第三节函数的极限

1、.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第三节第三节 函数的极限函数的极限问题问题: :函数函数)(xfy 在在 x的的过程中过程中, 对对应函数值应函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 a. ;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .xxx的过程的过程表示表示 . 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义 1 1 如果对于任意给定

2、的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在着正数总存在着正数x, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式xx 的的一切一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 axf)(, , 那末常数那末常数a就叫函数就叫函数)(xf当当x时的极限时的极限, ,记作记作 )()()( xaxfaxflimx当当或或 :. 1 定义定义定定义义x .axf,xx,x, )(00恒恒有有时时使使当当 axflimx)(:x.情形情形 02.axf,x|x|,x, )(00恒恒有有时时使使当当:x.情形情形01axfx )(lim.a)x(f,xx,

3、x, 恒有恒有时时使当使当00axflimx )(2.另两种情形另两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3.几何解释几何解释: x x.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxxaaxflimx )(xxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 , , 0 ,1 x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是

4、函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.xx程度程度接近接近体现体现0 .xxxx的过程的过程表示表示00 0 :. 1 定义定义定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有时时使当使当2.几何解释几何解释:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的

5、带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,就就有有无无穷穷多多个个后后找找到到一一个个显显然然 例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明cccxx 证证axf )(cc ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0ccxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxaxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(

6、xxaxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxaxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 证证0)(xxaxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,

7、. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:0

8、00axfxfaxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x例例7. 4lim22 xx证明证明证证4)(2 xaxf, 0 任给任给,5 取取,00时时当当 xx4)(2 xaxf有有,成立成立 4lim22 xx,22 xx, 31 x限制限制,2522 xxx 4)(2xaxf要使要使,25 x只需只需三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性定理定理 若当若当0 xx 时时)(

9、xf有极限有极限, ,则存在则存在0 x的一个邻域的一个邻域)(00 xu, ,在此在此邻邻域域内内)(xf有界有界. . 2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.xfxf,xux,aa,axflimxx)0)(0)()(0),0(0)(000 或或时时当当则则或或且且若若 定理定理).0(0,)(lim),0)(0)(,),(, 0000 aaaxfxfxfxuxxx或或则则且且或或时时当当若若 推论推论3.保号性保号性4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理).)(lim ,lim,)(lim000axfxxxxaxfnn

10、nnnxx 则有则有且且数列数列若若定理定理例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnnxy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小结四、小结;)(limanfn ;)(limaxfx

11、 ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx 思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，

12、必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2；

13、2 2、397. .四四、不不存存在在. .练习题答案练习题答案.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷