北师大版平面向量的坐标运算

1、4 4 平面向量的坐标平面向量的坐标 我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。探索探索1:以以o为起点，为起点，p为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？opxya调用几何画板4321-1-2-3-2246ij），（ 23p32(3,

2、2)opij o调用几何画板3i2 j4321-1-2-3-2246ij），（yxp( , )opxiy jx y 向量的坐标表示o向量向量 p（x ，y）一一 一一 对对 应应op 调用几何画板xiy j在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点o的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:oxya调用几何画板在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点o的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:aoxyaa可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点o处处.

3、解决方案:调用几何画板在平面直角坐标系内，我们分别取与在平面直角坐标系内，我们分别取与x轴、轴、y轴方轴方向相同的单位向量向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得使得 a=x i+y j.定义：定义：2 、把把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标表示向量的坐标表示.4、其中其中 x、 y 叫做叫做 a 在在x 、y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（

4、0，1）1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.3、 a=x i+y j =( x , y)调用几何画板0思考思考1 1：什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？来？向量的起点为原点时向量的起点为原点时. .一一对应一一对应y yx x在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .解：解：练一练练一练：. . .-1-11 11 12 2思考思考2 2：相等向量的坐标有什么关系？相等向量的坐标有什么关系？提示：提示：相等相等, ,与起点的位与起点的位置无关置无关. .1 1a ab b1 1x xy ya a1

5、 1b b1 1(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) ). . .(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标. .(2)(2)当向量的起点在原点时，向量终点的当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标坐标即为向量的坐标. .(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .说明：说明： 21212211),(),(yyxxbayxbyxa则则若若思考思考3 3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量全体有序实数对与坐标平面内的所有向量是否一一对应？是否一一对应？ 因此因此, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,点或向量都可以看

6、作点或向量都可以看作有序实数对的直观形象有序实数对的直观形象. .4 3,60 ,xoa 例已知o是坐标原点，点a在第一象限oa求向量oa的坐标。调用几何画板oxya)6 ,32( oa平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探索：探索： （1）已知）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求求a + b , a b .（2）已知）已知a =(x1 , y1)和实数和实数 ， 求求 a的坐标的坐标 .如何计算？如何计算？ 调用几何画板平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算

7、1.已知已知a ， b ，求，求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 两个向量和（差）的坐标分别等于两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）这两个向量相应坐标的和（差）3 、已知、已知 求求),(),(2211yxbyxa，ab),(11yxa),(22yxbxyo解：解：oaobab ),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量

8、的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的的终点终点的坐标减去的坐标减去起点起点的坐标的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标原来的向量的相应坐标),(yx a2、),()(yxjyixjyixa (2,1),( 3,4),34abab abab 练习，已知求的坐标。(2,1)( 3,4)15(2,1)( 3,4)53343(2,1)4( 3,4)619ababab 解：（， ）（ ， ）（，）平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示01221yxyx）（，使使得得存存在在唯唯一一的的实实数数共共线线与与非非零零向向量量向向量量0 aabab ),(),(2211yxbyxa 设设ab 由由),(),(1122yxyx 1212yyxx