导数的几何意义wn可用001

1、1高二级部北师大版选修2-2 第二章 变化率与导数 2导数的概念及其几何意义2.2 导数的几何意义2预习提纲：预习提纲：（一）复习：（一）复习：回顾我们上次学习过的回顾我们上次学习过的“平均变化率平均变化率”、“瞬瞬时变化率时变化率”和和“导数导数”的概念，体会他们之间的内在的概念，体会他们之间的内在联系，并思考平均变化率的表达式是我们以前学习过联系，并思考平均变化率的表达式是我们以前学习过的直线斜率吗？的直线斜率吗？（二）、预习课本（二）、预习课本p34-p37，并讨论一下几个问题：，并讨论一下几个问题：1、体会曲线上某一点处的切线的形成过程；、体会曲线上某一点处的切线的形成过程；2、导数的

2、几何意义是什么？、导数的几何意义是什么？3、总结求在曲线上某一点处的切线方程的一般、总结求在曲线上某一点处的切线方程的一般步骤。步骤。3下面来我们一起讨论导数的几何意义: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如图如图,曲线曲线c是函数是函数y=f(x)的图象的图象,p(x0,y0)是曲线是曲线c上的上的任意一点任意一点,q(x0+x,y0+y)为为p邻近一点邻近一点,pq为为c的割线的割线,pm/x轴轴,qm/y轴轴,为为pq的的倾斜角倾斜角.tan,: xyymqxmp则则yx请问：是割线pq的什么?斜率!探究思考探究思考：当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点

3、p即即x0时时,割割线线pq会发生什么样的变化？会发生什么样的变化？4pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t下面我们一起来请看，当点下面我们一起来请看，当点q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点p接近时接近时,割线割线pq绕着点绕着点p逐渐转动的情况逐渐转动的情况.如图所示：如图所示：5 由此，由此，我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线割线pq有一个极限位置有一个极限位置pt.则我们把直线则我们把直线pt称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线pq的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲

4、线在点p处的处的切线的斜率切线的斜率.所以，函数所以，函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，处的导数的几何意义，就是曲线就是曲线 y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.6例例1:已知函数已知函数y=f(x)=x2，x0=2.（1）分别对）分别对x=2，1，0.5求求y=f(x)=x2在区间在区间x0，x+

5、x 上的平均变化率，并画出过点（上的平均变化率，并画出过点（x0，f（x0）的相）的相应的割线；应的割线；（2）求函数）求函数y=x2，在，在x0=2处的导数，并画出曲线处的导数，并画出曲线y=x2在在点（点（2，4）处的切线）处的切线.典例探究：71.过点过点p（1，2）且与）且与y=3x2-4x+2在点在点m（1，1）处的切线平行的直线方程是）处的切线平行的直线方程是_课堂练习：课堂练习：8例2 求函数 处的切线方程.12)(3xxxfy在9练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点p处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点p处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313px

6、y上上一一点点 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点p处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点p处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.10下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从

7、它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；）求函数的增量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。即：一差二商三极限。即：一差二商三极限。11（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线

8、方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。12作业作业:处的导数。处的导数。在在求函数求函数11. 1 xxy2.)(xfy )(xfy )(0 xf)(xfy 小结：小结：函数函数在在x x0 0处的导数，是曲线处的导数，是曲线在点（在点（x x0 0，）处的切线的斜率。）处的切线的斜率。在在x x0 0处切

9、线的斜率反映了导数的处切线的斜率反映了导数的函数函数几何意义。几何意义。五、教后反思：五、教后反思：13巩巩 固固 练练 习习1.过点过点p（1，2）且与）且与y=3x2-4x+2在点在点m（1，1）处）处的切线平行的直线方程是的切线平行的直线方程是_2.在曲线在曲线y=x3+3x2+6x10的切线斜率中斜率最小的切的切线斜率中斜率最小的切线方程是线方程是 _ .3.曲线曲线y=ln(2x1)上的点到直线上的点到直线2xy+3=0的最短距离的最短距离是是_ 4.过曲线过曲线c: y=x21（x0）上的点）上的点p作作c的切线与坐标的切线与坐标轴交于轴交于m、n两点，试求两点，试求p点坐标使点坐

10、标使omn面积最小面积最小思考：思考：已知曲线已知曲线c：y=x33x2+2x，直线，直线l：y=kx，且，且直线直线l与曲线与曲线c相切于点相切于点(x0，y0)(x00)，求直线，求直线l的方程的方程及切点坐标及切点坐标y=2x+4y=3x11514基础自主演练：1.函数函数y=f(x)=3x+1在在x=1处的导数为处的导数为( )(a)1 (b)2 (c)3 (d)42.设曲线设曲线y=f(x)在某点处的导数值为在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的，则过曲线上该点的切线切线( )(a)垂直于垂直于x轴轴 (b)垂直于垂直于y轴轴(c)既不垂直于既不垂直于x轴也不垂直于轴也不垂直于y轴轴

11、 (d)方向不能确定方向不能确定3.设曲线设曲线y=f(x)在某点处的导数值为负，则过该点的曲线在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜角的切线的倾斜角( )(a)大于大于90(b)小于小于90(c)不超过不超过90(d)大于等于大于等于904.已知曲线已知曲线y=2x2上一点上一点a(2,8)，则点，则点a处的切线斜率为处的切线斜率为_.5.求抛物线求抛物线y=x2过点过点(1，1)的切线方程的切线方程.151.1.函数函数y=f(xy=f(x)=3x+1)=3x+1在在x=1x=1处的导数为处的导数为( )( )(a)1 (b)2 (c)3 (d)4(a)1 (b)2 (c)3 (

12、d)4【解析【解析】选选c. c. 故故f(1)f(1)3.3. f 1xf 13 1x1 3 1 1y3.x1x1x 基础自主演练解析：2.2.设曲线设曲线y=f(xy=f(x) )在某点处的导数值为在某点处的导数值为0 0，则过曲线上该点的切线，则过曲线上该点的切线( )( )(a)(a)垂直于垂直于x x轴轴 (b)(b)垂直于垂直于y y轴轴(c)(c)既不垂直于既不垂直于x x轴也不垂直于轴也不垂直于y y轴轴 (d)(d)方向不能确定方向不能确定【解析【解析】选选b.b.导数值为导数值为0 0即切线斜率为即切线斜率为0 0，所以过曲线上该点的切线垂，所以过曲线上该点的切线垂直于直于

13、y y轴轴. .163.3.设曲线设曲线y=f(xy=f(x) )在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜角角( )( )(a)(a)大于大于9090 (b) (b)小于小于9090(c)(c)不超过不超过9090 (d) (d)大于等于大于等于9090【解析【解析】选选a.a.导数值为负即切线斜率为负，所以切线的倾斜角为钝角导数值为负即切线斜率为负，所以切线的倾斜角为钝角. .4.4.已知曲线已知曲线y=2xy=2x2 2上一点上一点a(2,8)a(2,8)，则点，则点a a处的切线斜率为处的切线斜率为_【解析【解析】由题意点由题意点a a在曲线在曲线y=2xy=2x2 2上，上，因为因为y|y|x x=2=2=8,=8,点点a a处的切线斜率为处的切线斜率为k=8.k=8.答案：答案：8 822x0 x02 xx2xylimlim 4x2 x4x,x 175.5.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2过点过