C52定积分在几何上的应用2

1、第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一、定积分求平面图形的面积一、定积分求平面图形的面积 二、定积分求体积二、定积分求体积 三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 四、小结四、小结曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfa)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfa)()(12一、定积分求平面图形的面积一、定积分求平面图形的面积xyo)(xfy abxxx xyo)(1xfy )(2xfy abxx 1.1.直角坐标系情形直角坐标系情形例例1 1 计算两条抛物线计算两条抛物线22,yx yx在第一象限在第一象限所围所围图形的面积所围所围图形的面积 . . xxy 2

2、oy2xy xxxd解解 由由2yx 2yx 得交点得交点(0,0),(1,1).) 1 , 1 (1 2ddaxxx 3223x 13013x 1.3 11200ddaaxxx 以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxda)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxda)6(322 2xy xxy63 于是所求面积

3、于是所求面积21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？xxxy22oy4 xy例例3 3 计算抛物线计算抛物线22yx 与直线与直线解解22yx 4yx得交点得交点(2,2),(8,4). )4,8(18. 4yx所围图形的面积所围图形的面积 . . )2,2( 212y 4y 34216y 为简便计算为简便计算, ,选取选取y积分变量积分变量, ,积分积分区间为区间为- -,4,yyyd4421222(4)adayydy212d(4-

4、)dayyy 由由abxoyx例例4 4 求椭圆求椭圆22221xyab解解: : 利用对称性利用对称性 , , dday x 所围图形的面积所围图形的面积 . . 有有04daayx 利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程cos(02 )sinxattybt 应用定积分换元法得应用定积分换元法得204a sinbt (sin )datt 2204sindabt t 4ab 12 2 .ab 当当a = b时得圆面积公式时得圆面积公式. .xxdoyxababoyx一般地一般地 , , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 ( )( )xtyt 给出时给出时, ,则曲边梯形面积则

5、曲边梯形面积1()txa1()txb21( )( )d .ttattt 练习练习 求由摆线求由摆线(0)a 的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 . .解解2220(1cos ) datt 22404sind2tat ()2tu 令令2408sindau u 224016sindau u 216a 3412 2 23.a 20(1cos )(1cos )daatatt xyoa2(sin ),(1cos )xa ttyat*极坐标系情形极坐标系情形( ),( )0 , 在在上上连连续续 且且, 围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 . .)(r x d在区间在区间

6、上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 21d( )d2a 所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为21 ( ) d .2a 及射线及射线r , ,d ( )rr 求由曲线求由曲线对应对应 从从 0例例5 5 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解(0)raa xa 2o d2201() d2aa 2230123a 324.3a 变到变到 2 所围图形面积所围图形面积 . . 例例6 6 计算心形线计算心形线所围所围图形的面积图形的面积 . . (1cos ) (0)raa 22408cos dat t 解解xa2o d221(1co

7、s ) d2a 02a 20a 44cosd2 ( (利用对称性利用对称性) )2t 令令28a3 14 22 23.2a da 2coscos21)2cos1 (21aa2oxy22212(1cos ) d2a 练习练习 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积所围图形的面积 . . 解解 利用对称性利用对称性 , ,(1cos ) (0)raa 212aa 22212aa 31(2coscos2 )d22所求面积所求面积2213(2)24aa2252.4aa ra 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立

8、体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、定积分求体积二、定积分求体积 , ,xa b 2d ( ) d ,xvf xx 旋转体的体积为旋转体的体积为2( ) d .baxvf xx xyoabxyoab)(xfy x2 ( ) d .dycvyy xoy( )xy cdy2d ( ) d ,yvyy 体积元素为体积元素为立体体积为立体体积为y解解pxhry , 0hx xo直线直线 方程为方程为oprh2ddrvxxh dxxhrvh20 hxhr03223 yrhpxo21.3r h ayxb例例8 8 计算由椭圆计算由椭圆22221xyab所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋

9、转而成的椭球体的体积成的椭球体的体积. . 解法一解法一 利用直角坐标方程利用直角坐标方程22()byaxaxaa 则则222202()dabaxxa ( (利用对称性利用对称性) )2232123ba xxa 0a24.3ab o202davyx x解法二解法二 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程cos ,sin .xatybt 则则202davyx 02322sindabtt 22213ab 24.3ab 特别当特别当 b = a 时时, , 就得半径为就得半径为a 的球体的的球体的体积为体积为34.3a 23202sindabtt 例例9 9 计算两条抛物线计算两条抛物线2212,yx y

10、x在第一象限在第一象限所围所围图形绕所围所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积 . . xxy 2oyxxxd解解 由由2yx 2yx 得交点得交点(0,0),(1,1).1以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,410()dxxxvx 体积元素为体积元素为: :2212d()dxvyyx 4()dxxx 所求体积为所求体积为: :113().2510练习练习: :求由曲线求由曲线 点点(0,1)的图形绕的图形绕x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 222xy与与 2yx围成围成(包含包含解解2222,xyyx 如图所示，如图所示，得交点得交点

11、(1,1)(1,1)及及(-1,1) . (-1,1) . 2y x22yx 2212ddxvyyx 12402(2)dxvxxx 以以x为为积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为 0,1,44.15 112 (2)35 体积元素体积元素: :解方程组解方程组x1122121211ddvvvyxyx 1124112ddxxxx44.15 注注: :该旋转体的体积该旋转体的体积v 还还可以看作以可以看作以x 轴上的区间轴上的区间 22yx 2yx -1,1-1,1为底边，分别以底边上的圆弧为底边，分别以底边上的圆弧 抛物线弧抛物线弧 为曲边的两个曲边梯形绕为曲边的两个曲边梯形绕 x 轴轴旋转而

12、成的两个旋转体体积的差，即旋转而成的两个旋转体体积的差，即 12401122d2 (2)35xxx 解解220( )daxvyxx 2220(1cos )(1cos )datatt 23230(13cos3coscos)datttt 235.a a 2a )(xy2220( )dayvxyy 1220( )daxyy oyx2 a 2a2( )xxy 1( )xx y 222(sin )sin dattatt 220(sin )sin dattatt 2320(sin ) sin datttt .633a abc平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积( ) , a xa b在

13、在则对应于小区间则对应于小区间 ,d x xx 的体积元素为的体积元素为d( )dva xx 因此所求立体体积为因此所求立体体积为( )d .bava xx xabxxxd)(xa上连续上连续, , 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于垂直于x 轴的各个截面面积轴的各个截面面积a (x)，那么，这个立体，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算的体积也可用定积分来计算. .设设解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222ryx 截面面积截面面积221( )()tan ,2a xrx 立体体积立体体积221()tand2rrvrxx .t

14、an323 r orxyxrorxy思考思考: : 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ? ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ? ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ? ?),(yx( )a y 提示:2tanx y 222tany ry 2202tandrvy ryy .tan323 r yr例例 1 11 1 求求以以半半径径为为r的的圆圆为为底底、 平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222ryx xyorx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为

15、等等腰腰三三角角形形 截面面积截面面积22)(xrhyhxa 立体体积立体体积dxxrhvrr 22.212hr 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长定义定义: : 若在弧若在弧0m1imimnmabyox当折线段的当折线段的最大边长最大边长 0 0 时时, ,折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 , ,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的. .1iimm 定理定理: : 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的. .( (证明略证明略) )1ni 0lims 上任意作内接折线上任意作内接折线, ,abab的弧

16、长的弧长, , sdyxabo(1) (1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出: :( )()yf xaxb)(xfy 弧长元素弧长元素( (弧微分弧微分) :) :xxxd21dyx 因此所求弧长因此所求弧长21dbasyx 21( )d .bafxx 22d(d )(d )sxy(2) (2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出: :( )()( )xttyt 弧长元素弧长元素( (弧微分弧微分) :) :因此所求弧长因此所求弧长: :22( )( ) d .sttt 22( )( )d ,ttt22d(d )(d )sxy(3) (3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧

17、由极坐标方程给出: :( )()rr ( )cos ,( )sin ,xryr 令令因此所求弧长因此所求弧长: :22( )( ) d .srr 22( )( ) dxy 22( )( )d ,rr 则得则得ds 弧长元素弧长元素( (弧微分弧微分) :) :(自己验证)例例1212 求连续曲线段求连续曲线段2cos dxytt 解解cos0,x 22x 2221dsyx 的弧长的弧长. .22021( cos) dxx 2022cosd2xx 22 2 2sin20 x 4. 例例1313 计算摆线计算摆线(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 一拱一拱(02 )t 的弧长的弧

18、长 . .解解22ddd()() dddxysttt 2222(1cos )sindatatt2(1cos )datt2 sind2tat 202 sind2tsat 22cos2ta028 . a xyoa2222daa 例例1414 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于一段的弧长一段的弧长 . . 解解(0)raa xa2oar 22( )( )ddsrr 21da2201dsa 212a21ln12 022214ln(214).2aa0 2 内容小结1.1.平面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程21( )( )dtta

19、ttt 21( )d2a 2.2.旋转体的体积旋转体的体积2 ( ) d ;bxavf xx 2 ( ) d .dycvyy ( )( )d .dcayyy ( )( )d .baaf xg xx 3. 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积22d( )( )d ,sttt( )dbava xx 旋转体的体积旋转体的体积2( ) ( )a xf x 4. 4. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程方程极坐标方程22d(d )(d )sxy弧微分弧微分: :22d( )( )d .srr 直角坐标方程注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小2d1d

20、,syx 思考思考: : 试用定积分求圆试用定积分求圆222()()xy brr b oxy上上rr半圆方程为22ybrx下下 22222022drbrxbrxvx 222.r b 解解利用对称性利用对称性求体积求体积 : :绕绕 x 轴旋转而成的环体体积轴旋转而成的环体体积 v.bx体积元素为体积元素为: : 222222dbrxbrxx 22024drbrxx 思考题思考题1 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行

21、线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.思考题思考题1解答解答1s2sxyo)(xfy ),(yx122ss xdxxfs02)( xdxxfxysxys021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所

22、以所求曲线为.223xy 思考题思考题2 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.思考题思考题2解答解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxvy 12dyy 1216 116y.16 1 y一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的

23、面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题题 一一6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积s，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaa，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积s最最小小 . . 二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 、 、xy1 与直线与直线xy 及及2 x。 2 2 y2x与直线与直线xy 及及xy2 。 3 3