定积分的概念和基本性质

1、1 4.3.1 定积分的定义定积分的定义4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质2 例例: 求曲线求曲线 y= =x2、直线、直线 x= =1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积。x yoy= =x21s4.3.1 引出定积分定义的例题引出定积分定义的例题3sx yoy= =x212n1n1nn.1inin21()in (4)(4)取极限取极限 取取sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn=直线把曲边三角形分成 个小曲边梯形。0,1

2、n将区间分成 个相等的小区间。121.innssssss= (2)(2)近似近似i第 个小曲边梯形面积:211s()(1,2,., )iiinnn=22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面积的总和：(3)(3)求和求和nss4sx yoy= =x212n1n1nn.1inin2( )in (4)(4)取极限取极限 取取sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ixinnn=直线把曲边三角形分成 个

3、小曲边梯形。(1)(1)分割分割0,1n将区间分成 个相等的小区间。121.innssssss= 21()ini第 个小曲边梯形面积:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面积的总和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=(3)(3)求和求和5sx yoy= =x212n1n1nn.1inin ( (4)4)取极限取极限 取取sn的极限，得曲边三角形面积：的极限，得曲边三角形面积： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ix

4、innn=直线把曲边三角形分成 个小曲边梯形。(1)(1)分割分割0,1n将区间分成 个相等的小区间。121.innssssss= i第 个小曲边梯形面积:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面积的总和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn= (3)(3)求和求和6分分 割割求求 和和近近 似似取极限取极限把整体的问题分成局部的问题把整体的问题分成局部的问题在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体的一个近

5、似值；得到整体量的精确值；得到整体量的精确值； 例例: 求曲线求曲线 y= =x2、直线、直线 x= =1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积。7 一般地，求由连续曲线一般地，求由连续曲线y= =f(x)(f(x) 0)，直线，直线x= =a、x= =b及及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： (1,2,.,1)(1)ixx inn=用直线把曲边梯形分割为个小曲边梯形。1(1,2,., )iiixxxin=每个小曲边梯形的底的宽度记为 。1( ),2iiiixxi在第 个小区间上任取一点,用第 个小矩形的面积近似替代()iiiiafx第

6、 个小曲边梯形的面积：s =ni 1f(i)xi。 (3) 将全部小矩形面积求和后作为s曲边梯形面积的近似值。即有12,(4,)nmaxxxx记 =,为得到曲边梯形面积可取极限：01lim( )niiisfx=y=f(x)bx yoaxi-1xi1x2x.1nx=x0 xn=i( )if(1,2, )in=8例例2设物体沿直线作变速运动，速度为设物体沿直线作变速运动，速度为 v = =v (t), 假定假定v (t)是是 t 的连续的连续函数，求此物体在时间区间函数，求此物体在时间区间 a, b 内运动所走距离内运动所走距离 s 。totn=t0t1ti1 titn1 abti引出定义的实例二

7、引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程：求物体作变速直线运动所经过的路程 解：解：.01lim()niiisvtt= (2) 在第在第 i ( i= =1, 2, , n) 个时间段个时间段 ti 1, ti上任取一时刻上任取一时刻 t ti，用，用v(t ti) ti近似替代物体在第近似替代物体在第i个个时间段所走距离时间段所走距离: si v(t ti) ti 。(1) 用分点用分点 t= =ti (ti 10, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：21112=dxxbaabbfdxxfabaf)()()(20 性质性质1 1：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质有限

8、个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有=bababanbandxxfdxxfdxxfdxxfxfxf)()()()()()(212121 性质性质2 2：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足=babadxxfdxxcf)()(22 性质性质3 3：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)在a, b内可积，

9、若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(23 性质性质4 4：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则=abbadxxfdxxf)()(0)()()(=aaaaaadxxfdxxfdxxf24 性质性质5 5：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有babadxxgdxxf)()(25 性质性质6 6：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质abdxdxbaba=126 性质性质7 7：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为m和m，则推论：若函数f(x)在a, b上可积，则baabmdxxfabm)()()(bababadxxfdxxfdxxf)()()(27 性质性质8 8：定积分中值定理：定积分中值定理4.3.2 定积分的基本性质定