定积分的换元法和分部积分法60463

1、15.3 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法，则则有有其其值值域域不不越越出出上上具具有有连连续续导导数数，且且（或或在在；满满足足条条件件：上上连连续续，函函数数在在区区间间设设函函数数定定理理, ),)( (2) )( ,)( )1( )(,)( 1batbatxbaxf 元公式元公式这个公式叫定积分的换这个公式叫定积分的换一一 定积分的换元法定积分的换元法dtttfdxxfba )()()(2在在。数数均均连连续续，故故定定积积分分存存由由条条件件，两两端端的的被被积积函函证证 而而)(tfdtd )()(ttf )()(ttf dtttf)()( )(tf )()(

2、ff )()(afbf 的的一一个个原原函函数数，且且是是)()()(ttftf badxxf)( dtttf)()()()()( )()()()( afbfdxxfxfxfxfxfba 故故的的一一个个原原函函数数，即即是是设设3 )0( 1 022 adxxaa计算计算例例4在应用换元公式计算定积分时在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题应注意以下几个问题:条条件件；必必须须满满足足定定理理中中的的两两个个所所选选择择的的代代换换式式)()1(tx ；限限上上限限换换上上限限，下下限限换换下下记记住住换换元元积积分分的的关关键键是是换换限限 )2(.)( )( )()()()()

3、3(然然后后相相减减即即可可上上、下下限限代代入入的的的的函函数数，而而只只须须直直接接将将还还原原成成求求不不定定积积分分那那样样把把后后，不不必必象象的的一一个个原原函函数数求求出出ttxttftttf 5:使用使用换元公式也可以反过来换元公式也可以反过来 babaxdxfdxxxf)()()( )( )(),( )()(badttfxt 6 edxxx1ln2 2计算计算例例7可这样解：可这样解：出新变量，如上例也出新变量，如上例也此种方法可以不明显写此种方法可以不明显写不不变变更更。，定定积积分分的的上上、下下限限就就注注：当当不不引引入入新新变变量量时时25)49(21)ln2(21

4、)ln2()ln2(ln2 1211 eeexxdxdxxx解解8 053.sinsin 3dxxx计算计算例例9 aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf0)( ,)(2)(2)( ,)(1 40上连续且为奇函数，则上连续且为奇函数，则在在）若）若（上连续且为偶函数，则上连续且为偶函数，则在在）若）若（证明证明例例注注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算定积分的计算.10例例5dxxxxdxxxxx 1122222427)11()2( 52cos)(arctan)1(计计算算解解：)1(. 0 原原式式被被积积函函

5、数数为为奇奇函函数数，则则)2( 1122)11(dxxxx 11211211dxxdxxx奇函数奇函数偶函数偶函数 10212dxx四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积2 11,)(sin2)(sin 2; .)(cos)(sin 1,0,1)( 6002020 dxxfdxxxfdxxfdxxfxf）（）（证明证明上连续上连续在在若若例例.cos1sin02 dxxxx并由此计算并由此计算12定积分的换元法小结定积分的换元法小结1. 基本换元规律与不定积分相同基本换元规律与不定积分相同.2. 定积分的换元法得到新变量的原函数后定积分的换元法得到新变量的原函数后,无须回代无须回代. 但必

6、须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限.13二二 定积分的分部积分法定积分的分部积分法)( ,)(),(uvvuuvbaxvxu 上具有连续导数，则有上具有连续导数，则有在区间在区间设设 bababadxuvvdxudxuv)( 于是于是 bababadxuvvdxuuv 即即 bababavduuvudv 所以所以或或 bababavdxuuvdxuv 分部积分公式分部积分公式这个公式就是定积分的这个公式就是定积分的14注注 用分部积分法计算定积分用分部积分法计算定积分, ,因没有引入新的变量因没有引入新的变量, , 故在计算过程中自始至终均不变限故在计算过程中自始至终均不变限, ,u 、

7、v的选择的选择 与不定积分的分部积分法相同与不定积分的分部积分法相同. .15 210arcsin 1xdx计算计算例例dxdvxdxduxvx u ,1,arcsin 2解解22102102101arcsinarcsinxdxxxxxdx 21022121621xdx )1()1(21122210212xdx 210212)1(12x 12312 16 10 2dxex计算计算例例，时，时，；当；当时，时，当当，且，且，则，则令令解解11002 txtxtdtdxtx于是 10101022ttxtdedttedxe 1010)(2dtetett2 210 tee换元法换元法分部积分法分部积分法17例例3 3 2010sin)2( arctan)1( xdxexdxxx计计算算解解：)1( 10arctan xdxx 102arctan21xdxarctan)arctan(21102102 xdxxx14211022dxxx 1121810210 dxxdx 10arctan21218x 214 18)2( 20sin xdxex 20cos xdex 2200coscos xdxexexx 20sin1 xdexsin)sin( 12200 xdxexexx 202sin1 xdxeex故故 20sin xdxex)1(212 e19例例4 4.)(11