世纪金榜理科数学(广东版)2.11

1、第十一节导数在研究函数中的应用考纲考纲考情考情广东五年广东五年4 4考高考指数考高考指数: : 1.1.了解函数的单调性与导数的关系了解函数的单调性与导数的关系; ;能利用导数研究函能利用导数研究函数的单调性数的单调性, ,会求函数的单调区间会求函数的单调区间( (其中多项式函数不超其中多项式函数不超过三次过三次) )2.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; ;会会用导数求函数的极大值、极小值用导数求函数的极大值、极小值( (其中多项式函数不超其中多项式函数不超过三次过三次););会求闭区间上函数的最大值、最小值会求闭区间上函数的最大值、最

2、小值( (其中多其中多项式函数不超过三次项式函数不超过三次) )五年五年考题考题20132013t21t2120122012t21t2120112011t12t1220092009t20t20考情考情播报播报1.1.利用导数求函数的单调区间及极值利用导数求函数的单调区间及极值( (最值最值) )、结合单、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围、证明不等式等调性与不等式的成立情况求参数范围、证明不等式等问题是高考命题的热点问题是高考命题的热点2.2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题式、方程等交汇命题, ,主要考查转化与化归

3、思想、分类主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用讨论思想的应用3.3.题型主要以解答题为主题型主要以解答题为主, ,属中高档题属中高档题【知识梳理【知识梳理】1.1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系增函数增函数常量函数常量函数减函数减函数2.2.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)(1)极值的概念极值的概念f(xf(x) )f(xf(x0 0) )极大值点极大值点f(xf(x) )f(xf(x0 0) )极极小值点小值点(2)(2)利用导数求极值的步骤利用导数求极值的步骤求导数求导数f(xf(x););求方程求方程f(xf(x)=0)=0的根的根; ;列表列表, ,检验检

4、验f(xf(x) )在方程在方程f(xf(x)=0)=0的根左右两侧的符号的根左右两侧的符号( (判断判断y=f(xy=f(x) )在根左右两侧的单调性在根左右两侧的单调性),),如果如果_(_(左增右减左增右减),),那那么么f(xf(x) )在这个根处取得在这个根处取得_,_,如果如果_(_(左减右增左减右增),),那那么么f(xf(x) )在这个根处取得在这个根处取得_._.如果左右两侧符号一样如果左右两侧符号一样, ,那么那么这个根不是极值点这个根不是极值点. .得极值得极值, ,由表得极大值与极小值由表得极大值与极小值. .左正右负左正右负极大值极大值左负右正左负右正极小值极小值3.

5、3.求函数求函数f(xf(x) )在在a,ba,b 上最值的步骤上最值的步骤(1)(1)求函数求函数y=f(xy=f(x) )在在(a,b(a,b) )内的内的_._.(2)(2)将函数将函数y=f(xy=f(x) )的各的各_与端点处的与端点处的_比较比较, ,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值, ,得出函数得出函数f(xf(x) )在在a,ba,b 上的最值上的最值. .极值极值极值极值函数值函数值f(a),f(bf(a),f(b) )【考点自测【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命题给出下列命题: :f(xf(x)0)0是是f

6、(xf(x) )为增函数的充要条件为增函数的充要条件; ;函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的; ;函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大; ;对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x x0 0点为极值点的充要条件点为极值点的充要条件; ;函数的最大值不一定是极大值函数的最大值不一定是极大值, ,函数的最小值也不一定是极小函数的最小值也不一定是极小值值. .其中正确的是其中正确的是( () )a.a. b. b. c. c. d. d.【解析【解析】选选c.c.错误错误.f(x.f(x)0)0能推

7、出能推出f(xf(x) )为增函数为增函数, ,反之不一反之不一定定. .如函数如函数f(xf(x)=x)=x3 3在在(-,+)(-,+)上单调递增上单调递增, ,但但f(x)0.f(x)0.所以所以f(xf(x)0)0是是f(xf(x) )为增函数的充分条件为增函数的充分条件, ,但不是必要条件但不是必要条件. .错误错误. .一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个个. .正确正确. .一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系, ,极大极大值可能比极小值大值可能比极小值大, ,也可能比极小值

8、小也可能比极小值小. .错误错误. .对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0只是只是x x0 0点为极值点的必要条点为极值点的必要条件件, ,如如y=xy=x3 3在在x=0 x=0时时f(0)=0,f(0)=0,而函数在而函数在r r上为增函数上为增函数, ,所以所以0 0不是不是极值点极值点. .正确正确. .当函数在区间端点处取得最值时当函数在区间端点处取得最值时, ,这时的最值不是极值这时的最值不是极值. .2.2.函数函数y= xy= x2 2-lnx-lnx的单调递减区间为的单调递减区间为( () )a.(-1,1a.(-1,1b.(0,1b.(0,

9、1c.1,+)c.1,+) d.(0,+) d.(0,+)【解析【解析】选选b.b.由题意知函数的定义域为由题意知函数的定义域为(0,+),(0,+),又由又由y=x- 0,y=x- 0,解得解得0 x1,0 x1,所以函数的单调递减区间为所以函数的单调递减区间为(0,1.(0,1.121x3.3.已知已知f(xf(x)=x)=x3 3-ax-ax在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数, ,则则a a的最大值是的最大值是 ( () )a.0 b.1 a.0 b.1 c.2 c.2 d.3d.3【解析【解析】选选d. f(xd. f(x)=3x)=3x2 2-a0-a0在在1,+)1,+)上恒

10、成立上恒成立, ,即即a3xa3x2 2在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,而而(3x(3x2 2) )minmin=3=31 12 2=3.=3.所以所以a3,a3,故故a amaxmax=3.=3.4.4.设函数设函数f(x)= +lnxf(x)= +lnx, ,则则( () )a.xa.x= = 为为f(xf(x) )的极大值点的极大值点 b.xb.x= = 为为f(xf(x) )的极小值点的极小值点c.xc.x=2=2为为f(xf(x) )的极大值点的极大值点 d.xd.x=2=2为为f(xf(x) )的极小值点的极小值点【解析【解析】选选d. d. 因为因为f(xf(x)= +

11、ln x)= +ln x，所以，所以f(xf(x)=- )=- ，令，令f(xf(x)=0)=0，即，即 ，解得，解得x=2.x=2.当当0 x20 x2时，时，f(xf(x)0)2x2时，时，f(xf(x)0)0，所以，所以x=2x=2为为f(xf(x) )的极小值点的极小值点. . 2x12122x221xx2221x20 xxx5.(20145.(2014杭州模拟杭州模拟) )函数函数y=x+2cos xy=x+2cos x在区间在区间 上的最大值上的最大值是是 . .【解析【解析】y=1-2sin x,y=1-2sin x,令令y=0,y=0,且且x x ，得，得x= ,x= ,则则x

12、 x 时，时，y0;x y0;x 时，时，y0,y0,故函数在故函数在 上递增，在上递增，在 上递减，上递减，所以当所以当x= x= 时，函数取最大值，为时，函数取最大值，为 . .答案：答案：02，02，60,)6,6 2 （0,)6,6 2 （636366.(20146.(2014济南模拟济南模拟) )已知函数已知函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为-1,5,-1,5,部分对部分对应值如下表应值如下表: :f(xf(x) )的导函数的导函数y=f(xy=f(x) )的图象如图所示的图象如图所示. .x x-1-10 02 24 45 5y y1 12 20 02 21 1(1)f(x

13、)(1)f(x)的极小值为的极小值为. .(2)(2)若函数若函数y=f(xy=f(x)-a)-a有有4 4个零点个零点, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为. .【解析【解析】(1)(1)由由y=f(xy=f(x) )的图象可知的图象可知, ,所以所以f(2)f(2)为为f(xf(x) )的极小值的极小值,f(2)=0.,f(2)=0.x x(-1,0)(-1,0)0 0(0,2)(0,2)2 2(2,4)(2,4)4 4(4,5)(4,5)f(xf(x) )+ +0 0- -0 0+ +0 0- -f(xf(x) ) 极大值极大值 极小值极小值 极大值极大值 (2)y=f(x(2

14、)y=f(x) )的大致图象如图所示的大致图象如图所示: :若函数若函数y=f(xy=f(x)-a)-a有有4 4个零点个零点, ,则则a a的取值范围为的取值范围为1a2.1a2.答案答案: :(1)0(1)0(2)1,2)(2)1,2)考点考点1 1 利用导数确定函数的单调性利用导数确定函数的单调性【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014武汉模拟武汉模拟) )已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称, ,且当且当x(-,0)x(-,0)时时,f(x)+xf(x,f(x)+xf(x)0)aca.bacb.cb.cababc.cbac.cba

15、d.ad.acbcb(2)(2013(2)(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=e)=ex x(ax+b)-x(ax+b)-x2 2-4x,-4x,曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(0,f(0)(0,f(0)处的切线方程为处的切线方程为y=4x+4.y=4x+4.求求a,ba,b的值的值. .讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性, ,并求并求f(xf(x) )的极大值的极大值. .【解题视点【解题视点】(1)(1)根据已知条件构造函数根据已知条件构造函数y=xf(xy=xf(x),),并用导数确并用导数确定其单调性定其单调性, ,利用单调性比较利用

16、单调性比较a,b,ca,b,c大小大小. .(2)(2)根据根据f(0)=f(0)=4f(0)=f(0)=4构建关于构建关于a,ba,b的方程求解的方程求解. .根据根据确定确定f(xf(x) )的解析式的解析式, ,利用导数确定利用导数确定f(xf(x) )的单调性的单调性. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选a.a.因为函数因为函数y=f(xy=f(x) )关于关于y y轴对称轴对称, ,所以函数所以函数y=xf(xy=xf(x) )为奇函数为奇函数. .因为因为xf(x)=f(x)+xf(xxf(x)=f(x)+xf(x),),所以当所以当x(-,0)x(-,0)时时,xf(x)=

17、f(x)+xf(x,xf(x)=f(x)+xf(x)0,)0,函数函数y=xf(xy=xf(x) )单调递减单调递减, ,当当x(0,+)x(0,+)时时, ,函数函数y=xf(xy=xf(x) )单调递减单调递减. .因为因为12120.20.22,0log2,0log31,log31,log3 39=2,9=2,所以所以0log0log32320.20.2logac,bac,选选a.a.(2)(2)由已知得函数的定义域为由已知得函数的定义域为r,r,f(xf(x)=e)=ex x(ax+a+b)-2x-4.(ax+a+b)-2x-4.由已知得由已知得f(0)=4,f(0)=4.f(0)=4

18、,f(0)=4.故故b=4,a+b=8,b=4,a+b=8,从而从而a=4,b=4.a=4,b=4.由由知知,f(x,f(x)=4e)=4ex x(x+1)-x(x+1)-x2 2-4x,-4x,f(xf(x)=4e)=4ex x(x+2)-2x-4=4(x+2) .(x+2)-2x-4=4(x+2) .令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=-ln2x=-ln2或或x=-2.x=-2.从而当从而当x(-,-2)(-ln2,+)x(-,-2)(-ln2,+)时时,f(x,f(x)0;)0;当当x(-2,-ln2)x(-2,-ln2)时时,f(x,f(x)0;)0a0时，时，由由f(xf(x)0

19、,)0,及及x0 x0得得x2a;x2a;由由f(xf(x)0,)0 x0得得0 x2a.0 x0a0时，函数时，函数f(xf(x) )在在(2a,+)(2a,+)上单调递增，在上单调递增，在(0,2a)(0,2a)上上单调递减单调递减. .22ax 222222xax2aa2axax2afx1x0 .xxxx 当当a0a0)0及及x0 x0得得x-a;x-a;由由f(xf(x)0)0 x0得得0 x-a.0 x-a.所以当所以当a0a0时，函数时，函数f(xf(x) )在在(0,-a)(0,-a)上单调递减，在上单调递减，在(-a,+)(-a,+)上上单调递增单调递增. .综上所述，当综上所

20、述，当a0a0a0时，函数时，函数f(xf(x) )在在(2a,+)(2a,+)上单调递增，在上单调递增，在(0,2a)(0,2a)上单调上单调递减递减. .【易错警示【易错警示】求单调区间时要先关注函数的定义域求单调区间时要先关注函数的定义域 利用导数确定函数的单调性利用导数确定函数的单调性( (区间区间),),切记应先求定义域切记应先求定义域, ,再再考虑导数的符号考虑导数的符号, ,特别在确定含参数函数的单调性时特别在确定含参数函数的单调性时, ,要注意分要注意分类讨论类讨论. .如本题中函数的定义域为如本题中函数的定义域为(0,+),(0,+),若解题时未求出此若解题时未求出此定义域定

21、义域, ,则会导致错误则会导致错误. .【规律方法【规律方法】用导数求函数的单调区间的用导数求函数的单调区间的“三个方法三个方法”(1)(1)方法一方法一: :当不等式当不等式f(xf(x)0()0(或或f(xf(x)0)0,)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间解集在定义域内的部分为单调递增区间; ;解不等式解不等式f(xf(x)0,)0()0(或或f(xf(x)0)0)及方程及方程f(xf(x)=0)=0均均不可解时不可解时, ,确定函数确定函数y=f(xy=f(x) )的定义域的定义域; ;求导数并化简求导数并化简, ,根据根据f(xf(x) )的结构特征的结构特征, ,选择相应基本初

22、等函选择相应基本初等函数数, ,利用其图象与性质确定利用其图象与性质确定f(xf(x) )的符号的符号. .得单调区间得单调区间. .提醒提醒: :利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的关系记准关系记准. .【变式训练【变式训练】(2014(2014武汉模拟武汉模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= (k)= (k为常为常数数,e=2.71828,e=2.71828是自然对数的底数是自然对数的底数),),曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行. .(1)(1)求求

23、k k的值的值. .(2)(2)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .xln xke【解析【解析】(1)(1)由由f(xf(x)= )= 得得x(0,+),x(0,+),f(xf(x)=)=由曲线由曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行可知轴平行可知f(1)=f(1)=解得解得k=1.k=1.xln xkexx2xx1ln xkln xk eln xkexee，11ln 1k10,e(2)f(x)= ,x(0,+).(2)f(x)= ,x(0,+).当当0 x10 x1,1,所以所以 -10,-10,又又lnln x0, x

24、0, x0,所以所以 -1-ln x-1-ln x0,0,所以所以f(xf(x)0;)0;当当x1x1时，时，0 0,0 0,所以所以 -10,-ln x0,-10,-ln x0,所以所以 -1-ln x-1-ln x0 0，所以所以f(xf(x)0,)0,于是于是f(xf(x) )在区间在区间(0,1)(0,1)内为增函数，在内为增函数，在(1,+)(1,+)内为减函数内为减函数. .x11 ln xxe 1x1x1x1x1x1x【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014杭州模拟杭州模拟) )定义在定义在r r上的函数上的函数f(xf(x) )的导函数为的导函数为f(xf(x),),

25、已知已知f(x+1)f(x+1)是偶函数，是偶函数，(x-1)f(x)0.(x-1)f(x)0.若若x x1 1x2,2,则则f(xf(x1 1) )与与f(xf(x2 2) )的大小关系是的大小关系是( )( )a.f(xa.f(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) d.) d.不确定不确定【解析【解析】选选c.c.由由(x-1)f(x)0(x-1)f(x)1x1时时,f(x,f(x)0,)0,函数递减函数递减. .当当x1x0,)0,函数递增函数递增. .因为函数因为函数f(x+1)f(x+1)是偶函数是偶函数, ,所以所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),f(x+1

26、)=f(1-x),f(x)=f(2-x),即函数的对称轴为即函数的对称轴为x=1,x=1,所以若所以若1x1x1 1xf(x)f(x2 2).).若若x x1 11,2-x2-x1 11,1,此时由此时由f(xf(x2 2)f(2-x)f(2-x1 1),),即即f(xf(x2 2)f(2-x)f(x)f(x2 2).).2.(20132.(2013湖南高考湖南高考) )已知函数已知函数f(xf(x)= .)= .(1)(1)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(2)(2)证明证明: :当当f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)(x)(x1 1xx2 2) )时时,x,x1

27、 1+x+x2 20.0.x21xe1x【解析【解析】(1)(1)函数函数f(xf(x) )的定义域是的定义域是(-,+)(-,+)，当当x0 x0;)0;当当x0 x0时，时，f(xf(x)0.)0.所以所以f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为( (,0),0)，单调递减区间为，单调递减区间为(0,+).(0,+). xx2222xx222221 x1 xfxee1x1xxx 12x2x11xee .1x1x1x（） (2)(2)当当x1x0;)0;同理，当同理，当x1x1时，时，f(xf(x)0.)0.当当f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)(x)(x1 1xx2

28、2) )时，不妨设时，不妨设x x1 1xx2 2，由，由(1)(1)知，知，x x1 1(,0),0)，x x2 2(0,1).(0,1).下面证明：下面证明：x(0,1),f(x)f(x(0,1),f(x)f(x)x)，即证，即证此不等式等价于此不等式等价于 . .令令 ，则，则g(xg(x)=)=xexex x(e(e2x2x1).1).21x1xxx221 x1xee.1x1xxx1x1 x e0e xx1xg x1 x ee当当x(0,1)x(0,1)时，时，g(xg(x) )0,g(x)0,g(x)单调递减，单调递减，从而从而g(xg(x)g(0)=0)g(0)=0，即，即 ，所以

29、所以x(0,1),f(x)f(x(0,1),f(x)f(x).x).而而x x2 2(0,1)(0,1)，所以，所以f(xf(x2 2)f()f(x x2 2) )，从而从而f(xf(x1 1)f()f(x x2 2) )，由于由于x x1 1, ,x x2 2(,0),0)，f(xf(x) )在在( (,0),0)上单调递增，上单调递增，所以所以x x1 1 x x2 2，即，即x x1 1+x+x2 20.-1,x-1,所以所以x+210,x+210,即即bx(x+2)bx(x+2)成立成立. .设设y=x(x+2),y=x(x+2),则则y=xy=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+

30、1)2 2-1,-1,因为因为x-1,x-1,所以所以y-1,y-1,所以要使所以要使bx(x+2)bx(x+2)成立成立, ,则有则有b-1.b-1. bfxxx2 bfxxx2 bx2(2)(2)由已知由已知, ,函数的定义域为函数的定义域为(0,+),(0,+),当当a=-2a=-2时时,f(x,f(x)=x)=x2 2-2lnx,-2lnx,所以所以f(xf(x)=2x- ,)=2x- ,则当则当x(0,1)x(0,1)时时,f(x,f(x)0,)0,(1,+)0,(1,+)为为f(xf(x) )的单调递增区间的单调递增区间. .2 x1x12xx由题意得由题意得g(xg(x)= ,)

31、= ,函数函数g(xg(x) )在在1 1，+)+)上是单调上是单调函数函数. .( () )若函数若函数g(xg(x) )为为1,+)1,+)上的单调增函数，上的单调增函数，则则g(x)0g(x)0在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,即即a a 在在1 1，+)+)上恒成立，上恒成立，设设(x(x)= ,)= ,因为因为(x(x) )在在1,+)1,+)上单调递减，上单调递减，所以所以(x)(x)maxmax= =(1)=0,(1)=0,所以所以a0.a0.2a22xxx222xx222xx( () )若函数若函数g(xg(x) )为为1,+)1,+)上的单调减函数，上的单调减函数，则

32、则g(x)0g(x)0在在1,+)1,+)上恒成立，不可能上恒成立，不可能. .综上，实数综上，实数a a的取值范围是的取值范围是0,+).0,+).【通关锦囊【通关锦囊】高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略根据根据f(xf(x) )在区间在区间a a上上单调递增单调递增( (减减),),求参求参数取值范围数取值范围转化为转化为f(x)0(0)f(x)0(0)在在a a上恒成立问题求解上恒成立问题求解根据根据f(xf(x) )在区间在区间a a上上存在单调递增存在单调递增( (减减) )区区间间, ,求参数取值范围求参数取值范围转化为转化为f(x)f(x)maxmax0(0(或或f

33、(x)f(x)minmin0)0,a0,知知axax2 2-2ax+10-2ax+10在在r r上恒成上恒成立，因此立，因此=4a=4a2 2-4a=4a(a-1)0,-4a=4a(a-1)0,由此并结合由此并结合a0,a0,知知0a1.00 x0时，时，f(x)=ax+lnf(x)=ax+ln x x，其中，其中arar(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的解析式的解析式. .(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间(-,-1)(-,-1)上单调递减，求上单调递减，求a a的取值范围的取值范围. .【解析【解析】(1)f(0)=0,x0(1)f(0)=0,x0 x0时，时

34、，f(x)=ax+lnf(x)=ax+ln x x，f(xf(x)=a+ ,)=a+ ,由由f(xf(x)=a+ 0)=a+ 0得得a- ,a0,)0,所以所以g(xg(x) )在在(-,ln2)(-,ln2)上为增函数上为增函数, ,当当x(ln2,+)x(ln2,+)时时,g(x,g(x)0,)0,)0,即即(-x(-x2 2+2)e+2)ex x0,0,因为因为e ex x0,0,所以所以-x-x2 2+20,+20,解得解得- x .- x0,0,所以所以x x2 2-(a-2)x-a0-(a-2)x-a0对对xrxr都成立都成立. .所以所以=(a-2)=(a-2)2 2+4a0,+

35、4a0,即即a a2 2+40,+40,这是不可能的这是不可能的. .故函数故函数f(xf(x) )不可能是不可能是r r上的减函数上的减函数. .考点考点3 3 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值)【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷)若函数若函数f(xf(x)=)=(1-x(1-x2 2)(x)(x2 2+ax+b)+ax+b)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称对称, ,则则f(xf(x) )的最大的最大值为值为. .(2)(2013(2)(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=

36、x2 2e e-x-x. .求求f(xf(x) )的极小值和极大值的极小值和极大值. .当曲线当曲线y=f(xy=f(x) )的切线的切线l的斜率为负数时的斜率为负数时, ,求求l在在x x轴上截距轴上截距的取值范围的取值范围. .【解题视点【解题视点】(1)(1)根据根据f(xf(x) )的图象关于的图象关于x=-2x=-2对称对称, ,得得求出求出a,ba,b的值的值, ,再利用导数求最值的步骤求解再利用导数求最值的步骤求解. .(2)(2)根据求极值的步骤进行求解根据求极值的步骤进行求解; ;设切点设切点, ,表示出切线表示出切线l的方的方程程, ,令令y=0y=0得得l在在x x轴上的

37、截距轴上的截距, ,利用函数知识求得截距的取值范利用函数知识求得截距的取值范围围. . f 0f4 ,f20, 【规范解答【规范解答】(1)(1)因为函数因为函数f(xf(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称对称, ,所以所以f(0)=f(-4),f(0)=f(-4),得得4b=-60+15a,4b=-60+15a,又又f(xf(x)=-4x)=-4x3 3-3ax-3ax2 2+2(1-b)x+a,+2(1-b)x+a,而而f(-2)=0,-4f(-2)=0,-4(-2)(-2)3 3-3a(-2)-3a(-2)2 2+2(1-b)+2(1-b)(-2)+a=0.(-2)

38、+a=0.得得11a-4b=28,11a-4b=28,即即 解得解得a=8,b=15.a=8,b=15.4b60 15a11a4b28 ，故故f(xf(x)=(1-x)=(1-x2 2)(x)(x2 2+8x+15),+8x+15),则则f(xf(x)=-4x)=-4x3 3-24x-24x2 2-28x+8=-4(x-28x+8=-4(x3 3+6x+6x2 2+7x-2)+7x-2)=-4(x+2)(x=-4(x+2)(x2 2+4x-1).+4x-1).令令f(xf(x)=0,)=0,即即(x+2)(x(x+2)(x2 2+4x-1)=0,+4x-1)=0,则则x=-2x=-2或或x=-

39、2- x=-2- 或或-2+ .-2+ .当当x x变化时变化时,f(x),f(x,f(x),f(x) )的变化情况如下表的变化情况如下表: :55x x(-,(-,-2- )-2- )-2-2-(-2- ,(-2- ,-2)-2)-2-2(-2,(-2,-2+ )-2+ )-2+-2+(-2+ ,(-2+ ,+)+)f(xf(x) )正正0 0负负0 0正正0 0负负f(xf(x) ) 极大值极大值 极小值极小值 极大值极大值 555555f(-2- )=1-(-2- )f(-2- )=1-(-2- )2 2(-2- )(-2- )2 2+8+8(-2- )+15=(-4 (-2- )+15

40、=(-4 -8)(8-4 )=16,-8)(8-4 )=16,f(-2+ )=1-(-2+ )f(-2+ )=1-(-2+ )2 2(-2+ )(-2+ )2 2+8+8(-2+ )+15=(4(-2+ )+15=(4-8)(8+4 )=16,-8)(8+4 )=16,故故f(xf(x) )的最大值为的最大值为16.16.答案答案: :1616555555555555(2)(2)f(x)=ef(x)=e-x-x(-x(-x2 2+2x),+2x),令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=0 x=0或或2.2.列表如下列表如下函数函数f(xf(x) )的极小值为的极小值为f(0)=0,f(0)=

41、0,极大值为极大值为f(2)= .f(2)= .x x(-,0)(-,0)0 0(0,2)(0,2)2 2(2,+)(2,+)f(xf(x) )- -0 0+ +0 0- -f(xf(x) ) 极小值极小值 极大值极大值 24e设切点为设切点为( )( )，则切线，则切线l的斜率为的斜率为k=k=此时切线此时切线l的方程为的方程为令令y=0y=0，得，得由已知和由已知和得得x x0 0(-,0)(2,+).(-,0)(2,+).令令t=xt=x0 0-2,-2,则则t(-,-2)(0t(-,-2)(0，+)+)，令，令h(th(t)=t+ )=t+ ，则当则当t(0,+)t(0,+)时时,h(

42、t,h(t) )的取值范围为的取值范围为2 ,+);2 ,+);0 x200 x ,x e0 x200ex2x,00 xx220000yx eex2xxx,000 xxx .x2002xx23x2，2t2当当t(-,-2)t(-,-2)时，时，h(th(t) )的取值范围是的取值范围是(-,-3),(-,-3),所以当所以当x x0 0(-,0)(2,+)(-,0)(2,+)时，时，x x的取值范围是的取值范围是(-,0)(-,0)2 +3,+)2 +3,+)，综上综上, ,l在在x x轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(-,0)(-,0)2 +3,+).2 +3,+).22【规律方

43、法【规律方法】利用导数研究函数的极值的一般流程利用导数研究函数的极值的一般流程【变式训练【变式训练】1.(20141.(2014广州模拟广州模拟) )若若 是函数是函数f(xf(x)=x)=x2 2+ +2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1),x(1,+)2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1),x(1,+)的一个极值点，则的一个极值点，则a a的的值为值为_._.【解析【解析】因为函数因为函数f(xf(x)=x)=x2 2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)，则则f(xf(x)=2x+2(1-a)+)=2x+2(1-a)+因为因为x=

44、 x= 是函数的一个极值点，所以是函数的一个极值点，所以f( )=0,f( )=0,解得解得a= .a= .答案：答案： 3x22 1 a,x1323232322.(20142.(2014广州模拟广州模拟) )设函数设函数f(xf(x)=x)=x3 3-kx-kx2 2+x.+x.(1)(1)当当k=1k=1时时, ,求函数求函数f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(2)(2)当当k0k0时时, ,求函数求函数f(xf(x) )在在k,-kk,-k 上的最小值上的最小值m m和最大值和最大值m.m.【解析【解析】设设y=f(xy=f(x)=3x)=3x2 2-2kx+1.-2kx+1.

45、(1)(1)当当k=1k=1时时,f(x,f(x)=3x)=3x2 2-2x+1,=4-12=-80,-2x+1,=4-12=-80)0恒成立恒成立, ,所以所以f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为r.r.(2)(2)方法一方法一: :当当k0k0时时,f(x,f(x)=3x)=3x2 2-2kx+1,-2kx+1,其开口向上其开口向上, ,对称轴对称轴x= ,x= ,且过且过(0,1).(0,1).(i)(i)当当=4k=4k2 2-12=4(k+ )(k- )0,-12=4(k+ )(k- )0,即即- k0- k0,-12=4(k+ )(k- )0,即即k- k- 时时,

46、,令令f(xf(x)=3x)=3x2 2-2kx+1=0,-2kx+1=0,解得解得:x:x1 1= ,x= ,x2 2= ,= ,注意到注意到kxkx2 2xx1 10,k,= k,从而从而kxkx2 2xx1 10;0;或者由对称或者由对称结合图象判断结合图象判断),),所以所以m=minf(k),f(xm=minf(k),f(x1 1),m=maxf(-k),f(x),m=maxf(-k),f(x2 2),),因为因为所以所以f(xf(x) )的最小值的最小值m=f(km=f(k)=k,)=k,3332kk332kk33132k3 322111111f xf kxkxxkxkx10,因为

47、因为f(xf(x2 2)-f(-k)= +x)-f(-k)= +x2 2-(-2k-(-2k3 3-k)=-k)=(x(x2 2+k)+k)(x(x2 2-k)-k)2 2+k+k2 2+10,+10,所以所以f(xf(x) )的最大值的最大值m=f(-km=f(-k)=-2k)=-2k3 3-k.-k.综上所述综上所述, ,当当k0k0时时,f(x,f(x) )的最小值的最小值m=f(km=f(k)=k,)=k,最大值最大值m=f(-km=f(-k)=-2k)=-2k3 3-k.-k.3222xkx方法二方法二: :当当k0k0时时, ,对对xk,-kxk,-k,都有都有f(x)-f(kf(

48、x)-f(k)=x)=x3 3-kx-kx2 2+x-k+x-k3 3+k+k3 3-k=(x-k=(x2 2+1)(x-k)0,+1)(x-k)0,故故f(x)f(kf(x)f(k),),f(x)-f(-kf(x)-f(-k)=x)=x3 3-kx-kx2 2+x+k+x+k3 3+k+k3 3+k=(x+k)(x+k=(x+k)(x2 2-2kx+2k-2kx+2k2 2+1)+1)=(x+k)(x-k)=(x+k)(x-k)2 2+k+k2 2+10,+10,故故f(x)f(-kf(x)f(-k),),而而f(kf(k)=k0,f(-k)=-2k)=k0,-k0,所以所以f(x)f(x)

49、maxmax=f(-k=f(-k)=-2k)=-2k3 3-k,f(x)-k,f(x)minmin=f(k=f(k)=k.)=k.【加固训练【加固训练】1.(20131.(2013福建高考福建高考) )已知函数已知函数f(x)=x-alnx(arf(x)=x-alnx(ar).).(1)(1)当当a=2a=2时时, ,求曲线求曲线y=f(xy=f(x) )在点在点a(1,f(1)a(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的极值的极值. .【解析【解析】函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(0,+),f(x)=1- .(0,+),f(x)=

50、1- .(1)(1)当当a=2a=2时时,f(x,f(x)=x-2lnx,f(x)=1- (x0),)=x-2lnx,f(x)=1- (x0),所以所以f(1)=1,f(1)=-1,f(1)=1,f(1)=-1,所以所以y=f(xy=f(x) )在点在点a(1,f(1)a(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-1=-(x-1),y-1=-(x-1),即即x+y-2=0.x+y-2=0.(2)(2)由由f(xf(x)= ,x0)= ,x0可知可知: :当当a0a0时时,f(x,f(x)0,)0,函数函数f(xf(x) )为为(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数, ,函数函数f(xf(x

51、) )无极值无极值. .ax2xaxa1xx当当a0a0时时, ,由由f(xf(x)=0,)=0,解得解得x=a.x=a.因为因为x(0,a)x(0,a)时时,f(x,f(x)0,x(a,+)0,)0,所以所以f(xf(x) )在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值, ,且极小值为且极小值为f(af(a)=)=a-alnaa-alna, ,无极大值无极大值. .综上综上: :当当a0a0时时, ,函数函数f(xf(x) )无极值无极值, ,当当a0a0时时, ,函数函数f(xf(x) )在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值a-alnaa-alna, ,无极大值无极大值. .2.(2012

52、2.(2012广东高考广东高考) )设设0a1,0a0,0,b=xr|2xb=xr|2x2 2-3(1+a)x+6a0,d=ab.-3(1+a)x+6a0,d=ab.(1)(1)求集合求集合d(d(用区间表示用区间表示).).(2)(2)求函数求函数f(xf(x)=2x)=2x3 3-3(1+a)x-3(1+a)x2 2+6ax+6ax在在d d内的极值点内的极值点. .【解析【解析】(1)(1)令令g(x)=2xg(x)=2x2 2-3(1+a)x+6a,-3(1+a)x+6a,=9(1+a)=9(1+a)2 2-48a=9a-48a=9a2 2-30a+9=3(3a-1)(a-3).-30

53、a+9=3(3a-1)(a-3).当当0a0a时时,0,0,方程方程g(x)=0g(x)=0的两个根分别为的两个根分别为x x1 1= =所以所以g(xg(x) )0 0的解集为的解集为(-,(-,因为因为x x1 1，x x2 20,0,23a39a30a9,4 223a39a30a9x,4 223a39a30a93a39a30a9,.44 ）（）所以所以d=ab=d=ab=当当 a a1 1时，时，0 0，则，则g(xg(x) )0 0恒成立，恒成立，所以所以d=ab=(0,+).d=ab=(0,+).综上所述，当综上所述，当0 0a a 时，时，d=d=当当 a a1 1时，时，d=(0

54、,+).d=(0,+).223a39a30a93a39a30a90,.44 （）（）1313223a39a30a93a39a30a90,;44 （）（）13(2)f(x)=6x(2)f(x)=6x2 2-6(1+a)x+6a=6(x-a)(x-1),-6(1+a)x+6a=6(x-a)(x-1),令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=ax=a或或x=1.x=1.当当0a 00,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-3(1+a)a+6a=a(3-a)0,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-10,10,所以所以0ax0ax1 11x1x2 2, ,所以所以f(x),f(xf(x),f(x)

55、 )随随x x的变化情况如表的变化情况如表: :所以所以f(xf(x) )的极大值点为的极大值点为x=a,x=a,没有极小值点没有极小值点. .13x x(0,a)(0,a)a a(a,x(a,x1 1) )(x(x2 2,+),+)f(xf(x) )+ +0 0- -+ +f(xf(x) ) 极大值极大值 当当 a1a1时时, ,由由(1)(1)知知d=(0,+).d=(0,+).所以所以f(x),f(xf(x),f(x) )随随x x的变化情况如表的变化情况如表: :所以所以f(xf(x) )的极大值点为的极大值点为x=a,x=a,极小值点为极小值点为x=1.x=1.综上所述综上所述, ,

56、当当0a 0a 时时,f(x,f(x) )有一个极大值点有一个极大值点x=a,x=a,没有极小值没有极小值点点; ;当当 a1a0)(m0)上存在极值上存在极值, ,求实数求实数m m的取的取值范围值范围. .(2)(2)当当x1x1时时, ,不等式不等式f(xf(x) ) 恒成立恒成立, ,求实数求实数t t的取值范围的取值范围. .1m,m3（）tx1【解析【解析】(1)(1)由题意由题意k=f(xk=f(x)= ,)= ,所以所以f(xf(x)=)=当当0 x10 x0;)0;当当x1x1时，时，f(xf(x)0.)0)m0)上存在极值，上存在极值，所以所以 得得 m1.m0,h(x)h

57、(1)=10,从而从而g(xg(x)0,)0,g(xg(x) )在在1,+)1,+)上单调递增，上单调递增，g(x)g(1)=2,g(x)g(1)=2,所以实数所以实数t t的取值范围是的取值范围是(-,2(-,2. . tx1x1 1ln xxx1 1ln xx2xln xx1x11xx【规范解答【规范解答3 3】导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【典例【典例】(12(12分分)(2013)(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=)=e ex x-ln(x+m-ln(x+m),),(1)(1)设设x=0 x=0是是f(xf(x) )的极值点的极值点, ,

58、求求m,m,并讨论并讨论f(xf(x) )的单调性的单调性. .(2)(2)当当m2m2时时, ,证明证明f(xf(x)0.)0.【审题【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)x=0 x=0是是f(xf(x) )的极值点的极值点, ,求求m,m,并讨论并讨论f(xf(x) )的单的单调性调性求导求导将将x=0 x=0代入代入f(xf(x)=0)=0求得求得mm得解析式得解析式讨论导函数符号讨论导函数符号, ,得单调性得单调性(2)(2) m2,m2,证明证明f(xf(x)0)0求求f(xf(x) )的最小值的最小值f(xf(x0 0),),证明

59、最小证明最小值值f(xf(x0 0)0)0【解题【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)因为因为f(xf(x)= )= ，x=0 x=0是是f(xf(x) )的极值点，的极值点，所以所以f(0)=1- =0f(0)=1- =0，解得解得m=1,m=1,所以函数所以函数f(xf(x)=e)=ex x-ln(x+1)-ln(x+1)，其定义域为其定义域为(-1,+)(-1,+)，2 2分分x1exm1mf(xf(x)= .)= .设设g(xg(x)=e)=ex x(x+1)-1,(x+1)-1,则则g(xg(x)=e)=ex x(x+1)+e(x+1)+ex x0 0，所以所以g(

60、xg(x) )在在(-1,+)(-1,+)上是增函数上是增函数. .4 4分分又因为又因为g(0)=0g(0)=0，所以当，所以当x x0 0时，时，g(xg(x) )0 0，即即f(xf(x) )0 0，当当-1-1x x0 0时，时，g(xg(x) )0 0，f(xf(x) )0 0，所以所以f(xf(x) )在在(-1,0)(-1,0)上是减函数，上是减函数，在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . 6 6分分xxex111ex1x1(2)(2)当当m2,x(-m,+)m2,x(-m,+)时时,ln(x+m)ln(x+2),ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当故只需证明当