[数学]材学弯矩剪力图

1、5-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图第五章第五章 梁的内力梁的内力5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例5-2 5-2 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）5-3 5-3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用构件构件 component, structural member 杆杆 bar 梁梁 beam拉压杆：承受轴向拉、压力拉压杆：承受轴向拉、压力扭扭 杆：承受扭矩杆：承受扭矩 梁：承受横向力梁：承受横向力为什么梁特别重要？为什么梁特别重要？ 地球

2、引力场方向地球引力场方向 + 人类需要空间人类需要空间 墙墙楼板楼板桥板桥板一、弯曲实例一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例火车的轮轴：火车的轮轴：ffff楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁梁。qpmarbn常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录平面弯曲平面弯

3、曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线目录静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）m 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力fq 均布力均布力llll（l称为梁的跨长）称为梁的跨长）fnfsm0 xf0n f 0yf1asfffy 0mcf)(1axfxfmay f fs s剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 m m 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内

4、力系的合力偶矩合力偶矩fbyfnfsmn5-2 剪力和弯矩及其方程3fayfayfnfsmfbyfnfsm 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。n5-2 剪力和弯矩及其方程fs(+)fs(+)fs()fs() 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负fayfnfsmfbyfnfsm 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。n5-2 剪力和弯矩及其方程 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负m(+)m(+)m()m()fnfnfqfq内力方向规定内力方

5、向规定解：解：1. 确定支反力确定支反力fayfby 0yffffbyay2 0amaffaafby233ffby35ffay2. 用截面法研究内力用截面法研究内力fayfseme 0yf352fffse 0em233522afmafe3ffse23famen5-2 剪力和弯矩及其方程例题例题5-15-1 求图示简支梁求图示简支梁e e 截面的内力截面的内力fayfbyfbyfayfsemeo3ffby35ffay分析右段得到：分析右段得到：fsemeo 0yf0byseff3fffbyse 0omfaafmbye2323famen5-2 剪力和弯矩及其方程fayfby3ffby35ffay

6、截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。n5-2 剪力和弯矩及其方程fsefay35ffse2ffsef23f 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负fayfby3ffby35ffay 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。n5-2 剪力和弯矩及其方程mefay2335afme22af fa232fme 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负计算任意截面的剪力和弯矩计算任意截面的剪力和弯矩法则法则横向力：载荷和约束反力横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力分布力和集中力方向

7、：左上右下为正，方向：左上右下为正， 反之为负反之为负外力：载荷和约束反力外力：载荷和约束反力 分布力、集中力和集中力偶分布力、集中力和集中力偶方向：左顺右逆为正，方向：左顺右逆为正， 反之为负反之为负任意截面的剪力一侧横向力代数值 任任意意截截面面的的弯弯矩矩一一侧侧外外力力对对截截面面形形心心之之矩矩代代数数值值三、剪力方程、弯矩方程三、剪力方程、弯矩方程： 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。)(ssxff 剪力方程剪力方程)(xmm 弯

8、矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力剪力图图和和弯矩图弯矩图。lqab,)(qxxfs,21)(2qxxm)0(lx )0(lx xsfx( (- -) )mxql25 . 0 qlf(x)xfffxfays)(解解：求支反力求支反力)( )(lxfmxfxmaay写出内力方程写出内力方程fl mffaay ; 根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。fab

9、)0(lx )0(lx faymalxxm(x)fl注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlffba2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxfxfa2s 2222qxqlxxqxxfxmaxfbfablaqql 2fs ql28l/2m 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,sqlf82

10、maxqlm 222qxqlxxm qxqlxf2sblaq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载f作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力lfbfalfafb2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出bfbfaxlaf abcac段段cb段段 lxalfafxfbs axlfbxf0s lxaxllfaxlfxmb)( axxlfbxm0faxam(x)fs(x)fbbfs(x)m(x)bfbfaxlaf abclfbfalfa

11、fb3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图xllfaxm)(2 lfbxfs1 xlfbxm1 lfaxfs2fs fblxfblmxfablbfbfaxlaf abcfs fblxfblmxfabl为极大值。为极大值。时，时，42/maxflmlba* 在 集中力f 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlaf abc例例 图示简支梁在图示简支梁在c点受矩为点受矩为me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lmfae lmfbe 0am0elfmame fa fbblacab2、 列剪力方

12、程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlmfxfa0es弯矩方程弯矩方程两段：两段：ac段：段：cb段：段： xlmxfxmae xllmmxfxmaeelxaax 0fa fbxafam(x)fs(x)xfbbfs(x)m(x)blacab lmfae lmfbe3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbmmemax lmxfes发生在发生在c截面右侧截面右侧fslxme lmxmealmeb* 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。blacab xlmxme xllmxmelxaax 0解解：1、支反力2、写

13、出内力方程),(2)(:1knfxfacays1kn/m2knabc d1m1m2mx1x3x2fayfby)( 2);( 20432121, 00212, 0knfknffmffybyayaybbyay 例例 画出梁的内力图。),.(2)(111mknxxfxmay, 0222)(:2aysfxfcd,21)(:333xxfxfbcbys),.(2) 1(2)(222mknxxfxmay,2221)(2333333xxxxxfxmby3、根据方程画内力图1kn/m2knabc dfayfbyxfs(x)x2kn2kn)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(

14、2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxmxxxfbcxxmxxfcdxxxmxxfacsss，2kn.m2kn.mm(x)5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1 1、支反力：、支反力：2qlffbyaylqfayfby2 2、内力方程、内力方程qxqlxfs21)()0(lx 22121)(qxqlxxm)0(lx 3 3、讨论如下、讨论如下qxqldxxdm21)(qdxxdfs)(x),(xfs)(xqsfmara对对dx 段进行平衡分析，有：段

15、进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xfxfxxqxfysss)(dd)(sxfxxqdxxq(x)m(x)+d m(x)fs(x)+dfs (x)fs(x)m(x)q(x)dxay xqxxfdds 剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 q(x)m(x)+d m(x)fs(x)m(x)dxay, 0)(iafm)(d)(dxfxxms 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxm0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxmxxfxmxmsfs(

16、x)+dfs (x) xqxxfdds)(d)(dxfxxms)(d)(d22xqxxmq、fs和和m三者三者的微分关系的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：22( )( )( )sdf xd m xq xdxdx1.1. q q0 0，f fs s= =常数，常数， 剪力图为直线剪力图为直线, ,弯弯矩图为斜直线。矩图为斜直线。2.q2.q常数，剪力图常数，剪力图为斜直线，弯矩为斜直线，弯矩图为抛物线。图为抛物线。3.3. 剪力剪力f fq q=0=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集中力偶）一侧中力偶）一侧q q图面积的代数和计

17、算。（左侧面积或图面积的代数和计算。（左侧面积或右侧面积的相反数）右侧面积的相反数）载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录q下雨下雨池塘池塘fs 图：图：m图：图：fs图：图：m图：图： 从左到右，向上集中力作用处，剪力图从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上向上突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。反之亦然。为尖点。反之亦然。 从左到右，顺时针集中力偶作用处，从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯弯矩图向矩图向m m正向突变，突变幅度为集中力偶的大正向突变，突变幅度为集中力偶的大小。小。剪力图剪力图在该点没有变化。反之亦

18、然。在该点没有变化。反之亦然。 4 4、集中力、集中力 5、集中力偶、集中力偶u 剪力图按横向力走向可直接画剪力图按横向力走向可直接画u 弯矩图的段端值可用剪力图面积计算弯矩图的段端值可用剪力图面积计算确定剪力、确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。 ddsmfx2211sddxxxxmf x2121sxxm xm xa fsddfqx2211ddxxsxxfq x 2121xssxfxfxa q载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系12xx区间)(xqp0mx从左向右从左向右从右向左从右向左 2112xssxfxfxa q2112sxxm xm x

19、a f利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值定值 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积包围的面积积分关系积分关系: :控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值利用积分关系定值 基本步骤： 1

20、、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）ab：bc：2、画内力图、画内力图fym223; 0qamfyabcsfxsfsf, ,0qaqafcs,qafas右右；, 0qq 0,；m,2qamb, 0am;5 . 12qamc,qafbsmq

21、a2(fs 0, 所以所以fs图向正方向斜图向正方向斜)( 积分关系积分关系fsb=fsa+0)mc= mb+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2mb= ma+(-qa a)=0-qa2 )m;5 . 12qa例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2fffcyay 23ffdy 23famd 1. 受力分析受力分析特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, m = 0 , fs 不一定为零不一定为零2. 画画 fs 图图水平直线水平直线3. 画画 m 图图直线直线23maxsff 23maxfam mfa/2-fa/23fa/2aaqabaa解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 由平衡条件得：由平