信息光学chap1线性系统分析1

1、第一章第一章 线性系统分析线性系统分析n 信息处理系统信息处理系统 线性系统线性系统 非线性系统非线性系统 除一些特例外没有统一的理论描述除一些特例外没有统一的理论描述可以用可以用ftft分析方法来描述分析方法来描述n 物理上，实际应用中，大多数系统不是严格物理上，实际应用中，大多数系统不是严格的线性系统，但在某些条件或一定近似下可以的线性系统，但在某些条件或一定近似下可以作为线性系统来处理。作为线性系统来处理。n 许多光学系统就是如此。许多光学系统就是如此。1.1.1 矩形函数（矩形函数（rectangular function）定义定义其它,)(021100axxaxxrect的矩形。，高

2、度为为中心，宽度为表示以10ax。为偶函数。时，形式为；当)(xrectax100二维形式：二维形式：00rect()rect()xxyyab当当x为空间变量时，在光学中常用矩形函数的一维表为空间变量时，在光学中常用矩形函数的一维表示一维透光缝；二维表示矩形透光孔。示一维透光缝；二维表示矩形透光孔。其中其中a, b0当当x为时间变量时，可表示一个时间方波，如：为时间变量时，可表示一个时间方波，如： 电路中的开关（闸门）作用；电路中的开关（闸门）作用； 相机的快门；相机的快门；1.1.2 sinc 函数函数定义定义：000sin()/sinc()()/xxxxbbxxb式中式中 b0当当x0=0

3、，b=1时，上式变为时，上式变为:sinsinc( )xxx当当x=x0时处有最大值时处有最大值1，第一个正负零之间的宽度为主瓣，第一个正负零之间的宽度为主瓣宽度为宽度为2b.二维形式：二维形式：其中其中a, b0)(sin)(sinbycaxc描述狭缝或矩形孔的夫琅禾费衍射图样。描述狭缝或矩形孔的夫琅禾费衍射图样。1.1.4 符号函数10sgn( )0010 xxxx定义：高斯函数2)(axexf性质：adxeax20212adxeax0212dxex 光学意义：光学上梳状函数表示点光源的阵列，或者光学上梳状函数表示点光源的阵列，或者 小孔阵列的透过率函数小孔阵列的透过率函数1.3 二维傅里

4、叶变换二维傅里叶变换1.3.1 傅里叶级数一个周期函数f(t)，周期 ，满足狄里赫利条件，即函数在一个周期内有有限个极值点和第一类间断点，则f(t)可展开成三角函数1）（）1 . 3 . 12sin2cos(2)(10tnbtnaatfnnn系数为：00)(2dttfa02cos)(2tdtntfan02sin)(2tdtntfbn1.3.2 傅里叶变换傅里叶变换1.直角坐标系内的二维傅里叶变换直角坐标系内的二维傅里叶变换非周期函数非周期函数f(x,y)在整个无限在整个无限xy平面上满足狄里赫利条件平面上满足狄里赫利条件,且且( , )f x y dxdy 存在，则有二元函数存在，则有二元函数

5、f(x,y)的傅里叶变换：的傅里叶变换：-( , )( , )exp j2 ()ff x yxy dxdy f(x,y)可以是实函数或是复函数可以是实函数或是复函数.f(,)称频谱函数。逆变换称频谱函数。逆变换:-( , )( , )expj2 ()f x yfxy d d 上述公式将非周期函数分解为连续频率的频谱函数的积分。上述公式将非周期函数分解为连续频率的频谱函数的积分。 f(,)表示各连续频率成分的权重因子表示各连续频率成分的权重因子2 存在条件存在条件傅里叶变换要求函数傅里叶变换要求函数f(x,y)满足满足1、绝对可积条件、绝对可积条件 dxxf)(2、在任意的有限间隔中只有有限个不

6、连续点；、在任意的有限间隔中只有有限个不连续点；3、没有无限大的间断点。、没有无限大的间断点。 实际上，只要实际上，只要f(x)准确地描述一个实际的物理量，准确地描述一个实际的物理量，则以上条件自动满足。对于一个实际的物理系统，物则以上条件自动满足。对于一个实际的物理系统，物理量的傅里叶变换总是存在的。理量的傅里叶变换总是存在的。 对于一些理想化的函数，如余弦函数、阶跃函数、对于一些理想化的函数，如余弦函数、阶跃函数、常数、常数、函数不存在经典意义下的傅里叶变换，但存在函数不存在经典意义下的傅里叶变换，但存在广义的傅里叶变换。广义的傅里叶变换。3、极坐标系内的二维傅里叶变换、极坐标系内的二维傅

7、里叶变换（1）定义式）定义式设设xy平面上的极坐标为平面上的极坐标为r,；平面上的极坐标为平面上的极坐标为, ,有有以下关系以下关系sin,cossin,cosryrx-( , )( , )exp j2 ()ff x yxy dxdy 代入直角坐标下的定义式得：代入直角坐标下的定义式得： 020)cos(2exp)sin,cos()sin,cos(rdrdrjrrff令)sin,cos(),(fg)sin,cos(),(rrfrg当当 具有圆对称性时有具有圆对称性时有),(rg)(),(rgrgdrdrjrrgg020)cos(2exp)(),(利用贝赛尔函数关系：利用贝赛尔函数关系：)(2)

8、cos(exp020ajdja1.4 卷积与相关卷积与相关 是两种运算关系（或过程）；都是含参变量的无穷是两种运算关系（或过程）；都是含参变量的无穷积分，与积分，与ft、线性系统密切相关。、线性系统密切相关。 都是两个函数通过某种运算得到另外一函数。都是两个函数通过某种运算得到另外一函数。n 其中一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）其中一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）n 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用特点）一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用特点）n 另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到的结果。另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到的结果。n “

9、某种运算某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入函数作：就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述。用的数学描述。 卷积运算：卷积运算： 用来表示一个观测系统或一个观测仪器对用来表示一个观测系统或一个观测仪器对输入信号的作用过程。输入信号的作用过程。 相关运算：相关运算：常用于比较两个函数的关联性，相似程度，常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测。用于信号检测。1.4.1 卷积卷积1.定义定义dxhfxhxfxg)()()(*)()( ddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(*),(),(二维卷积定义二维卷积定义2.一维实函数卷积的几何说明一维实函数卷积的几何说明图中在

10、图中在y轴处表示的是函数轴处表示的是函数g(t)的的图形图形(三角状的实线三角状的实线)，并假定，并假定g(t)的定义域是有限的，而且极大值的定义域是有限的，而且极大值等于等于1。g(-t)的图形是以的图形是以y轴为转轴为转轴，把轴，把g(t)的图形左右翻转，如的图形左右翻转，如图中虚线所示图中虚线所示； g(x-t)就是把就是把g(-t)的图形沿的图形沿x轴平移了轴平移了x的位移的位移.再假定再假定h(t)是一直线，则是一直线，则g(x-t)与与h(t)的乘积成为二次曲线，左半部的乘积成为二次曲线，左半部分凹向上，有半部分凹向下，如图中的实线所示。卷积的几何意分凹向上，有半部分凹向下，如图中

11、的实线所示。卷积的几何意义是义是g(x)图形先左右翻转，平移图形先左右翻转，平移x，再与再与h(x)相乘，然后在相乘，然后在( ， )区间上的积分面积。而这一面积值是位移量区间上的积分面积。而这一面积值是位移量x的函数。的函数。卷积运算的两个效应卷积运算的两个效应（1）展宽效应）展宽效应 假如函数只在一个有限区间内不为零，假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积函数的这个区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和。宽度等于被卷函数宽度之和。 (2)平滑效应平滑效应 被卷函数经过卷积运算，其细微结构在被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定

12、程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。在数学上有关卷积的一条定理说，在某些相当普滑。在数学上有关卷积的一条定理说，在某些相当普遍的条件下，遍的条件下，n个函数的卷积，当个函数的卷积，当n时时(在实用上在实用上n10也就可以了也就可以了)，趋于高斯函数形式，趋于高斯函数形式5.卷积运算举例卷积运算举例两矩形函数卷积两矩形函数卷积0 xa2/2/)1 ()(*)(axaaxaxadaxrectaxrectax 02/2/)1 ()(*)(aaxaxaxadaxrectaxrect合并写成其它0,1)(*)(axaxaaxrectaxrect)(axa故)()(*)(xxrectxrect1.4.2 互相关互相关1.互相关的定义互相关的定义一维实函数一维实函数)()()()(xfdagxfxr)(xg或或)()()()(xfdaxgfxr)(xg3.性质性质（1）),(),(yxryxrfgfg互相关运算不具有交换性，而有*( , )(,)g ffgrx yrxy当f和g皆为实数时，( , )(,)g ffgrx yrxy（2）2( , )(0,0)(0,0)fgffggr