第2节多元函数的概念56910

1、1第二节第二节 多元函数的概念多元函数的概念一、二元函数的定义与几何意义一、二元函数的定义与几何意义例例1 1设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为x, ,y, ,z， 则长方体的体积则长方体的体积 xyzzyxv )0, 0, 0( zyx 当当x, ,y, ,z的值分别给定时，按这个公式，的值分别给定时，按这个公式，v 就有一就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称个确定的值与之相对应，这时我们就称v是是x, ,y, ,z的三的三元函数元函数. . 2一、二元函数的定义与几何意义一、二元函数的定义与几何意义例例2 2在西方经济学中，著名的在西方经济学中，著名的cobbdoug

2、las生产函数为生产函数为, laky l0 0，k0 0分别表示投入的劳力数量和资本数量，分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量表示产量. .当当k, ,l的值给定时，的值给定时，y就有一确定值与就有一确定值与之对应，因此称之对应，因此称y是是k, ,l的二元函数的二元函数. . 以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义. . 这里这里 为常数，为常数， ,a3 设设 d 是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点dyxp ),(， 变量， 变量z按照一定的法则总有确定的值按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称

3、和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念变量等概念. . 定义定义( , )( ) ,zf x yf pdyx ),(一、二元函数的定义与几何意义一、二元函数的定义与几何意义4二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.二元函数的图形二元函数的图形5xyzoxyzsin 再如再如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,球面球面.|

4、 ),(222ayxyxd 222yxaz 222yxaz 单值分支单值分支:6解解 01|3|222yxyx 22242 yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定义域的定义域例例3 3xyo227二、二元函数的极限二、二元函数的极限设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxp的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义, ,如如果果存存在在常常数数a，对对0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定义定义， |),(|ayxf则称函数则称函数),(yxfz

5、当当),(),(00yxyx时以时以a为极为极限限, ,记为记为 .),(lim),(),(00ayxfyxyx 8证证证明证明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0 , ，时时当当 )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx证毕证毕* *例例4 4恒有恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小无穷小乘以有界变量仍为无穷小. .9例例5 52222)0,0(),(cos1limyxyxyx 2222)0,0(),(2/ )(limyxyxyx .21 在二元极限中，变量

6、替换、等价无穷小替换在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用等方法仍然可以使用. .10例例6 6求求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解解由基本不等式由基本不等式, )(21|22yxxy 知知22222221()|22x yx xyxxyxy|0,2x|02x)0 , 0(),(yx由夹逼定理，由夹逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx222|,22xx yxxy11 在一元函数的极限中在一元函数的极限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函数的极限中在二元函数的极限中, ,),(),(000yxpyx

7、p的方式更为的方式更为复杂复杂, ,它要求它要求p以任何方式趋于以任何方式趋于0p时时, , ),(yxf均趋于均趋于a. .因此因此, ,假如假如p以不同的方式趋于以不同的方式趋于0p时时, ,),(yxf趋于不趋于不同的极限同的极限, ,则说明则说明),(yxf当当0pp 时无极限时无极限. . (1) 令令),(yxp沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxp, 若若极极限限值值与与 k 有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； 确定二重极限确定二重极限不存在不存在的方法：的方法：(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使 存在存在, 但两者不相等但两者不相等, 此时也

8、可断言此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处处极限不存在极限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx12考考察察22),(yxxyyxf 当当)0 , 0(),(yx时时的的极极限限. . 但但如如果果沿沿射射线线)0( kkxy, ,则则 因因此此, ,当当)0 , 0(),(yx时时, ,22yxxy 无无极极限限. . 例例7 7解解沿沿 x 轴考察轴考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx沿沿 y 轴考察轴考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220li

9、mxkxkxx ，012 kk13设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxp的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义, ,若若 三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则则称称),(yxfz 在在),(00yx处处连连续续. . 一切二元初等函数在其定义域内都是连续的一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，例如，函函数数221yxz 在在1| ),( 22 yxyxd 内连续内连续. . 14讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性例例8 8故

10、在故在)0 , 0(处不连续处不连续. . 15在在)0 , 0(处处连连续续. . 注意比较：注意比较： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf( (见例见例6)6)讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性例例8 8 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf16xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.例例9 9所以对多元初等函数来说所以对多元初等函数来说, , 可以用可以用“代入法代入法”求极求极限限. .yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例例101017二元连续函数的性质二元连续函数的性质（3 3）最值定理）最值定理 在有界闭区域在有界闭区域d上的多元连续函数，上的多元连续函数，必定在必定在d上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值（4 4）介值定理）介值定