第八章二重积分的计算2

1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院rxdtdxemail:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄. 微积分微积分. 中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学. 高等数学高等数学. 高等教育出版社高等教育出版社微积分第八章第八章 多元函

2、数多元函数 空间解析几何简介空间解析几何简介 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 偏导数偏导数 全微分全微分 复合函数的微分法复合函数的微分法 隐函数的微分法隐函数的微分法 二元函数的极值二元函数的极值 二重积分二重积分微积分8-9 8-9 二重积分二重积分微积分iiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,)(212iiiiirrr .)sin,cos(),( ddrdrdrrfdxdyyxf aodiiiiirr iirrr二重分积的计算法（二重分积的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算

3、二重积分微积分二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极点在区域之外极点在区域之外ado)(1 r)(2 r ).()(,| ),(21 rrd drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfdaod)(1r)(2r微积分二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图（区域特征如图（极点在极点在d d的边界上的边界上）aod)(r).(0 ,0| ),( rrd drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(0 rdrrrfd微积分二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二

4、次积分的公式（）区域特征如图（区域特征如图（极点在极点在d d的内部的内部）doa)(r).(0 ,20| ),( rrd drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. drdrd 微积分例例1 1 写写出出积积分分 ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxd 10 x.解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx1 yx122 yx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, ddxdyyxf),(.

5、)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd微积分例例 2 2 计算计算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在极坐标系下在极坐标系下dxdyedyx 22 arrdred0202).1(2ae .0 ,20| ),(arrd 微积分例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221ryxyxd s1d2d2| ),(2222ryxyxd 0 ,0| ),(ryrxyxs 0, 0 yx显显然然有有 21dsd , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye

6、22.222 dyxdxdye微积分又又 syxdxdyei22 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe 1i 122dyxdxdye rrrdred0022);1(42re 同理同理 2i 222dyxdxdye);1(422re ,21iii );1(4)()1(4222220rrxredxee 当当 r时时,41 i,42 i微积分故故当当 r时时,4 i即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .例例 4 4 计算计算dxdyyxd)(22 ，其，其 d 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ， 03 xy 所围

7、成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 解解03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 微积分yyx222 sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 ddxdyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxd. 解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分，14dd 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性.微积分 ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 例

8、例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14dd 在在极极坐坐标标系系下下,222arayx )(2)(222222yxayx ,2cos2 ar 微积分由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aa, 所求面积所求面积 ddxdy 14ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例例7 计算计算rxyxddyxrd 22222:, 解解rdrrrdir 22cos022 2223220cos)(31 drrr微积分 22232223)cos(31 drrr drsi

9、n1 32233 2033)sin1(32 dr)34(33 r|)sin|)(sin(3232 注意注意微积分思考题思考题 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdia二、小结二、小结二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd （在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）微积分思考题解答思考题解答oxy cosar adararccos ararccos ,cos022:

10、ard.),(arccosarccos0 araradrfdri 微积分练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积

11、分为为_._.微积分5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 ddyx )1ln(22, ,其中其中d是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 ddyx )(22其中其中d是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 ddyxr 222, ,其中其中d是由圆周是由圆周 rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、

12、 ddyx 222, ,其中其中d: :322 yx. .微积分三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdi交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域d是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .微积分练习题答案练习题答案一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd； 3 3、 sec2034)(rdrrfd； 4 4、 sectansec40)si