华师大年级下27.2用推理方法研究三角形

1、27.2用推理方法用推理方法研究三角形研究三角形1. 1. 等腰三角形等腰三角形等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等那么这两个角所对的边也相等 （简写成（简写成“等角对等边等角对等边”）abcd等腰三角形的性质定理：等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简写成（简写成“等边对等角等边对等角”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合的中线、底边上的高互相重合 （简写成（简写成“等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一”

2、） 我们曾经通过画图、比较，发现：我们曾经通过画图、比较，发现： 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的现在有了等腰三角形的性质定理，就可的现在有了等腰三角形的性质定理，就可以用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性以用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性斜边、直角边定理斜边、直角边定理 如果两个直角三角形的斜边及如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为（个直角三角形全等简记为（h.l.h.l.）练练 习习1.1.

3、求证：等边三角形的各角都相等，求证：等边三角形的各角都相等， 并且每一个角都等于并且每一个角都等于60602.2.求证：三个角都相等的三角形是等边求证：三个角都相等的三角形是等边 三角形三角形2.2.角平分线角平分线已知已知: :如图如图,oc,oc是是aobaob的平分线的平分线,p,p是是ococ上任上任意一点意一点,pdoa,peob,pdoa,peob,垂足分别是垂足分别是d,e.d,e.求证求证:pd=pe.:pd=pe.w角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等. .12ocbapde几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 角平分线上的点到这个角的两

4、边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等. .提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一如图如图, ,ococ是是aobaob的平分线的平分线,p,p是是ococ上上任意一点任意一点,pdoa,peob,pdoa,peob,垂足垂足分别是分别是d,e(d,e(已知已知) )pd=pe(pd=pe(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).12ocbapde命题：命题： 到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在这在这个角的平分线上个角的平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?已知已知: :如图如图,pa=pb, pdoa,pe

5、ob,pa=pb, pdoa,peob,垂足分别是垂足分别是d,e.d,e.求证求证: :点点p p在在aobaob的平分线上的平分线上. .12ocbapde定理定理 到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在这在这个角的平分线上个角的平分线上. .如图如图, ,pa=pb, pdoa,peob,pa=pb, pdoa,peob,垂足分别是垂足分别是d,e(d,e(已知已知),),点点p p在在aobaob的平分线上的平分线上. .( (到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在在这个角的平分线上这个角的平分线上).).12ocbapde尺规作图尺规作图1l已知已知:ao

6、b,:aob,如图如图. .l求作求作: :射线射线oc,oc,使使aoc=boc.aoc=boc.l作法作法: :l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .l1.1.在在oaoa和和obob上分别截取上分别截取od,oe,od,oe,使使od=oe.od=oe.l2.2.分别以点分别以点d d和和e e为圆心为圆心, ,以大于以大于de/2de/2长长为半径作弧为半径作弧, ,两弧在两弧在 aobaob内交于点内交于点c.c.l3.3.作射线作射线oc.oc.提示提示: :作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图, ,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握. .abocl则射

7、线则射线ococ就是就是aobaob的平分线的平分线. .de3.线段的垂直平分线w我们曾经利用折纸的方法得到我们曾经利用折纸的方法得到: :w线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等. .w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗? ?已知已知: :如图如图,ac=bc,mnab,p,ac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点. .求证求证:pa=pb.:pa=pb.acbpmn几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等条线段两个端点距离相等. .w如图如图, ,

8、wac=bc,mnab,pac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点( (已知已知),),wpa=pb(pa=pb(线段垂直平分线上线段垂直平分线上w的点到这条线段两个端点的点到这条线段两个端点w距离相等距离相等).).acbpmnw命题命题 到一条线段两个端点距离相等的到一条线段两个端点距离相等的点点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?abp已知已知: :如图如图,pa=pb.,pa=pb.求证求证: :点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上. .定理定理 到一条线段两个端点距离相等的到一条线段两个端点距离相等

9、的点点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .acbpmnw如图如图, ,wpa=pb(pa=pb(已知已知),),w点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条线段两到一条线段两个端点距离相等的点个端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分在这条线段的垂直平分线上线上).).尺规作图尺规作图2l已知已知: :线段线段ab,ab,如图如图. .l求作求作: :线段线段abab的垂直平分线的垂直平分线. .l作法作法: :l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线. .l1.1.分别以点分别以点a a和和b b为圆心为圆心, ,以大于以大于ab/2a

10、b/2长为半径作弧长为半径作弧, ,两弧交于点两弧交于点c c和和d.d.abcdl2. 2. 作直线作直线cd.cd.l则直线则直线cdcd就是线段就是线段abab的垂直平分线的垂直平分线. .提示提示: :因为直线因为直线cdcd与线段与线段abab的交点就是的交点就是abab的的中点中点, ,所以我们也用这种方法作线段的所以我们也用这种方法作线段的中点中点. . 随堂练习随堂练习1.1.如图如图, ,已知已知abab是线段是线段cdcd的垂直平的垂直平分线分线,e,e是是abab上的一点上的一点, ,如果如果ec=7cm,ec=7cm,那么那么ed=ed= cm;cm;如果如果ecd=6

11、0ecd=600 0, ,那么那么edc=edc= 0 0. .edabc7602.2.已知已知: :如图如图, ,在在abcabc中中,ad,ad是它的角平分线是它的角平分线, ,且且bd=cd,deab,dfac,bd=cd,deab,dfac,垂垂足分别是足分别是e,f.e,f.求证求证:eb=fc. :eb=fc. baedcf3.3.已知直线和上一点已知直线和上一点p,p,利利用尺规作的垂线用尺规作的垂线, ,使它经使它经过点过点p.p.p l4. 4. 如图如图, ,求作一点求作一点p,p,使使pc=pd,pc=pd,并且点并且点p p到到aobaob的的两边的距离相等两边的距离相等. . cdabo5. 5. 如图如图, ,a,ba,b表示两个仓库表示两个仓库, ,要要在在a,ba,b一侧的河岸边建造一个码一侧的河岸边建造一个码头头, ,