高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程学案 新人教A版选修11

1、高中数学选修精品教学资料高中数学高中数学 2.3.12.3.1 抛物线及其标准方程学案抛物线及其标准方程学案 新人教新人教 a a 版选修版选修 1-11-1基础梳理1抛物线的定义及标准方程(1)平面内到一个定点f和一条定直线l(fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点f叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程(请同学们自己填写下面表格中的内容)：2.关于抛物线的定义要注意点f不在直线l上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线3关于抛物线的标准方程在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程

2、不含常数项,形式更为简单,便于应用由于选取坐标系时,坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的共性与区别在于：(1)p的几何意义相同,焦参数p是焦点到准线的距离,所以p恒为正数；(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.,自测自评1已知抛物线的焦点是(0,14),则抛物线的标准方程是(a)ax2ybx2ycy2xdy2x2抛物线x216y的焦点坐标是(0,4)3若动点p到定点f(4,0)的距离与到直线x4 的距离相等,则p点的轨迹是抛物线解析：由抛物线的定义：到定点f的

3、距离与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线1(2013惠州一模)设抛物线的顶点为原点,准线方程为x2,则抛物线的方程是(b)ay28xby28xcy24xdy24x2 从抛物线y24x上一点p引其到准线的垂线,垂足为m,设抛物线的焦点为f,且|pf|5,则mpf的面积为(d)a5 6b.25 34c20d10解析：依题意设py204，y0,则|pf|pm|y20415,y04,smpf12|pm|y0|10.3若动点m(x,y)到点f(4,0)的距离比它到直线x50 的距离小 1,则m点的轨迹方程是_解析：依题意,得点m(x,y)到点f(4,0)的距离等于它到直线x40 的距离根据抛物线的定义,

4、知p24,p8,故所求的方程为y216x.答案：y216x4 若抛物线y22px(p0)上有一点m,其横坐标为9,它到焦点的距离为 10,求抛物线方程和点m的坐标解析：由抛物线定义,设焦点为f(p2,0)则准线为xp2,过m作mnl,垂足为n,则|mn|mf|10.即p2(9)10,p2.故抛物线方程为y24x.将m(9,y)代入抛物线方程得y6.m(9,6),或m(9,6)5 抛物线的焦点f在x轴上,直线y3 与抛物线相交于点a,|af|5,求抛物线的标准方程解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0),a(m,3)则由抛物线的定义得 5|af|mp2|,又(3)22pm

5、.所以,p1 或p9.故所求抛物线的方程为y22x或y218x.1抛物线y4x2的焦点坐标为(b)a(1,0)b.0，116c(0,1)c.18，02顶点为原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(3,2),则它的方程是(a)ax292y或y243xby292x或x243ycx243ydy292x3若抛物线y22px的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合,则p的值为(d)a2b2c4d44到定点(3,5)与定直线 2x3y210 的距离相等的点的轨迹是(d)a圆b抛物线c线段d直线解析：点(3,5)在直线 2x3y210 上,所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线5已

6、知抛物线关于x轴对称,它的定点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0),若点m到该抛物线焦点的距离为 3,则|om|(b)a2 2b2 3c4d2 5解析：利用抛物线的定义求解由题意设抛物线方程为y22px(p0),则m到焦点的距离为 2p23,p2,y24x.y2042,y02 2,|om| 4y20 482 3.6 设斜率为 2 的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f,且和y轴交于点a,若oaf(o为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为(b)ay24xby28xdy24xdy28x解析：抛物线y2ax(a0)的焦点f坐标为a4，0,则直线l的方程为y2xa4 ,它与y轴的交点为a0，a2

7、 ,所以oaf的面积为12|a4|a2|4,解得a8.所以抛物线方程为y28x,故选 b.7抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设抛物线上的点m(m2,m),抛物线的准线方程为x14,根据题意,得 （m2）2m2|m214|.解得m24.答案：18，248已知圆x2y26x70 与抛物线y22px(p0)的准线相切,则p_解析：将圆的方程化为标准方程(x3)2y216,圆心为(3,0),半径r4.又抛物线的准线为xp2.所以,根据题意,得|3p2|4.p0,解得p2.9 已知动点p到点(3,0)的距离比它到直线x2 的距离大 1,则点p的轨迹方程为_解析：由题意可知点p到(

8、3,0)的距离与到x3 的距离相等,故p的轨迹是抛物线,p6,方程为y212x.答案：y212x10o为坐标原点,f为抛物线c：y24 2x的焦点,p为c上一点,若|pf|4 2,则pof的面积为_解析：如图,设点p的坐标为(x0,y0),由|pf|x0 24 2,得x03 2,代入抛物线方程得y204 23 224,所以|y0|2 6,所以spdf12|of|y0|12 22 62 3.11求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线上一点p(5,2 5)到焦点f(x,0)的距离为 6；(2)过抛物线y22mx的焦点f作x轴的垂线交抛物线于a、b两点,且|ab|6.解析：(1)由题意 （5

9、x）2（2 5）26,解得x1或当x9时,抛物线焦点为f(9,0),其标准方程y236x,则(5,2 5)不在抛物线上,故舍去当x1 时,抛物线焦点为f(1,0),其标准方程为y24x；故所求抛物线的标准方程为y24x.(2)设抛物线的准线为l,交x轴于k点,l的方程为xm2,作aal于a,bbl于b,则|af|aa|fk|m|,同理|bf|m|.又|ab|6,则 2|m|6,2m6,故抛物线方程为y26x.12一辆卡车高 3 m,宽 1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱宽ab恰好是拱高cd的 4 倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值解析：以拱顶为原点,拱高所在

10、直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x22py(p0),则点b的坐标为(a2,a4),由点b在抛物线上,得(a2)22p(a4),pa2,所以抛物线方程为x2ay.将点e(0.8,y)代入抛物线方程,得y0.64a.由点e到拱底ab的距离为a4|y|a40.64a3.解得a12.21,或a0.21(舍去)a取正数,a的最小整数值为 13 m.体验高考1(2014安徽卷)抛物线y14x2的准线方程是(a)ay 1by 2cx 1dx 2解析：选 a.由y14x2,得x24y,焦点在y轴的正半轴上且 2p4,所以p2.因此准线方程为y p2 1.2(2014辽宁卷)已知点a(2,3

11、)在抛物线c：y22px的准线上,记c的焦点为f,则直线af的斜率为(c)a43b1c34d12解析：点a(2,3)在抛物线c的准线上,p22,p4.抛物线的方程为y28x,则焦点f的坐标为(2,0) 又a(2,3),根据斜率公式得kaf0322 34.3 (2014新课标全国卷)已知抛物线c：y2x的焦点为f,a(x0,y0)是c上一点,|af|54x0,则x0(c)a4b2c1d8解析：如图,f14，0,过a作aa准线,|af|aa|,54x0 x0p2x014,x01.4 (2014辽宁卷)已知点a(2,3)在抛物线c：y2px的准线上,过点a的直线与c在第一象限相切于点b,记c的焦点为f,则直线bf的斜率为(d)a.12b.23c.34d.43解析：抛物线y2px的准线为直线x p2,而点a(2,3)在准线上,所以 p2 2,即p4,从而c：y28x,焦点为f(2,0)设切线方程为y3k(x2),代入y28x得k8y2y2k30(k0)由于14k8(2k3)0,所以k2 或k12.因为切