导数的概念及运算

1、要点梳理要点梳理1.1.导数的概念导数的概念 设函数设函数y y= =f f( (x x) )在区间在区间( (a a, ,b b) )上有定义上有定义, ,x x0 0(a a, ,b b),),若若 x x无限趋近于无限趋近于0 0时时, ,比值比值 = = 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a a, ,则称则称f f( (x x) )在在x x= =x x0 0处可导，并处可导，并 称该常数称该常数a a为函数为函数f f( (x x) )在在x x= =x x0 0处的导处的导数数, ,记作记作_._.2.92.9 导数的概念及运算导数的概念及运算基础知识基础知识 自主学习自主学习x

2、yxxfxxf)()(00 f f(x x0 0) )2.2.导函数导函数 如果函数如果函数y y= =f f( (x x) )在开区间在开区间( (a a, ,b b) )内每一点都可导内每一点都可导, ,就就 说说f f( (x x) )在开区间在开区间( (a a, ,b b) )内可导，其导数也是开区间内可导，其导数也是开区间 ( (a a, ,b b) )内的函数，又称作内的函数，又称作f f( (x x) )的导函数的导函数, ,记作记作_ 或或_._.3.3.函数函数f f( (x x) )在在x x0 0处的导数处的导数 函数函数f f( (x x) )的导函数的导函数f f(

3、x x) )在在x x= =x x0 0处的函数值处的函数值_ 即为函数即为函数f f( (x x) )在在x x0 0处的导数处的导数. .4.4.导数的几何意义导数的几何意义 (1)(1)设函数设函数f f( (x x) )在在x x0 0处可导处可导, ,则它在该点的导数等于则它在该点的导数等于 函数所表示的曲线在相应点函数所表示的曲线在相应点mm( (x x0 0，y y0 0) )处的处的_ _. _.f f( (x x) )y yf f(x x0 0) )切线的切线的斜率斜率 (2) (2)设设s s= =s s( (t t) )是位移函数，则是位移函数，则s s(t t0 0)

4、)表示物体在表示物体在t t= =t t0 0 时刻的时刻的_._. (3) (3)设设v v= =v v( (t t) )是速度函数，则是速度函数，则v v(t t0 0) )表示物体在表示物体在t t= =t t0 0 时刻的时刻的_. _. 5.5.常用的导数公式常用的导数公式 c c= _(= _(c c为常数为常数); (); (x xm m)=)= _(_(m mq q);); (sin (sin x x)=_; ()=_; (coscos x x)=_;)=_; (e (ex x)=_; ()=_; (a ax x)=_()=_(a a00且且a a1);1); ( (lnln

5、x x)= ;)= ; ( (logloga ax x)= = ()= = (a a00且且a a1). 1). x1elogax1axln10 0mxmxm m-1-1-sin -sin x xcoscos x xe ex xa ax xlnln a a瞬时速度瞬时速度瞬时加速度瞬时加速度6.6.导数的运算法则导数的运算法则 f f( (x x) )g g( (x x)=)=f f(x x) )g g(x x),), cfcf( (x x)=)=cfcf(x x)()(c c为常数为常数),), f f( (x x) )g g( (x x)=)=f f(x x) )g g( (x x)+)+

6、f f( (x x) )g g(x x),),7.7.复合函数求导的运算法则复合函数求导的运算法则 一般地一般地, ,设函数设函数 在点在点x x处有导数处有导数 函数函数y y= =f f( (u u) )在在u u处有导数处有导数 = =f f(u u),),则复合函数则复合函数 在点在点x x处也有导数处也有导数, ,且且 =_= =_= _. _.)(xu ),(xu )(xfy )()(xuf ).)()()()()()()()(02 xgxgxgxfxgxfxgxfxuuy uy xy基础自测基础自测1.1.函数函数y y= =x xcoscos x x-sin -sin x x的

7、导数为的导数为_._. 解析解析 y y=(=(x xcoscos x x)-(sin )-(sin x x) = =x xcoscos x x+ +x x(cos(cos x x)-cos)-cos x x = =coscos x x- -x xsinsin x x-cos-cos x x=-=-x xsinsin x x. . 2.2.若若f f(x x0 0)=2,)=2,则当则当k k00时时, =_. , =_. 解析解析- -x xsinsin x xkxfkxf2)()(00.)( )()(lim)()(lim1212120000000 xfkxfkxfkxfkxfkk-1-13

8、.3.若函数若函数y y= =f f( (x x) )在在r r上可导且满足不等式上可导且满足不等式x x f f(x x) ) - -f f( (x x) )恒成立恒成立, ,且常数且常数a a, ,b b满足满足a a b b，则下列不等式不，则下列不等式不 一定成立的是一定成立的是_(_(填序号填序号).). af af( (b b)bf bf( (a a) ) af af( (a a)bf bf( (b b) ) af af( (a a)bf bf( (b b) ) af af( (b b)0.)0. g g( (x x) )在在r r上为增函数上为增函数, , g g( (a a)g

9、 g( (b b),),即即af af( (a a)bf bf( (b b). ). 4.4.(2009(2009辽宁辽宁) )曲线曲线 在点在点(1,-1)(1,-1)处的切线方处的切线方 程为程为_._. 解析解析 所以切线方程为所以切线方程为y y+1=-2(+1=-2(x x-1),-1),即即y y=-2=-2x x+1. +1. 2 xxy,)()()( ,)(22222212111 xxxxxff.)()(221212 f所以所以y y=-2=-2x x+1+1【例例1 1】利用导数的定义求函数】利用导数的定义求函数 的导数的导数. . 先求先求y y, ,再求再求 最后求最后求

10、 解解典型例题典型例题 深度剖析深度剖析xy.limxyx0 xy1 .,lim,)()(23230222212121111 xyxxxxyxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxyx即即分析分析跟踪练习跟踪练习1 1 利用导数的定义利用导数的定义, ,求出函数求出函数 的导的导 数数, ,并据此求函数在并据此求函数在x x=1=1处的导数处的导数. . 解解xxy1 .|,)(limlim,)(,)()()(01111111111121200 xxxyxxxxxyyxxxxyxxxxxxxxxxxy【例例2 2】(2010(2010苏州月考苏州月考) )求下列各函数的导数求下列各函数

11、的导数 (1)(1) (2) (2)y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3+3);); (3) (3) (4) (4) 利用常见函数的导数及求导法则利用常见函数的导数及求导法则. . 解解;sin25xxxxy );cos(sin42122xxy .xxy 1111.cossin)sin()()(,sinsin)(xxxxxxxxxxyxxxxxxxxy2322523232323252123231 分析分析(2)(2)方法一方法一 y y=(=(x x2 2+3+3x x+2)(+2)(x x+3+3) )= =x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+

12、6+6, ,y y=3 3x x2 2+12+12x x+11+11. .方法二方法二y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3+3)=(=(x x+1)(+1)(x x+2)+(+2)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2+2) ) =(=(x x+2+2+x x+1)(+1)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2+2) )=(=(2 2x x+3)(+3)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x

13、 x+2+2) )= =3 3x x2 2+12+12x x+11+11. . .)()()()(,)()(.cos)(sin)sin(,sin)cos(sin)(2212112121211111111421212121223xxxxyxxxxxxxyxxxyxxxy 跟踪练习跟踪练习2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数 (1)(1)y y= =x x2 2sinsin x x; ; (2) (2)y y= =3 3x xe ex x-2-2x x+e+e; ; (3) (3) (4) (4)y y= =sinsin3 32 2x x. . 直接利用导数公式和导数运算法则求导直接利用导数公

14、式和导数运算法则求导. . 解解 (1)(1)y y=(=(x x2 2)sin)sin x x+ +x x2 2(sin(sin x x) = =2 2x xsinsin x x+ +x x2 2coscos x x; ; 分析分析;ln12 xxy(2)(2)y y=(=(3 3x xe ex x)-(2)-(2x x)+(e)+(e)=(=(3 3x x)e)ex x+3+3x x(e(ex x)-(2)-(2x x)= =3 3x xlnln 3e3ex x+3+3x xe ex x-2-2x xlnln 2 2=(=(lnln 3+1)(3e)3+1)(3e)x x-2-2x xln

15、ln 2. 2.(4)(4)y y=3(sin3(sin 2 2x x) )2 2(sin(sin 2 2x x)=)=6sin6sin2 22 2x xcoscos 2 2x x. . ;)(ln)(ln)()()(ln)()(ln)(2222222222212112111113 xxxxxxxxxxxxxxxy【例例3 3】(2009(2009江苏江苏) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoyxoy中中, ,点点p p 在曲线在曲线c c: :y y= =x x3 3-10-10 x x+3+3上上, ,且在第二象限内且在第二象限内, ,已知曲线已知曲线 c c在点在点p p处的切线斜率

16、为处的切线斜率为2,2,则点则点p p的坐标为的坐标为_._. 解析解析 设设p p( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 00),0)0)的一条切线的一条切线, ,则实数则实数b b=_.=_. 解析解析 ( (lnln x x)= )= 得得x x=2,=2,故切点坐标为故切点坐标为( (2,ln2,ln 2), 2), 将其代入直线方程将其代入直线方程, ,得得 所以所以b b= =lnln 2-1. 2-1. bxy 21lnln 2-1 2-1,2111 xx令令,lnb 2212【例例4 4】(14(14分分) )已知曲线已知曲线 (1)(1)求曲线在求曲线在x x=

17、2=2处的切线方程处的切线方程; ; (2) (2)求曲线过点求曲线过点(2,4)(2,4)的切线方程的切线方程. . (1)(1)由题意知切点为由题意知切点为(2,4),(2,4),则在则在(2,4)(2,4)处的切处的切 线可求线可求. . (2) (2)过点过点(2,4)(2,4)的切线中的切线中,(2,4),(2,4)可能为切点可能为切点, ,也可能也可能 为另外一条切线与曲线的交点为另外一条切线与曲线的交点. . 解题示范解题示范 解解 (1)(1)y y=x x2 2, , 在点在点p(2,4)p(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率k k= =y y|x x=2=2=4.=4.

18、曲线在点曲线在点p p(2,4)(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0. 4-4=0. 4分分 .34313 xy分析分析(2)(2)设曲线设曲线 与过点与过点p p(2,4)(2,4)的切线相切于点的切线相切于点 则切线的斜率则切线的斜率切线方程为切线方程为 88分分 点点p p(2,4)(2,4)在切线上在切线上, ,(x x0 0+1)(+1)(x x0 0-2)-2)2 2=0,=0,解得解得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2, 10=2, 10分分 故所求的切线方程为故所求的切线方程为4

19、4x x- -y y-4=0-4=0或或x x- -y y+2=0. 14+2=0. 14分分 34313 xy),(3431300 xxa.| 200 xykxx ),()(020303431xxxxy .34323020 xxxy即即,3432243020 xx,)()(,01141044043000202020302030 xxxxxxxxx即即跟踪练习跟踪练习4 4 若直线若直线y y= =kxkx与曲线与曲线y y= =x x3 3- -3 3x x2 2+2+2x x相切，则相切，则 k k=_.=_. 解析解析 y y= =x x3 3- -3 3x x2 2+2+2x x, ,

20、 y y=3=3x x2 2-6-6x x+2.+2. 直线和曲线均过原点直线和曲线均过原点, , 当原点是切点时当原点是切点时, ,切线斜率切线斜率k k= =y y|x x=0=0=2,=2, 当原点不是切点时当原点不是切点时, ,设切点为设切点为p p( (x x0 0, ,y y0 0),),其中其中x x0 00, 0, 则切线的斜率则切线的斜率 .00 xyk ,|2630200 xxykxx又又又又切点切点p p( (x x0 0, ,y y0 0) )在曲线上在曲线上, ,. 26302000 xxxy.,.|.,.4124123023263232300020300203002

21、0300 kkykxxxxxxxxxxxyx或或综上所综上所述由于由于高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式和法则和法则, ,以及导数的几何意义以及导数的几何意义; ;有时也以解答题的形式有时也以解答题的形式出现出现, ,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题几何的综合题. . 1.1.结合实际背景理解变化率、导数的概念结合实际背景理解变化率、导数的概念, ,导数的实导数的实 质是函数平均变化率的极限质是函数平均变化率的极限, ,即瞬时变化率即瞬时变化率. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提

22、高高考动态展望高考动态展望方法规律总结方法规律总结2.2.要深刻理解导数的定义要深刻理解导数的定义, ,会用定义解题会用定义解题. . 3.3.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思 想方法想方法. .4.4.熟记几个常用函数的求导公式熟记几个常用函数的求导公式, ,提高运算速度和准提高运算速度和准 确率确率. .5.5.熟练积商的求导法则熟练积商的求导法则, ,不可混淆不可混淆. .6.6.函数解析式较复杂的函数解析式较复杂的, ,可以化简的要先化简再求导可以化简的要先化简再求导. .7.7.复合函数求导复合函数求导, ,必须搞清复合层次必须

23、搞清复合层次, ,不能有漏掉的环不能有漏掉的环 节，要适当选取中间量，弄清每一步对哪个变量求节，要适当选取中间量，弄清每一步对哪个变量求 导导, ,用什么公式求导用什么公式求导. . 一、填空题一、填空题1.1.(2009(2009广东东莞模拟广东东莞模拟) )曲线曲线y y= =x x3 3-1-1在在x x=1=1处的切线处的切线 方程为方程为_._. 解析解析 y y=f f(x x)=3)=3x x2 2, , f f(1)=3,(1)=3,切点为切点为(1,0),(1,0), 切线方程为切线方程为y y=3(=3(x x-1),-1),即即3 3x x- -y y-3=0. -3=0

24、. 3 3x x- -y y-3=0-3=0定时检测定时检测2.2.(2010(2010徐州模拟徐州模拟) )已知已知f f( (x x)=)=x x2 2+2+2xf xf(1(1),),则则f f(0) (0) =_. =_. 解析解析 f f(x x)=)=2 2x x+2+2f f(1(1),), f f(1)=2+2(1)=2+2f f(1),(1),即即f f(1)=-2,(1)=-2, f f(x x)=2)=2x x-4,-4,f f(0)=-4.(0)=-4.3.3.(2009(2009江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前 黄中学四校联考黄

25、中学四校联考) )已知函数已知函数f f( (x x)=)=x xeex x, ,则则f f(0)=(0)= _. _. 解析解析 f f(x x)=()=(x xeex x)=)=e ex x+ +x xe ex x,f f(0(0)=1. )=1. -4-41 14.4.(2010(2010江苏常熟检测江苏常熟检测) )设设p p为曲线为曲线c c：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上上 的点的点, ,且曲线且曲线c c在点在点p p处切线倾斜角的取值范围为处切线倾斜角的取值范围为 则点则点p p横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为_._. 解析解析 切线的斜率切线的斜率k k

26、=tan =tan tantan 0,tan0,tan =0,1. =0,1. 设切点为设切点为p p( (x x0 0, ,y y0 0),),于是于是 x x0 0,404.,211 ,211 ,|2200 xykxx5.5.(2009(2009山东济宁第一次月考山东济宁第一次月考) )曲线曲线y y= = 在点在点(4, (4, e e2 2) )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_._. 解析解析 曲线在曲线在(4,e2)(4,e2)点处的切线方程为点处的切线方程为 切线与坐标轴交点分别是切线与坐标轴交点分别是(0,-e(0,-e2 2),(2,0),

27、),(2,0), 则切线与坐标轴围成的三角形面积则切线与坐标轴围成的三角形面积x21e.e| ,e2421221 xxyy.e|e|22221 s),(ee42122 xy2e6.6.（20102010广东四校联考）广东四校联考）设设f f0 0( (x x)=sin )=sin x x，f f1 1( (x x)= )= f f0 0(x x),),f f2 2( (x x)=)=f f1 1(x x),),f fn n+1+1( (x x)=)= , ,n nn n, ,则则 f f2 0102 010( (x x)=_.)=_. 解析解析 f f1 1( (x x)=(sin )=(si

28、n x x)=)=coscos x x, , f f2 2( (x x)=()=(coscos x x)=-sin )=-sin x x, , f f3 3( (x x)=(-sin )=(-sin x x)=-)=-coscos x x, , f f4 4( (x x)=(-)=(-coscos x x)=sin )=sin x x, , f f5 5( (x x)=(sin )=(sin x x)=)=f f1 1( (x x),),f f6 6( (x x)=)=f f2 2( (x x),.),. f fn n+4+4( (x x)=)=f fn n( (x x),),即周期即周期t

29、t为为4.4. f f20102010( (x x)=)=f f2 2( (x x)=-sin )=-sin x x. . -sin -sin x x)(xfn 7.7.（20092009安徽改编）安徽改编）已知函数已知函数f f( (x x) )在在r r上满足上满足f f( (x x)= )= 2 2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x x-8-8, ,则曲线则曲线y y= =f f( (x x) )在点在点(1,(1,f f(1)(1)处的切处的切 线方程是线方程是_._. 解析解析 f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x

30、x-8-8, , f f(2-(2-x x)=)=2 2f f( (x x)-(2-)-(2-x x) )2 2+8(2-+8(2-x x)-8.)-8. f f(2-(2-x x)=)=2 2f f( (x x)-)-x x2 2+4+4x x-4+16-8-4+16-8x x-8-8. . 将将f f(2-(2-x x) )代入代入f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x x-8-8 得得f f( (x x)=)=4 4f f( (x x)-2)-2x x2 2-8-8x x+8-+8-x x2 2+8+8x x-8.-8.f f( (x x)=

31、)=x x2 2. . y y= =f f( (x x) )在在(1,(1,f f(1)(1)处的切线斜率为处的切线斜率为y y|x x=1=1=2.=2. 函数函数y y= =f f( (x x) )在在(1,(1,f f(1)(1)处的切线方程为处的切线方程为 y y-1=2(-1=2(x x-1),-1),即即y y=2=2x x-1. -1. y y=2=2x x-1-18.8.（20102010无锡模拟无锡模拟) )已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c 的导数为的导数为f f(x x),),f f(0(0)0,)0,对于任意实数对

32、于任意实数x x, ,有有f f( (x x) ) 0, 0,则则 的最小值为的最小值为_._. 解析解析 f f(x x)=)=2 2axax+ +b b, ,f f(0(0)=)=b b00 )( )(01ff.)( )(,222010400422 bbbacbbcbaffcbacaacb又又2 29.9.(2009(2009江西改编江西改编) )若存在过点若存在过点(1,0)(1,0)的直线与曲线的直线与曲线 y y= =x x3 3和和y y= =axax2 2+ + x x-9-9都相切都相切, ,则则a a等于等于_._. 解析解析 设曲线设曲线y y= =x x3 3上切点为上切

33、点为 公切线的斜率为公切线的斜率为k k= = 或或k k=0,=0, 切线方程为切线方程为y y= (= (x x-1)-1)或或y y=0.=0. 当直线方程为当直线方程为y y=0=0时时, ,求得求得a a= = 当直线方程为当直线方程为y y= (= (x x-1)-1)时时, ,求得求得a a=-1. =-1. 415),(300 xx,| 0233231300203020030200 xxxxxxxxyxx或或427427;6425 42764251 或或二、解答题二、解答题10.10.(2010(2010丽水模拟丽水模拟) )已知曲线已知曲线s s: :y y=3=3x x-

34、-x x3 3及点及点p p(2,2).(2,2). (1) (1)求过点求过点p p的切线方程的切线方程; ; (2) (2)求证求证: :与曲线与曲线s s切于点切于点( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 000) )的切线与的切线与s s 至少有两个交点至少有两个交点. . (1) (1)解解 设切点为设切点为( (x x0 0, ,y y0 0),),则则 又又f f(x x)=3-3)=3-3x x2 2, , 切线斜率切线斜率 (x x0 0-1)(-1)(x x0 0-1)-1)2 2-3=0,-3=0,解得解得x x0 0=1=1或或 相应的斜率相应的斜率k k

35、=0=0或或 切线方程为切线方程为y y=2=2或或.30003xxy ,20003322xxyk ),)(20030033223xxxx 即即, 310 x, 369 k.)(22369 xy(2)(2)证明证明 与曲线与曲线s s切于点切于点( (x x0 0, ,y y0 0) )的切线方程可设为的切线方程可设为 与曲线与曲线s s的方程联立的方程联立, ,消去消去y y, ,即即( (x x- -x x0 0) )2 2( (x x+2+2x x0 0)=0,)=0,则则x x= =x x0 0或或x x=-2=-2x x0 0, ,因此因此, ,与曲线与曲线s s切于点切于点( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 000) )的切线的切线, ,与与s s至少至少有两个交点有两个交点. . ),)(020033xxxyy ).)()(),()(0203003020031333133xxxxxxxxxxyxx 即即得得11.