44有理函数积分

1、第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用 基本积分法 :换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例本节内容: 第四四章 直接积分法 ;)()()(xqxpxr nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数有理函数:nm 时时,)(xr为假分式为假分式;nm 时时,)(xr为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为kkqxpxnxmaxa)(;)(2)04,(2qpkn若干部分分式之和若干部分分式之和四种典型部分分式

2、的积分四种典型部分分式的积分: caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)(. 42) 1,04(2nqp.214例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx21(1)dxx x 21(1)dxx11dxx1dxx1ln |1|ln |(

3、1)xxcx (2) 用待定系数法用待定系数法3()( 32 )(2)(3)(2)(3)xab xabxxxx 6532xxx)3)(2(3xxx2xa6532xx5,6ab 6532xxx3bx2356xdxxx6532dxdxxx6ln |3| 5ln |2|xxc)1)(21 (12xx xa2121xcbx21(12 )(1)xx22(2 )(2)()(12 )(1)ab xcb xacxx421,555abc )1)(21 (12xx45 12x2215 1xx21(12 )(1)dxxx45 12dxx2215 1xdxx2211ln |12 |ln1arctan555xxxc42

4、23432xxxxx22543432xxxxx4223432xxxdxxx22543432xxxdxxx25432xdxxx()21abdxxx54()(2)(1)(2)(1)(2)xab xbaxxxx6,1ab6ln |2|ln |1|xxc4223432xxxdxxx32346ln |2|ln |1|32xxxxxc例例261.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23例例3例例4. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)2

5、2(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxc二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设设)cos,(sinxxr表示三角函数有理式表示三角函数有理式 ,xxxrd)cos,(sin令令2tanxt 万能代换万能代换t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx22

6、22tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd21211(2)d2ttt21221tt 2tlnc2tan412x2tanxcx2tanln21212sinttx2211costtxttxd12d22. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxrn令令nbxat,d),(xxrndxcbxa令令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:,d),(xbaxbaxxrmn,pbx

7、at令令., 的最小公倍数为nmp例例11. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnc3223)2( x323x321ln3xc例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttcxx12cxxx1122ln作业作业p218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 ,21第五节第五节积分计算比导数计算灵活复杂积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分为提高求积分已把常用积分公式汇集成表已把常用积分公式汇集成表, 以备查用以备查用. 如如 p362附录附录 . 积分表的结构积分表的结构: 按被积函数类型排列按被积函数类型排列 积分表的使用积分表的使用: 1) 注意公式的条件注意公式的条件2) 注意简单变形的技巧注意简单变形的技巧 注注: 很多不定积分也可通过很多不定积分也可通过 mathematica , maple 等数学软件的符号演算功能求得等数学软件的符号演算功能求得 . 的效率的效率,积分表的使用积分表的使用 第四章第四章 例例1. 求求2d.(34)x xx ()axbp362 找含找含2d(34)x xx 14ln 34934xc