第一型曲面积分北工大

1、一、第一型曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式三、奥高公式四、斯托克斯公式四、斯托克斯公式一、第一型曲面积分一、第一型曲面积分. .实例实例分割分割取近似取近似求和求和.),(1 nkkkkksm 取极限取极限.),(lim10 nkkkkksm 设在三维空间设在三维空间 中有光滑中有光滑3r或者逐片光滑的曲面或者逐片光滑的曲面s,s,函数函数 在曲面在曲面s s上有定义。首先，用上有定义。首先，用曲面曲面s s上的曲线网，将曲面上的曲线网，将曲面s s任意分成任意分成n n个个小曲面：小曲面：,21nsss),(zyxf将此分法表为将此分法表为t t，设

2、第，设第k k个小曲面个小曲面 的面积是的面积是ks,k 在第在第k k个小曲面个小曲面 上任取一点上任取一点ks),(kkkkp 作和作和,),(1knkkkknfq 称为函数称为函数 在曲面在曲面s s的积分和。令的积分和。令)(,),(),(max)(21nsdsdsdt ),(zyxf2.2.定义定义 设函数设函数 在光滑曲面或逐片光在光滑曲面或逐片光0)(t ,),(limlim0)(0)(lfqkkkktnt 则称则称l l是函数是函数 在曲面在曲面s s的的第一型第一型曲面曲面,),( dzyxfls 其中其中是曲面是曲面s s的的面积微元面积微元。 d滑曲面滑曲面s有定义。有定

3、义。若当若当 时，函数时，函数在曲面在曲面s的积分和存在极限的积分和存在极限l l，即，即积分积分，记为，记为),(zyxf),(zyxf),(zyxf则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21sss 1d),(szyxf szyxf d),(3. 3. 第一型曲面积分的性质第一型曲面积分的性质 2d),(szyxf 4. 4. 第一型曲面积分的几何意义第一型曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面s s的面积的面积: : sa d1dyd122xzzdyx 时时，当当1),( zyxf定理定理1 1 若曲面块若曲面块s: s: ,),(dvu 是光滑或者逐片光滑的，其中是光滑或者逐

4、片光滑的，其中d d是有是有 dzyxfs ),(,),(),(),(2dudvfegvuzvuyvuxfd 其中其中,222uuuzyxe , zzyyxxfuvuvu .222vvvzyxg 界闭区域。函数界闭区域。函数 在曲面在曲面s s连续，则函数连续，则函数在在s s的第一型曲面积分存在，且的第一型曲面积分存在，且),(),(),(vuzzvuyyvuxx ),(zyxf),(zyxf5 5、曲面积分的计算法、曲面积分的计算法, yxf szyxf d),(则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：yxzzyxdd1d22 ),(yxzyxzzyxdd122

5、 xyd:s若若曲曲面面),(yxzz (1).(1).其它情形曲面积分的计算法其它情形曲面积分的计算法设设s s在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,xydxoy ,zxf szyxf d),( ,zyf szyxf d),(xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 ：若曲面若曲面 s(3).(3).),(zyxx (2).(2).:s若若曲曲面面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 设设s s在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,则则设设 s s 在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,则则xozyozxzdyzd例例 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中s s

6、是球面是球面解解hxyzoaaa面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 xoys. :222yxazs . :2222hayxdxy ,222yxaxzx .222yxayzy , szd 2222azyx )0( ahhz 被平面被平面 所截的顶部所截的顶部).(hz dxdyyxzyxzdyx ),(),(122 .222dxdyyxaa szd dxdyyxaayxaxyd2222221 dxdyyxaaxyd 1222 hxyzoaaa .0,20:22hardxy szd dxdyyxaaxyd 1222 hxyzoaaa .0,20:22hardxy .sin,cos ryrxdrrr

7、adaha 1 2202220 .ln2haa )( 1 )21(220222022radradaha 200 2222)ln(2draaha 20ln22dhaa例例计算曲面积分其中曲面计算曲面积分其中曲面s s是螺旋面是螺旋面 szd , )20 ;0(,sin,cos arzryrx的一部分的一部分例例 计算下列第一型曲面积分计算下列第一型曲面积分. . sdszyx,)()1(其中其中s s是上半球面是上半球面).0(2222 zazyx sdsyx,)()2(22其中其中s s为立体为立体122 zyx的边界曲面的边界曲面 syxds,)3(22其中其中s为柱面为柱面222ryx 被

8、平面被平面 所截取的部分所截取的部分例例hzz , 0解解投影域投影域 25| ),(22 yxyxdxy,5:yzs 积分曲面积分曲面 dxdyzzdyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy sdzyx )(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(25 2xyxydddxdyxdxdy.2125 .0dd xydyxx解解 依依对称性对称性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.为为偶偶函函数数、关关于于xy ,d|sxyz计算计算).10(22 zyxz为抛物面为抛物面其中其中例例面均对称；面均对称；面、面、关于关于yozxoz抛物面抛物面有有被积函数被积函数1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.xyzoyxyxsdd)2()2(1d22 sxyzd41