人教版高中数学选修11：3.4 生活中的优化问题举例 课堂10分钟达标 3.4 Word版含解析

1、起课堂10分钟达标1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为()a.4b.6c.4.5d.8【解析】选a.设底面边长为x,高为h,则v(x)=x2·h=256,所以h=256x2,所以s(x)=x2+4xh=x2+4x·256x2=x2+4×256x,所以s(x)=2x-4×256x2.令s(x)=0,解得x=8,所以h=25682=4.2.某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)=x260-x2(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()a.30b.40c.50d.20【解析】选b.v(x)=60x-32x2=0,

2、x=0或x=40.x(0,40)40(40,60)v(x)+0-v(x)单调递增极大值单调递减可见当x=40时,v(x)达到最大值.3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()a.13万件b.11万件c.9万件d.7万件【解析】选c.y=-x2+81,令y=0,解得x=9或x=-9(舍去),当0<x<9时,y>0;当x>9时,y<0.所以当x=9时,y取得最大值.4.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.()现有下列四种说法:前四

3、年该产品产量增长速度越来越快;前四年该产品产量增长速度越来越慢;第四年后该产品停止生产;第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有()a.b.c.d.【解析】选b.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,是正确的.5.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产()a.9千台b.8千台c.6千台d.3千台【解析】选c.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求导得y=36x-6x2,令y=0,得x=6或x=0(舍去

4、).6.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8(0<x120).已知甲、乙两地相距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=1128 000x3-380x+8×100x=11 280x2+800x-154(0<x120),h(x)=x640-800x2=x3-803640x2(0<x120).令h(x)=0,得x=80.因

5、为x(0,80)时,h(x)<0,h(x)是减函数;x(80,120)时,h(x)>0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).因为h(x)在(0,120上只有一个极小值,所以它是最小值.答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.7.【能力挑战题】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得101000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f(x)

6、,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:f(x)=x150+2;f(x)=4lgx-2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:当x10,1000时,f(x)是增函数;f(x)1恒成立;f(x)x5恒成立,(2)对于函数模型f(x)=x150+2:当x10,1000时,f(x)是增函数,则f(x)1显然恒成立,而若使函数f(x)=x150+2x5在10,1000上恒成立,整理即29x300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)x5不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型f(x)=4lgx-2:当x10,1000时,f(x)是增函数,则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.所以f(x)1恒成立.设g(x)=4lgx-2-x5,则g(x)=4lgex-15.当x10时,g(x)=4lgex-152lge-15=lge2-15<0,所以