第三章 函数极限数分

1、.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察

2、函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .的过程的过程表示表示 xxx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxf

3、x 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数x, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 axf)(, ,那末常数那末常数a就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xaxfaxfx当当或或定定义义x .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axfx

4、)(lim1、定义：、定义：:.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: x x.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxxaxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 x1 , , 0

5、,1 x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数

6、 ( (不论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式 axf)(, ,那末常数那末常数a就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxaxfaxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函

7、数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明cccxx 证证axf )(cc ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0ccxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxaxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxaxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xx

8、x证明证明证证211)(2 xxaxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例4.lim00 xxxx 证证0)(xxaxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分

9、别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000axfxfaxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11

10、oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xnnn nx nx nx )(xf axf)(0 xx

11、00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，

12、必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx (1), 自变量趋于有限值时函数的极限; 作业 3.小结 (

13、2), 自变量趋于无穷大时函数的极限; (3), 函数极限的几何意义; (4), 单侧极限的概念; (5), 应用函数极限的定义验证函数极限的方法; p47: 1, 3, 4, 5, 6, 7. 如果f(x)a(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 证明有使得则取设);(, 0, 1,)(lim00 xuxaxfxxo. 1)(1)(axfaxf.);()(0内有界在即xuxfo 函数极限的性质1.局部有界性局部有界性 如果当xx0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的证明，xxfba时的极限当都是设0,)(0, 0, 0101axfxx时有当则,)(0, 0202bxfxx时有当

14、故有同时成立时则当取，xx)2(),1 (0),min(021.2)()()()(bxfaxfbxfaxfba.即其极限唯一的任意性得由ba 2.唯一性唯一性 如果f(x)a(xx0) 而且a0(或a0) 那么对任何正数ra (或 r 0 (或f(x) -r 解解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx3731021223例例 2 求351lim23 2xxxx 例2 解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx 3731021223 11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx111

15、21lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx 解 例3 例例 3 求93lim2 3xxx 解解 31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3xxxxxxxxx61) 3(lim1lim 3 3xxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3xxxxxxxxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3xxxxxxxxx 61) 3(lim1lim 3 3xxx 解 例

16、4 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 031241513245lim22 1xxxx4532lim2 1xxxx 根据无穷大与无穷小的关系得 031241513245lim22 1xxxx 因为 有理函数的极限?)()(lim0 xqxpxx 讨论 提示 当q(x0)p(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 当0)(0 xq时 )()()()(lim000 xqxpxqxpxx 当0)(0 xq且0)(0 xp时 )()(lim0 xqxpxx 先用x3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例5 例例 5 求357243lim2323xxxxx

17、 解: 73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx 例6 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 讨论提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例7 解 解解 因为052123lim232

18、xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以 有理函数的极限? lim110110 mmmnnnxbxbxbaxaxa mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例8 例例 8 求xxxsinlim 所以 0sinlimxxx 因为xxxxsin1sin 是 是无穷小与有界函数的乘积 (1), 唯一性; 作业 小结 (2), 局部有界性; (3), 局部保号性; (4), 保不等式性; (5),

19、 迫敛性; p47: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 , 9 . (6), 四则运算法则; (7), 函数极限与数列极限的关系; (8), 复合函数的四则运算法则 .一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时恒有时恒有当当,max21nnn 取取恒有恒有时时当当,nn , a

20、yan即即,2 aznnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则准则 如果当如果当)(00 xux ( (或或mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于a. .注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限

21、关nnnnzyzy准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:am例例2 2.)(333的

22、极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnxac二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切

23、线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注: 这是因为 令ua(x) 则u0 于是 在极限)()(sinlimxxaa中 只要a(x)是无穷小 就有 1)()(sinlimxxaa )()(sinlimxxaa1sinlim0uuu v第一个重要极限1sinlim0

24、xxx 20cos1limxxx1sinlim0 xxx 1)()(sinlimxxaa(a(x)0) 例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx 解 例2 例例 2 求20cos1limxxx 21121

25、22sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 例3xxx5sinlim0求xxx5sinlim0解：xxx55sin5lim0 xxx55sinlim500,0,5txtx有时当令5sinlim5,0ttt原式所以注：在上例中，应用公式（141）时，我们使用了代 换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：xt5xxx5sinlim0555sinlim50 xxx例4 . 求极限:xxxxxxtanlim22si

26、n3sinlim100、xxx2sin3sinlim10、解：xxxxxxx222sin333sinlim0 xxxxxx22sinlim233sinlim300231213xxxxxxxcossinlimtanlim200、xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinlim00111例5. 求极限:xxx3sinlimxxx3sinlim:解xxx33sinlim3)333sin(limxxxxx313 练习1.求下列极限:xxxxaxx35sinlim23sinlim100、333sin3lim3sinlim100 xxxxxx、35)35)(55sin(lim35sinl

27、im200 xxxxxx、二.关于极限xxx)11 (lim设有函数,时x，根据下表观察xxxf11)(的变化趋势。)(xf xxxf11x2.718152.716922.704812.5937410000100010010.2.718282.718271000000100000 xxxf11x2.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10.2.718282.71827-1000000-100000 x时，xx)11(均趋于一个确定的数2.71828用e表示该数,e是无理数。e=2.718281828)214()11 (limexxx得到公式注意：

28、2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。tx或1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型1exxx10)1 (lim. 3公式的等价形式为exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( v第二个重要极限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 21

29、11nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)1

30、1(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例6, 求极限 xxx)31 (lim) 1 (xxx1)31 (lim)2(0 xxx)31 (lim) 1 (33)31(limxxx3exxx1)31 (lim)2(0)3(31)3(1 lim0 xxx3)3(1lim31xxx3 e解：例734)211 (limxxx求34)211 (limxxx34)211 ()211 (limxxxx322)211 (lim)211(limxxxxx221ee解：例8xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(limxxx2)111 (lim2)1(2)111 (limxxx解：2

31、)1(2)111 ()111 (limxxxx221)111 (lim)111(limxxxxx例9.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例10.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 练习2.求下列极限:xxxxxxa)21 (lim2)31 (lim110、3331010)31(lim)31 (limexxxxxx222)21(lim)21 (limexxxxxx练习220001sinlim42tanlim33sin7sinlim221sinlim1xxcxxxxbxxaxxxx、

32、37)37)(3sin3)(77sin(lim3sin7sinlim. 200 xxxxxxxx2)2cos2)(22sin(lim2tanlim. 300 xxxxxxx111sinlim1sinlim. 42222xxxxxx21)212121sin(lim21sinlim. 100 xxxxxxxxxxxxxxcxbxa)212(lim. 7)311 (lim. 6)cos1 (lim. 514cos1221212)211(lim)212(lim. 7exxxxxxx134314)311 ()311(lim)311 (lim. 6xxxxxxx34341eeexxxcos12)cos1

33、(lim. 5小结：小结：1sinlim. 10 xxx对公式00（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是“ ” 型。（2）公式中的“ ”可以是趋向于零的代数式。x（3）注意三角函数有关公式的应用。exxx)11 (lim. 2对公式（1）函数在自变量指定的变化趋势下是“ ” 型。1（2）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量 的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。（3）注意求极限过程中运用指数的运算法则。作业作业:p58: 1 (1)(10), 2 (1)(6) , 3, 4 (1) (2) .三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼

34、准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 a aa a某过程某过程.)1(lim210e a a a a某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设a a思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx

35、2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1 1； 4 4、31 ； 5 5、0 0； 6 6、e； 7 7、2e； 8 8、e1；二、二、1 1、2 2； 2 2、e1； 3 3、ae2； 4

36、4、1 e ； 5 5、3.3.三、三、2lim nxx. .练习题答案练习题答案则称f (x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo , x的极限符号“ lim” 表示任一极限过程).定义1. 若lim f (x)=0,一、无穷小一、无穷小一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数x),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, ,那末那

37、末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;注2：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量,2. 1sinlim2xxx因此，

38、它不是.时的无穷小量小量, 但如sinx是x0时的无穷注3：由于limc = c(常数), 注4：0是任何极限过程的无穷小量.所以, 除0外的任何常数不是无穷小量.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0axfxx 设设,)()(axfx a a令令, 0)(lim0 a axxx则有则有).()(xaxfa a 充分性充分性),()(xaxfa a 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxxa a)(lim)(lim00 xaxfxxxxa a 则则)(lim0 xaxxa a .a 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfa

39、xfxxa a 其中其中)(xa a是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xaxfxxfa a误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了函数）给出了函数（ 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 a ax使得使得, 0, 0, 021 nn;21 a a 时恒有时恒有当当nx;22 时恒有时恒有当当nx,max

40、21nnn 取取恒有恒有时时当当,nx a a a a22 , )(0 a ax注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xuu.0, 0, 0101muxxm 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx a a.0, 0, 0202mxx a a 恒有恒有时时使得当使得当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有

41、极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xxa a a a uumm , .,0为无穷小为无穷小时时当当a a uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大定义定义2 2 设设函数函数)(xf在在0 x某某一一去去心心邻域邻域内内有有定定义义 （或或x大大于于某某一一正数正数时时有有定义定义） 如果对于任意给定的正数如果对于任意

42、给定的正数m( (不不论它多么大论它多么大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数x),),使得对于适合不使得对于适合不等式等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf总总满足不等式满足不等式 mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定义2：若 0(无论多么大), )(lim)(0 xfxxx记作： 0(或x0), 当0|xxo|x)时，有|f (x)|m,

43、则称f (x)是x x0(或x )时的无穷大量. 若以“ f (x)m ”代替定义中的 “ |f (x)|m ”, 就得到正无穷大量的定义. )(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx若以“ f (x)m ”,就得到负无穷大量的定义. 分别记作： 0, 0(或x0), 当0|xxo|x)时，有|f (x)|m,.)(lim)(0 xfxxx则记特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一

44、种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,mxykk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0m 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证明证明例例证证. 0 m,11mx 要使要使,1

45、1mx 只要只要,1m 取取,110时时当当mx .11mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy例例2: 试从函数图形判断下列极限.,tglim ,tglim ,tglim ) 1 (222xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 解解： (1)2232xy0 xyy = tgxxy从图上可看出.tglim ,tglim ,tglim222 xxxxxx ,lim xxe从图上看出(2) xoyxxyy ?lim

46、 ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10讨论分aaxey . 0limxxex+x ,lnlim )3( xx ).1, 10讨论分aa ?loglim ?,loglim(0 xxaxax一般.lnlim 0 xx注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” ,注2：若lim f (x)=, 将“ x” 换成“ n” , 将“ x” 换成就得到数列xn为无穷大量定义.“ n”,则表示在该极限过程中f (x)的极限不存在. 0, x0, 当|x|x 时, 有|f (x)|m,.)(limxfx则记注3：不能脱离极限过程谈无穷大量. 注4：无穷大量一定是无界量, 任何常量都不是无穷

47、大量.但无界量不一定是无穷大量.),()cos)(sin)(在或xxxfxxxf例3：例3：.sinlim,sinlim不存在内是无界函数，但xxxxxx只须内无界函数是要说明 .),(sin xxy解：解：说明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|m即可.为自然数，现在取kkx,220，充分大时当则)(22|sin|00kmkxx.sin 是无界函数故xxy ,2xxkkxkk充分大时当又取| )(|kxf但.0m不大于.sinlimxxx故,) 1(1 (nnnx例4：例4：.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是无界数列，三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与

48、无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有时时使得当使得当.)(1mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无

49、穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论. 证明 设a及是当xx0时的两个无穷小 则 0 10 当0|xx0|1 时 有|a| 20 当0|xx0|2 时 有| 取 min1 2 则当0|xx0|时 有 这说明a 也是当xx0时的无穷小 |a|a|2 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小仅就两个xx0时的无穷小情形证明 举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 四、无穷小的性质四、无穷小的性质 设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即m0 使当0|xx0|1时 有|u|m 又设a是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|a

50、| 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |ua|u|a|m 这说明ua 也是当xx0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小四、无穷小的性质四、无穷小的性质举例: 当 x时 x1是无穷小 arctan x 是有界函数 所以x1arctan x 也是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 四、无穷小的性质四、无穷小的性质五、无穷小的比较五、无穷小的比较 观察两个无穷小比值的极限v观察与比较03lim20 xxx 203limx

51、xx 1sinlim0 xxx 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 v无穷小的阶 设a 及 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果0lima 就说是比a高阶的无穷小 记为o(a) 如果alim 就说 是比a 低阶的无穷小 如果0limca 就说 与a 是同阶无穷小 如果0limcka k0 就说是关于a的 k 阶无穷小 如果1lima 就说与a是等价无穷小 记为a v阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0) 所以当x3时 x29与x3是同阶无穷小 所以当 n时 n1是比21n低阶的无穷小 因为211limnnn 例2 例例 3 因为639lim23xxx 例3 例例 1 因为03lim20 xxx 例1 所以当x0时 1cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0) 例例 4 因为21cos1lim20 xxx 例4 例例 5 因为1sinlim0 xxx 例5 v阶的比较举例定理1 与a是等价无穷小的充分必要条件为 ao(a)