力。求各杆的内力。 解：解：取板为研究对象取板为研究对象 26pf05f01f04f026afap045cos3affapf223022bpbffbpf5 . 12 0)(faem 0)(fbfm 0)(facm 0)(fmab 0)(fdhm 0)(ffgm4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡38 例例 曲杆曲杆abcd, abc=b

28、cd=900, ab=a, bc=b, cd=c, m2, m3 求：支座反力及求：支座反力及m1=?4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡39解：解：以曲杆以曲杆abcd为研究对象为研究对象32123()()dzdymmbcmbf-cfbcmmaaaa fdxfdyfdzfayfaz3ayamf a0 3ayfm0 zm 2azamf02azafm0ym0dxf0fx0yf 0aydyf +f3dyaymffa 0zf 0azdzf +f2dzazmffa 10 xm10dzdymbf +cf4.4 4.4 空间力系的合成与平衡空间力系的合成与平衡4.5 4.5 重心和形心

29、重心和形心一、平行力系中心一、平行力系中心 平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。 abfacfbcfr21 由此可知，平行力系合力作用点由此可知，平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点位此平行力系的中心。平行力的方向无关。称该点位此平行力系的中心。 21fffr设在刚体上设在刚体上a，b两点作用两个平行力两点作用两个平行力f1，f2，将其合成。，将其合成。 若将原有各力绕其作用点转过同若将原有各力绕其作用点转过同一角度，使它们保持相互平行，则合一角

30、度，使它们保持相互平行，则合力力fr仍与各力平行也绕点仍与各力平行也绕点c 转过相转过相同的角度，且合力的作用点同的角度，且合力的作用点c 不变。不变。由合力矩定理，得由合力矩定理，得 设力作用线方向的单位矢量为设力作用线方向的单位矢量为f0，则，则上式为上式为 从而得从而得 若有若干个力组成的平行力系，合力作用点：若有若干个力组成的平行力系，合力作用点：将上式在直角坐标轴上投影，得将上式在直角坐标轴上投影，得iiicfxfxiiicfyfyiiicfzfziiicff rr2122112211fffffffrrcrrrr0001122crfffrfrfrf2211frfrfrrc4.5 4.

31、5 重心和形心重心和形心二、重心二、重心 设物体由若干部分组成，其第设物体由若干部分组成，其第i部分重部分重pi，重心（，重心（xi， yi，zi）则物体的重心为则物体的重心为iiiciiiciiicpzpzpypypxpx如果物体是均质的，则可得如果物体是均质的，则可得 vzdvzvydvyvxdvxvcvcvc显然，均质物体的显然，均质物体的重心重心就是几何中心，即就是几何中心，即形心形心。 地球半径很大，地球表面物体的重力可以看成是平行地球半径很大，地球表面物体的重力可以看成是平行力系，力系，此平行力系的中心即物体的重心此平行力系的中心即物体的重心。重心有确定的位。重心有确定的位置，与物

32、体在空间的位置无关。置，与物体在空间的位置无关。 4.5 4.5 重心和形心重心和形心三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法 1.1.简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心 如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。称中心上。 例：例：试求图示半径为试求图示半径为r、圆心角为圆心角为2 的扇形面积的的扇形面积的重心。重心。 4.5 4.5 重心和形心重心和形心解：解：取中心角的平分线为取中心角的平分线为y轴。轴。 由于对称关系，由于对称关系，xc = 0，现在只需求，现在只需求 yc。任意位置任意位置处微小面积：处微小面积： drda221其重心的坐标：其重心的坐标： cos32ry 扇形总面积：扇形总面积： daa面积形心坐标面积形心坐标aydayc如以如以2代入，即得半圆的重心代入，即得半圆的重心 34rycdr2212r2221cos32rdrrsin32r4.5 4.5 重心和形心重心和形心2.2.用组合法求重心用组合法求重心 （1 1）分割法）分割法 若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下些物体的重心是