闭区间上连续函数性质的证明

1、第七章 实数的完备性一 有界性定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界.ff,ba,ba证明: ，性由连续函数的局部有界使得0),;(,xxmxubax.,);()(baxuxmxfxx,);(baxxuhx考虑开区间集，bah由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然, 2 , 1,);(kibaxxuhhiii的一个有限子集存在(应用有限覆盖定理证明)., 2 , 1)(.,);(kimxfbaxuxiii有ikimm1max令.)();(,mmxfxuxbaxiii必属于某则.,上有界在从而baf二 最大最小值定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值.ff,ba,ba证

2、明: 使得且存在正数覆盖了,21kmmm，ba(应用确界原理证明)，bafbaf有上确界故由确界原理上有界在由于已证得),(,.,.m记为.)(,:mfba使以下证明令都有假设,)(,mxfbax.,)(1)(baxxfmxg，gg，baxg，baxg的一个上界是设上有界在故上连续在则,)(,)(.,)(1)(0baxgxfmxg则.,1)(baxgmxf从而推得.)(),(相矛盾最小上界的上确界为这与bafm.,.)(,上有最大值在即使所以必bafmfba.,上有最小值在同理可证baf三 介值性定理 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 . f)(

3、0 xf,ba),(0bax )()(bfaf)(af)(bf证明: (应用区间套定理证明),)()(),()(xfxgbfaf令不妨设0)(, 0)(,bgag，bag且上的连续函数是则).(0)(),(00根的存在性定理使得即证xgbax;, 0)(,即为所求则若与等分为两个子区间将ccg，bccaba，cabacgcg,0)(, 0)(11时记则当若，bcbacg,0)(11 时记当).(21, 0)(0)(111111abab，babab，gag且则有:,11得到重复上述过程出发再从，ba, 0)(,1111cgcba上有的中点或者在且上满足或者在, 0)(, 0)(,2222bgag

4、ba:将出现两种情形去将上述过程不断进行下，).(21,2221122ababbaba;, 0)()(即为所求则上有在某一区间的中点iiiccgci, 0)()(nniibacgcii则得到闭区间列上均有在任一区间的中点且满足, 0)(. 0)(nnbgag., 2 , 1,0nbax，由区间套定理. 0)(0 xg下证由局部保号性不妨设假设, 0)(. 0)(00 xgxg, 0)(),;(00 xgxu使在其内有),;(,0 xuban，nn充分大时有当由区间套定理推论.0)(,矛盾选取时这与nnnagba. 0)(nag因而有. 0)(0 xg故必有., 2 , 1),(21,11nab

5、ab，babannnnnnn四 一致连续性定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续.ff,ba,ba证明: (应用有限覆盖定理证明)上的连续性在由,baf时有当);(, 0, 0 xxxuxbax.)()(xfxf,)2,(baxxuhx考虑开区间集合由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然，bah, 2 , 1)2,(kixuhhii的一个有限子集存在. 02min.,1ikkba记覆盖了，hxxxbaxx中某个开区间必属于 ,此时有即设，xxxuxiii2),2,(,222 iiiiiixxxxxx.2)()(2)()( iixfxf，xfxf同时有.)()( xfxf由此得.,上一致连

6、续在所以baf二二. . 实实数数基基本本定定理理应应用用举举例例： 例例1 设)(xf是闭区间 , ba上的递增函数, 但不必连续 . 如果aaf)(, bbf)(, 则0 x , ba, 使00)(xxf. ( 山东大学研究生入学试题 ) 证法 一 ( 用确界技术 ) 设集合 , )( | bxaxxfxf. 则fa, f 不空 ; f , ba ,f 有界 . 由确界原理 ,f 有上确界. 设 fxsup0, 则 0 x , ba. 下证 00)(xxf. )(xf递增和00)(xxf, 有)(0 xff)(0 xf, 可见)(0 xf f . 由fxsup0, )(0 xf0 x. 于是 , 只能有00)(xxf. ） 若0 xf , 则存在f 内的数列 nx, 使nx 0 x , ) (n; 也存在数列 nt, ,0btxn nt 0 x ,) (n. 由 f 递增, fxn以及ntf, 就有式 nnnnttfxfxfx)()()(0 对任何n 成立 . 令 n, 得 ,)(000 xx