人教版高中数学选修11课后提升作业 十三 2.2.2.1 Word版含解析

1、起课后提升作业 十三双曲线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若实数k满足0<k<5,则曲线x216-y25-k=1与曲线x216-k-y25=1的()a.实半轴长相等b.虚半轴长相等c.离心率相等d.焦距相等【解析】选d.因为0<k<5,所以两方程都表示双曲线,由双曲线中c2=a2+b2得其焦距相等.2.等轴双曲线的一个焦点是f1(-6,0),则它的标准方程是()a.y218-x218=1b.x218-y218=1c.x28-y28=1d.y28-x28=1【解析】选b.设等轴双曲线方程为x2a2-y2a2=1(a>0),所以a

2、2+a2=62,所以a2=18,故双曲线方程为x218-y218=1.【补偿训练】以椭圆x216+y29=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为()a.x216-y248=1b.y29-x227=1c.x216-y248=1或y29-x227=1d.以上都不对【解析】选c.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=43,双曲线方程为x216-y248=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=33,双曲线方程为y29-x227=1.3.(2015·全国卷)已知m(x0,y0)是双曲线c:x22-y2=1上的一点,f1,f2是c的左、右两个焦点.若mf1&

3、#183;mf2<0,则y0的取值范围是()a.-33,33b.-36,36c.-223,226d.-233,233【解析】选a.由双曲线方程可知f1(-3,0),f2(3,0),因为mf1·mf2<0,所以(-3-x0)(3-x0)+(-y0)(-y0)<0.即x02+y02-3<0,所以2+2y02+y02-3<0,y02<13,所以-33<y0<33.4.(2016·浙江高考)已知椭圆c1：+y2=1(m>1)与双曲线c2：-y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则( )am>

4、;n且e1e2>1bm>n且e1e2<1cm<n且e1e2>1dm<n且e1e2<1【解析】选a.由题意知m2-1=n2+1，即m2=n2+2，(e1e2)2= ，因为m2=n2+2，m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1，所以e1e2>15.(2016·吉林高二检测)已知双曲线x29-y2m=1的一个焦点在圆x2+y2-4x-5=0上,则双曲线的渐近线方程为()a.y=±34xb.y=±43xc.y=±223xd.y=±324x【解析】选b.因为方程表示双曲线,所

5、以m>0,因为a2=9,b2=m,所以c2=a2+b2=9+m,所以c=9+m.因为双曲线的一个焦点在圆上,所以9+m是方程x2-4x-5=0的根,所以9+m=5,所以m=16,所以双曲线的渐近线方程为y=±43x.【补偿训练】(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1【解析】选c.由双曲线的焦点在y轴上,排除a,b;对于d,渐近线方程为y=±12x,而对于c,渐近线方程为y=±2x.6.若双曲线y25-x2m=1的渐近线

6、方程为y=±53x,则双曲线焦点f到渐近线的距离为()a.2b.3c.4d.5【解析】选b.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,所以ab=5m=53.所以m=9.所以双曲线的焦点为(0,±14),焦点f到渐近线的距离为d=3.7.(2016·郑州高二检测)双曲线x24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()a.25b.45c.255d.455【解析】选c.双曲线的渐近线为直线y=±12x,即x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为d=|±2±0|5=255.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b

7、>0)的两条渐近线均与c:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于()a.355b.62c.32d.55【解析】选a.圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为c(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±bax,不妨取y=bax,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=|3b|a2+b2=2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=45a2=c2-a2,即95a2=c2,所以e2=95,e=355,选a.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·全国卷)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=&#

8、177;12x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±12x,可设双曲线的方程为x24-y2=m,把(4,3)代入x24-y2=m,得m=1.答案:x24-y2=1【延伸探究】求双曲线方程的两个关注点1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程x2a2-y2b2=(0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.10. (2016·北京高考)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0，一个

9、焦点为(,0)，则a= ，b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x，焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x，所以=2.焦点(,0) ，所以c=.所以a2+b2=c2=5.由联立解得a=1,b=2.答案：1 2三、解答题(每小题10分,共20分)11.设双曲线x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为34c,求双曲线的离心率.【解题指南】由截距式得直线l的方程,再由双曲线中a,b,c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而求出离心率.【解析】由l过两点(a,0),(0,b

10、),得l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为34c,得aba2+b2=34c.将b=c2-a2代入,平方后整理,得16a2c22-16×a2c2+3=0.令a2c2=x,则16x2-16x+3=0,解得x=34或x=14.由e=ca有e=1x.故e=233或e=2.因为0<a<b,故e=ca=a2+b2a=1+b2a2>2,所以e=233应舍去,故所求离心率e=2.12.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,f1,f2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点p,f1pf2=3,且pf1f2的面积为23,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.

11、【解析】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),f1(-c,0),f2(c,0),p(x0,y0).在pf1f2中,由余弦定理,得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|·|pf2|·cos3=(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|·|pf2|,即4c2=4a2+|pf1|·|pf2|.又因为spf1f2=23,所以12|pf1|·|pf2|sin3=23.所以|pf1|·|pf2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.又因为e=ca=2,所以a2=23.所以双曲线的标准方程为x223-y22=1.【能力挑战题】已知双曲线x23-y2b2=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程.(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为x23-y2b2=1,所以c2=a2+b2=3+b2