有理数和运算培优专题

1、有理数及其运算培优专题一选择题（共 4 小题）1 a， b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）Aa2与 b2 Ba3与 b5Ca2n与b2n （n 为正整数） D a2n+1 与b 2n+1 （n 为正整数） 2十进制数 278 ，记作 278 （10），其实 278 （10）=2×102+7×10 1+8×10 0， 二进制数 101 （2）=1×22+0×21+1 ×20有一个 k（0<k10 为整数）进 制数 165 （k），把它的三个数字顺序颠倒得到的 k 进制数 561 （k ）是原数的 3 倍，则 k=

2、（ ）A10 B9 C8 D 73已知 a=（），b= （），c=，判断下列叙述何者正确？ （）Aa=c ，b=c Ba=c，bc C ac，b=c D ac，bc 4在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产 总值从 2012 年的 5.8 万亿元增加到 2017 年的 8.99 万亿元，五年年均增 长 7.9% 将数据 8.99 万亿用科学记数法可表示为（ ）A89.9 ×1011B0.899 ×1013 C8.99×1012D8.99 ×1013二填空题（共 2 小题）5在数轴上，点 A 表示的数是 3+x ，点 B 表示的数是

3、 2 x ，且 A ，B 两点 的距离为 8 ，则 x=6如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1 ，现点 A 做如下移动：第1 次点 A向左移动 3个单位长度至点 A1，第2 次从点 A 1向右移动 6 个单位长度至点 A2，第3次从点 A2向左移动 9 个单位长度至点 A3，按照这种移动方式进行下去， 点A4 表示的数，是，如果点 An 与原点的距离不小于 20 ，那么 n 的最小值是 三解答题（共 12 小题）7 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面 是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题 【提出问题】三个有理数 a，b，c 满足

4、abc > 0 ，求的值【解决问题】解：由题意，得 a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为 负数 a ，b，c 都是正数，即 a >0，b>0，c>0 时，则； 当 a，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 a>0，b<0，c <0 ，则综上所述，值为 3 或1 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1 ）三个有理数 a，b，c 满足 abc <0 ，求的值；（2 ）若 a，b，c 为三个不为 0 的有理数，且，求的值8 如图，在单位长度为 1 的数轴上有， A、B 、C、D 四个点，点 A、C 表 示的有

5、理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点 O，并在点 A、B 、C、D 上方标出它们所表示的 有理数；（2）A、C两点间的距离 AC=，B、D 两点间距离 BD= ；（3 ）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的 有理数的绝对值来表示， 如果数轴上点 M 表示的有理数是 x，点N 表示的有 理数是 y，那么 M、N 两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为；（4）设点 P 在数轴表示的有理数是 x，借助数轴解答下列问题： 式子 |x 4| 表示点 P 与有理数 所对应的点之间的距离： |x+1| 表 示点 P 与有理数 所对应的点之间的距离； 当 x 是哪个有理数或哪个有理

6、数范围内时，式子 |x 4|+|x+1| 的值最 小？最小值是多少？ 若式子|x 4|+|x+1| 的值是 6 ，那么点 P 所表示的有理数是 多 少？ 9如图所示，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B ，再向右移 动 5 个单位长度到达点 C 点（1 ）求动点 A 所走过的路程及 A、C 之间的距离（2 ）若 C 表示的数为 1 ，则点 A 表示的数为 10 从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？11 已知有理数 a ，b，c，d，e，且 a、b 互为倒数， c、d 互为相反数， e的绝对值为 2，求式子的值12若（a2）2+|b+3|=0 ，求（

7、 a+b ）2009 的值13 计算：8+ （ 10 ） +（ 2 ）（ 5）235+（3） 81 ÷（ 2 ）×÷（ 16） 1 4× 3 （ 3 ）2 （ +）×（ 36）； 199 ×（ 5）（用简便方法计算）14 请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：=1 ， = ， = ，第四个等式为 ，第 n 个等式为 ；根据你发现的规律计算： 15 计算题（1）5（2）17 8÷（ 2 ）+4 ×（ 3）（3）（4）（5）（6）25 ×16 计 算 求 值 ： （ 1 ） 2015 ×17 计算

8、： 18 若 a、b 、c 为整数，且|a b| 19 +|c a| 2010 =1 ，求|a b|+|b c|+|ca| 有理数及其运算培优专题参考答案与试题解析一选择题（共 4 小题）1 a， b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）Aa2与 b2 Ba3与 b总值从 2012 年的 5.8 万亿元增加到 2017 年的 8.99 万亿元，五年年均增Ca2n与b2n （n为正整数） D a2n+1 与b2n+1 （n为正整数）【分析】 依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可 【解答】解：A、a，b互为相反数，则 a2=b2，故 A错误；B、a，b 互为相反数，则 a3=

9、b3，故 a3 与 b 5不是互为相反数，故 B 错误；、a，b 互为相反数，则 a2n =b 2n ，故 C 错误；D 、a，b 互为相反数，由于 2n+1 是奇数，则 a2n+1 与 b2n+1 互为相反数，故D 正确；故选： D 【点评】 本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做 互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还 是互为相反数2十进制数 278 ，记作 278 （10），其实 278 （10）=2×102+7×10 1+8×10 0， 二进制数 101 （2）=1×22+0×21+1 &

10、#215;20有一个 k（0<k10 为整数）进 制数 165 （k），把它的三个数字顺序颠倒得到的 k 进制数 561 （k ）是原数的 3 倍，则 k= （）A10 B9 C8 D 7【分析】依据定义列出关于 k 的方程求解即可解答】解：由题意得： 3（k 2+6k+5 ）=5k 2 +6k+1 ，解得： k=7 或 k= 1（舍去）故选： D 【点评】 本题主要考查的是科学记数法，依据定义列出关于 k 的方程是解题的关键3已知 a=（），b= （），c=，判断下列叙述何者正确？ （）Aa=c，b=c Ba=c，bc C ac，b=c D ac，bc 【分析】根据有理数的减法的运算方

11、法，判断出 a、c，b、c 的关系即可 【解答】解： a= （） =， b=（） =+，c=， a=c ，b c故选： B 【点评】 此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数点评】此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a× 10的形式，其中 1|a| <10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值二填空题（共 2 小题）5在数轴上，点 A 表示的数是 3+x ，点 B 表示的数是 2 x ，且 A ，B 两点 的距离为 8，则 x= 3.5 或 4.5 【分析】分两种情

12、况：当点 A在点 B 左侧时，当点 A在点 B 右侧时， 分别根据距离为 8 ，列方程求解【解答】解：当点 A在点 B左侧时，2x（3+x ）=8，解得： x= 4.5 ；当点 A在点 B 右侧时，3+x （2x）=8，解得： x=3.5 故答案为： 3.5 或 4.5【点评】 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的知识，解答本题的关键 是读懂题意，注意分情况列方程求解6如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1 ，现点 A 做如下移动：第 1 次点A向左移动 3个单位长度至点 A1，第2次从点 A 1向右移动 6个单位 长度至点 A2，第3 次从点 A2向左移动 9个单位长度至点 A3，

13、按照这种 移动方式进行下去，点 A4 表示的数，是 7 ，如果点 An 与原点的距离不 小于 20 ，那么 n 的最小值是 13 【分析】序号为奇数的点在点 A 的左边，各点所表示的数依次减少 3，序号 为偶数的点在点 A 的右侧，各点所表示的数依次增加 3，于是可得到 A13 表 示的数为 173=20，A12 表示的数为 16+3=19 ，则可判断点 An 与原点 的距离不小于 20 时，n 的最小值是 13 【解答】解：第一次点 A向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1表示的数， 13=22；第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2 ，则 A2 表示的数为 2+6=

14、4 ； 第 3 次从点 A2向左移动 9 个单位长度至点 A3，则A3表示的数为 49=5； 第4次从点 A3向右移动 12 个单位长度至点 A4，则A4表示的数为 5+12=7 ； 第 5 次从点 A4向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5 表示的数为 715= 8；则 A7表示的数为 83=11，A9表示的数为 113=14，A11 表示的 数为143=17，A13 表示的数为 173=20，A6 表示的数为 7+3=10 ，A8 表示的数为 10+3=13 ，A10 表示的数为 13+3=16 ，A12 表示的数为 16+3=19 ，所以点 An与原点的距离不小于 20，那么 n

15、 的最小值是 13故答案为 7，13 【点评】 本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的 变化规律是解决问题的关键三解答题（共 12 小题）7 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面 是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题【提出问题】三个有理数 a，b，c 满足 abc >0 ，求的值【解决问题】解：由题意，得 a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为 负数 a，b，c 都是正数，即 a >0，b>0， c> 0 时，则； 当 a，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 a>

16、;0，b<0，c <0，则综上所述，值为 3 或 1 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数 a，b，c 满足 abc <0，求的值；（2）若 a，b，c为三个不为 0 的有理数，且，求的值【分析】（1 ）仿照题目给出的思路和方法，解决（ 1 ）即可；（2 ）根据已知等式， 利用绝对值的代数意义判断出 a，b ，c 中负数有 2 个， 正数有 1 个，判断出 abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可 【解答】 解：（1 ） abc <0 ，a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，当 a， b， c 都是负数，即 a<

17、;0 ，b < 0 ，c<0 时，则：=+= 111=3；a，b，c 有一个为负数，另两个为正数时，设 a<0，b> 0 ，c >0 ， 则=+= 1+1+1=1 （2）a，b， c 为三个不为 0 的有理数，且， a ，b ，c 中负数有 2 个，正数有 1 个，abc >0 ， =1 【点评】 本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法能不重不漏 的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键8 如图，在单位长度为 1 的数轴上有， A、B 、C、D 四个点，点 A、C 表 示的有理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点 O，并在点 A、B 、C、D 上方标

18、出它们所表示的 有理数；（2）A、C两点间的距离 AC= 6 ，B、D 两点间距离 BD= 5 ；（3 ）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的 有理数的绝对值来表示， 如果数轴上点 M 表示的有理数是 x ，点 N 表示的有 理数是 y，那么 M 、N 两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为|x y| ；（4）设点 P 在数轴表示的有理数是 x，借助数轴解答下列问题：式子 |x 4| 表示点 P 与有理数 4 所对应的点之间的距离： |x+1| 表示 点 P 与有理数 1 所对应的点之间的距离；当 x 是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子 |x 4|+|x+1| 的

19、值最 小？最小值是多少？ 5若式子|x 4|+|x+1| 的值是6，那么点 P所表示的有理数是多少？ 1.5 或 4.5 【分析】（1）根据图示，点 A 、C 之间的距离是 6，据此求出点 A、C 表示 的数是多少，即可求出点 B 和 D 表示的数是多少，并画数轴即可；2）直接由两点的坐标之差可得结论；3）在数轴上 M 、N 两点之间的距离 MN=|x y| ，依此即可求解； （4）根据绝对值的几何意义，进行解答； 根据数轴上 |x+3|+|x 4| 的几何意义，进行解答 分情况讨论计算即可得出结论【解答】解：（1）点 A、C 表示的两个数互为相反数，点 A、C之间的距 离是 6，点 C 表示

20、的数是 3，A 表示的数是 3 ，点 B 表示的数是 1 ，点 D 表示的数是 4；如图所示：（2）由数轴得：A、C两点间的距离 AC=6 ，B、D两点间距离 BD=4 （1）=5；故答案为： 6，5 ；（3 ）MN=|x y|故答案为： |x y| ；（4）式子|x 4| 表示点 P与有理数 4 所对应的点之间的距离： |x+1| 表 示点 P与有理数 1 所对应的点之间的距离； 在数轴上 |x+3|+|x 4| 的几何意义是：表示有理数 x 的点到 3 及到 4 的距离之和，所以当 3x4 时，它的最小值为 7 ； |x 4|+|x+1|=6 ，分三种情况：如图 1，当点 P 在 1 的左

21、边时，得： 1 x+4 x=6 ，x= 1.5 ， 如图 2，当点 P在1 和4 之间时，|x 4|+|x+1|=5 ，不符合题意， 如图 3，当点 P在 4的右边时， x 4+x+1=6 ，x=4.5 ， x= 1.5 或 4.5 ，即点 P表示的有理数是 1.5 或 4.5 ；故答案为： 4，1 ；7； 1.5或 4.5 【点评】 此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，要熟练掌握9 如图所示，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B ，再向右移 动 5 个单位长度到达点 C 点（1 ）求动点 A 所走过的路程及 A、C 之间的距离（2 ）若 C

22、 表示的数为 1，则点 A 表示的数为 2 【分析】（1）根据题意列出算式 2+5 ，求出即可得出动点 A 所走过的路程， 求出 5 2 即可得出 A、C 之间的距离； （2）设点 A 表示的数十 x ，根据题意得出算式 x+ （2）+（+5）=1，求 出 x 即可【解答】 解：（1 ）动点 A 所走过的路程 2+5=7 ，A、C 之间的距离是 AC=5 2=3 ；（ 2）设点 A 表示的数十 x，则 x+ （2）+（+5 ）=1 ，x=2，故答案为： 2 【点评】 本题考查了数轴和有理数的运算，关键是能根据题意列出算式，题 目比较好，但是一道比较容易出错的题目10 从图中最小的数开始，由小到

23、大依次用线段连接各数，看看你画出了什 么？【分析】 根据负数比较大小，绝对值大的反而小，求出两负数的大小，根据 正数都大于 0，负数都小于 0 比较即可【解答】解：如图所示【点评】 本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较等知识点的应用， 求出 | 4.5|= 4.5，+（1）=1，（5）=5，|10|=10 ，| 6|=6 ， | 3|=3 11 已知有理数 a，b ，c，d，e，且 a、b 互为倒数， c、d 互为相反数， e 的绝对值为 2 ，求式子的值【分析】 利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出 ab ，c+d 以及 e 的值， 代入原式计算即可得到结果【解答】 解：根据题意得：

24、 ab=1 ，c+d=0 ，e=±2 ，原式 = ×1+0+4=4 【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，以及绝对 值的定义是解本题的关键12若（a2）2+|b+3|=0 ，求（ a+b ）2009 的值【分析】 根据非负数的性质分别求出 a、b，根据乘方法则计算即可【解答】解：由题意得， a2=0，b+3=0 ，解得， a=2 ，b= 3，则（a+b ）2009=1点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为 0 时，则 其中的每一项都必须等于 0 是解题的关键13 计算： 8+（10）+（2）（ 5） 235+（3） 81÷（

25、2）×÷（ 16） 14×3（3）2 （ +）×（ 36）； 199 ×（ 5）（用简便方法计算）【分析】 首先根据有理数减法法则，把算式进行化简，然后应用加法交换律和结合律，即可得出结论；根据加法结合律将同分母的分数相加，即可得出结论； 先确定符号，再根据有理数混合运算的运算顺序进行计算即可得出结论； 原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算可得出结论； 利用乘法的分配律进行计算可得出结论； 先将带分数化为 200 ，利用乘法的分配律进行计算即可得出结论【解答】解： 8+（ 10 ）+（2）（ 5），=8102+5 ，=（8+5 ）

26、+（102），=13 12 ，=1；235+（3），=（23）（3+5 ），=19，=10； 81 ÷（ 2 ）×÷（ 16），=81 ×××，=1； 1 4× 3 （ 3 ）2，=1×（ 39），=1×（ 6），=0； （ +）×（ 36）；=× 36+ ×36 ×36 ，=18+20 21 ，=19； 199 ×（ 5）（用简便方法计算）=（200 ）×（ 5 ），=200 ×（ 5）+5×，= 1000+ ，= 999.

27、8 【点评】 本题考查了有理数的混合运算，牢记有理数混合运算的运算法则是 解题的关键14 请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：=1 ， = ， = ，第四个等式为 = ，第 n 个等式为 = ；根据你发现的规律计算： 【分析】 先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可 求出第四、第 n 个式子的表达式； 把所给式子相加，找出规律即可进行计算【解答】 解：第一个式子为： =1，第二个式子为： =，第三个式子为： =，第四个等式为： =，第 n 个等式为： =故答案为： =， =；第二、第三个式子相加 =+ =，+ +=+ =【点评】 本题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律

28、的题目，要求学生 通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练 掌握分数的拆分计算15 计算题（1）5（2）17 8÷（ 2）+4×（ 3）（3）（4）（5）（6 ）25 × 【分析】（1）先化简，再计算加减法可得；2）先计算乘除，再算加减可得；（3）运用乘法分配律计算可得；（4）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法可得（5 ）第一组括号里利用乘法分配律计算，第二组括号里是1 的奇次方，得1，并根据绝对值和乘方进行第三组式子进行计算可得； （6）运用乘法分配律的逆运算计算可得【解答】 解：（1）5，=（5+4 ）+（5），=10

29、6 ，=4；（2）17 8÷（ 2 ）+4 ×（ 3），=17+4 12 ，=21 12 ，=9；（3），=60 ×+60 × 60 × 60 ×，=45+50 44 35 ，=16 ；（4），=9÷，=×（ 24 ）+×（ 24 ）2.75 ×（24）123，=32 3+66 18，=22；（6 ）25 ×，=25 ×+25 × 25 ×，=25 ×（），=25 ×1 ，=25 【点评】 此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到 右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算16 计 算 求 值 ： （ 1 ） 2015 ×【分析】 先计算小括号里，再计算中括号，最后计算大括号，先算乘方，再 算乘除，最后算加减【解答】解：（ 1 ）2015