46凹凸性和函数作图

1、曲线的凹凸性问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyo)(xfy abxyoab)(xfy xyo0 x00( )( )fafbf 在在(a,b)上单调上单调上升，图像凹上升，图像凹00( )( )fafbf 在在(a,b)上单调上单调下降，图像凸下降，图像凸0 x两侧两侧f 图像图像凸性不同凸性不同00(,()xf x是是拐点拐点xyo)(xfy ababxyo)(xfy abba递递减减)( xf 0 y,)( bacxf 设设上上具具有有二二阶阶导导数数在在 ),( ba有有若对若对),( bax , 0)( xf () , f xa b则则在在上上是是凹凹的

2、的；.10, 0)( xf ( ) , .f xa b则则在在上上是是凸凸的的.20定理定理1000( ,),fa xxbx 03 .在和（）相异，那么是拐点xyo0 x 递增递增)(xf 0 y 增增大大例例.14334的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间求曲线求曲线 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为 )(lim)(lim00 xfxfx

3、xxx或或如果如果渐近线渐近线一一.轴的渐近线）轴的渐近线）（垂直于（垂直于x0( ).xxyf x那那么么就就是是的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线1例例)3)(2(1 xxyyx 2lim 2 yx 2lim yx 3lim yx 3lim 3有铅直渐近线有铅直渐近线y32 xx及及xy01. 垂直渐进线垂直渐进线xyarctan ,2 y水平渐近线水平渐近线. 2轴的渐近线）轴的渐近线）（平行于（平行于x)()(lim)(lim为常数为常数或或如果如果bbxfbxfxx .)(的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么xfyby 2例例有水平渐近线有水平渐近线y.2 yxy02 2

4、xxarctanlim 2 xxarctanlim2 斜渐近线斜渐近线. 30)()(lim baxxfx若若 lim ( )()0 xf xaxb0)()(lim baxxfx或或.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是则则xfybaxy 求法：求法：( )() lim0 xf xaxbxx)(limaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy bxy0( )lim()0 xf xbaxxa xxfx)(lim lim ( )()0 xf xaxb x 时时，能否能否水平渐近线与斜渐近线水平渐近线与斜渐近线同时出现？同时出现？注意：注意：不存在不存在

5、若若xxfx)(lim)1( 存在存在axxfx )(lim)2(不存在不存在但但)(limaxxfx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy lim( )xf xb ( )limxf xax 不能不能3例例的渐近线的渐近线求求 1 xxy 解解， )1(lim0 xxx )1(lim0 xxx0 x是是曲曲线线的的垂垂直直渐渐近近线线， )1(lim xxx曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线xxxx1lim ， 1 )1(limxxxx 0 .是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线xy xy1 o 14例例.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1

6、()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, 1.x是是曲曲线线的的垂垂直直渐渐近近线线 xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx1124lim xxx4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf绘图绘图二二.函数的初等特征：函数的初等特征：. 1奇偶性、周期性奇偶性、周期性轴的交点轴的交点、与与 yx极限：极限：. 2渐近线渐近线:)(. 3xf 单调性、极值点单调性、极值点:)(. 4xf 凹

7、凸性、拐点凹凸性、拐点可适当加一些点，可适当加一些点，使图形更精确使图形更精确5例例.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:d无奇偶性、周期性无奇偶性、周期性)(xf )(xf , 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得得x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0),1)(31(3 xx)31(6 x1232 xx26 x0:补补充充点点),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(cxyo)0,1( a)

8、1 ,0(b)85,23(c11 3131 123 xxxy解解, 0: xd无奇偶性、周期性无奇偶性、周期性)(limxfx 2)1(4lim2 xxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线)(lim0 xfx2)1(4lim20 xxx, 0.x 得得垂垂直直渐渐近近线线.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf6例例2)1(4)(2 xxxf2442 xx)(xf 24x 38x )2(43 xx)(xf 38x 424x 4)3(8xx , 0)( xf令令; 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得x3 2 0)3,( )2, 3( )0 , 2( ), 0( )(xf