矿大高数91二重积分的概念与性质

1、1柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出第一节 二重积分的概念与性质2求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfa)( 、分割、分割1niiaa1、近似、近似2、求和、求和3niiaa1niiixf1)( 、取极限、取极限4iniixfa10)(lim ),max(nxxx21 上任一点上任一点为为,iiiiiixxxxx11 dxxfba)(3 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求分割、近似、求和、取极

2、限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示4步骤如下：步骤如下：xzyod),(yxfz i),(ii.),(lim10iiniifv niivv1、分割、分割1、近近似似2kkkkfv ),(、求和、求和3nkkkkfv1 ),(、取极限、取极限4)(maxknk 15 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii.),(lim10iiniim xyo、分割、分割1niim

3、m1、近似、近似2kkkkm ),(、求和、求和3nkkkkm1 ),(、取极限、取极限46定定义义 设设),(yxf是是有有界界闭闭区区域域d上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域d任任意意分分成成 n个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ， 其其中中i 表表示示第第 i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的面面积积，在在每每个个i 上上任任取取一一点点),(ii ， 作作乘乘积积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并并作作和和 iiniif ),(1， 二、二重积分的概念7如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时， 这和式

4、的极限存在， 则称此极限为函数时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分， 记为记为 ddyxf ),(， 即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 8(1) 定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的， (2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.说明：说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义的选取无关；的选取无关；与分划及与分划及有关有关及及),(,),(iidyxf 积分值只与积分值只与 ddy

5、xfv ),(ddyxm ),(01),()(yxfzxyz),(yxfz dvdyxfd),(902),()(yxfz),(yxfz dvdyxfd ),(上变号上变号在在dyxfz),()(3.),(下下方方柱柱体体的的体体积积面面上上方方柱柱体体的的体体积积减减去去等等于于xoydyxfd 10性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质11性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),

6、(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，.1 dddd 性质性质 若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有12 设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） dmdyxfm),( ),(),(fdyxfd（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）13解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 d 内内有有 e

7、yx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 ddyx )ln( ddyx 2)ln(.oxy121d14例例2.2.比较下列积分的大小比较下列积分的大小,)(,)( dyxdyxdd32其中其中21222)()(:yxd解解: : 积分域积分域 d d 的边界为圆周的边界为圆周1 yx1 10 1 2 0 1 2 3 3d dxy32)()(yxyx21222)()(yx它与它与 x 轴交于点（轴交于点（1 1，0 0）与直线）与直线1 yx而域而域d d位于直线的上方位于直线的上方, , 故故 1 yx从而从而 dyxdyxdd32)()(相切相切. .15136110p习题)4)(1(5 , 416 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示17 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示18 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示19 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示20