第一章、第六节极限运算法则

1、第六节第六节 极限运算法则极限运算法则 一、极限运算法则一、极限运算法则 二、求极限方法举例二、求极限方法举例 三、小结三、小结 思考题思考题一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则定理定理则则设设,)(lim,)(limbxgaxf baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)1(baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(则则若若, 0)3( bbaxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则定理定理则则设设,)(lim,)(limbxgaxf baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)

2、1(baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(证明：仅证明结论（证明：仅证明结论（3），并考虑极限过程为），并考虑极限过程为由极限与无穷小的关系，要证明由极限与无穷小的关系，要证明 baxgxf)()(0lim0 xx其中其中 baxgxf)()(或或0 xx 则则若若, 0)3( bbaxgxfxgxf )(lim)(lim)()(limbaxgxf )()(baba )( bbab,)( bbab令令,)(lim0axfxx ,)( axf0lim0 xx其中其中,)( bxg,)(lim0bxgxx 又又0lim0 xx其中其中0)(limlim00 bbabxxxx

3、只只要要证证明明0)(lim0 abxx有有界界即即可可仅仅需需证证明明)(1 bb证明：仅证明结论（证明：仅证明结论（3），并考虑极限过程为），并考虑极限过程为由极限与无穷小的关系，要证明由极限与无穷小的关系，要证明 baxgxf)()(0lim0 xx其中其中 baxgxf)()(或或0 xx ,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界。有界。, 0, 0 b又又, 0 ,00时时当当 xx,2b bbbb21 b21 ,2| b 对于对于baxgxf )()(baba )( bbab,)( bbab令令0)(limlim00 bbabxxxx只只要要证证明明0)(lim0 abxx

4、有有界界即即可可仅仅需需证证明明)(1 bb定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设推论推论1 1则则为常数为常数而而存在存在如果如果,)(limcxf常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果,)(limnxf推论推论2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf 定理定理,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 而而如果如果说明说明： （1）上述关于函数极限的四则运算法

5、则）上述关于函数极限的四则运算法则对数列极限同样成立对数列极限同样成立.ba 则有则有证明：令证明：令)()()(xxxf , 0)( xf则则由极限的保号性有由极限的保号性有, 0)(lim xf而由极限的四则运算性质有而由极限的四则运算性质有)(limxf)()(limxx )(lim)(limxx ba ., 0baba （2）上述运算法则可推广到多个函数的情形）上述运算法则可推广到多个函数的情形.二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xx

6、xxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110000limlim)(limnnnaxaxa 10100).(0 xf nnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00即当即当 f (x) 是一个关于是一个关于 x 的多项式时，有的多项式时，有)()(lim00 xfxfxx 其中其中设设,)()()(. 2xqxpxf )(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqx

7、p ).(0 xf , 0)(0 xq若若nnnaxaxaxp 110)(mmmbxbxbxq 110)(0)(0 xq且且则有则有注意：注意：则上述商的运算法则不能用则上述商的运算法则不能用.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不

8、为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 无穷小分出法无穷小分出法: :以分子和分母中自变量的最高次以分子和分母中自变量的最高次幂除分子幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后

9、再求极限然后再求极限.小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin是有界函数是有界函数而而x例例.sinlimxxx 求求. 0sinlim xxxxxysin xxxsinlim xx

10、xxsinlim1lim 0sinlim0 xx 不存在不存在因为因为xxsinlim 正解正解:, 01lim xx例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故)(xu 运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0

11、 xaxx 意义：意义：，即，即时的极限存在且等于时的极限存在且等于当当axaxxxx )(lim00 ，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点aufaxxau )(lim)(0 ，时的极限也存在时的极限也存在当当则复合函数则复合函数0)(xxxf .)(lim)(lim0aufxfauxx 且且例例7 7.11sinlim20 xxxx求求解解, 11sin)(,)(2 xxxxguuuf令令)11sin(lim)(lim200 xxxxgxx由于由于1 11sinlimlim020 xxxxx11sinlim20 xxxx所以所以uu1lim 11 复合函数极限运算法则的其它几种形

12、式：复合函数极限运算法则的其它几种形式：设设 y = f (u) , u = g(x)，,)(lim)1(0 xgxx若若则则而而,)(limaufu aufxgfuxx )(lim)(lim0,)(lim)2( xgx若若则则而而,)(limaufu aufxgfux )(lim)(lim三、小结三、小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题1 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)