高中数学人教A版选修11学业分层测评19 生活中的优化问题举例 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为()a6 mb8 mc4 md2 m【解析】设底面边长为x m,高为h m,则有x2h256,所以h.所用材料的面积设为s m2,则有s4x·hx24x·x2x2.s2x,令s0得x8,因此h4(m)【答案】c2某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入r与年产量x(0x390)的关系是r(x)400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()a150b200c250d

2、300【解析】由题意可得总利润p(x)300x20 000,0x390.由p(x)0,得x300.当0x300时,p(x)0；当300x390时,p(x)0,所以当x300时,p(x)最大故选d.【答案】d3某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()a32,16b30,15c40,20d36,18【解析】要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长l2x(x0),则l2.令l0,得x16或x16(舍去)此时长为32(米),可使l最小【答案】a4

3、某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p元,销售量为q件,且销量q与零售价p有如下关系：q8 300170pp2,则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()a30元b60元c28 000元d23 000元【解析】毛利润为(p20)q,即f(p)(p20)(8 300170pp2),f(p)3p2300p11 7003(p130)(p30)令f(p)0,得p30或p130(舍去)又p20,),故f(p)maxf(p)极大值,故当p30时,毛利润最大,f(p)maxf(30)23 000(元)【答案】d5三棱锥oabc中,oa,ob,oc两两垂直,oc2x,oax,ob

4、y,且xy3,则三棱锥oabc体积的最大值为()a4b8c. d.【解析】v×·y(0x3),v2xx2x(2x)令v0,得x2或x0(舍去)x2时,v最大为.【答案】c二、填空题6做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为_【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则vr2l27,所以l.要使用料最省,只需使圆柱表面积最小s表r22rlr22·,令s表2r0,得r3,即当r3时,s表最小【答案】37已知某矩形广场面积为4万平方米,则其周长至少为_米. 【导学号：26160099】【解析】设广场的长为x米,则宽为米,于是其周长为y2

5、(x>0),所以y2,令y0,解得x200(x200舍去),这时y800.当0<x<200时,y<0；当x>200时,y>0.所以当x200时,y取得最小值,故其周长至少为800米【答案】8008某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1,每月库存货物的运费y2k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2

6、是比例系数,于是由2得k120；由810k2得k2.两项费用之和为y(x0),y,令y0,得x5或x5(舍去)当0x5时,y0；当x5时,y0.当x5时,y取得极小值,也是最小值当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小【答案】5三、解答题9(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本c(x)200xx3(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？【解】设该厂生产x件这种产品利润为l(x),则l(x)500x2 500c(x)500x2 50030

7、0xx32 500(xn),令l(x)300x20,得x60(件),又当0x60时,l(x)>0,x>60时,l(x)<0,所以x60是l(x)的极大值点,也是最大值点所以当x60时,l(x)max9 500元10用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积【解】设容器底面较短的边长为x m,则容器底面较长的边长为(x0.5)m,高为3.22x(m),由3.22x>0和x>0,得0<x<1.6.设容器容积为y m3,则yx(x0.5)(3.22x)

8、2x32.2x21.6x(0<x<1.6),y6x24.4x1.6.令y0,得x11,x2(舍去),当0<x<1时,y>0；当1<x<1.6时,y<0,所以在x1处y有最大值,此时容器的高为1.2 m,最大容积为1.8 m3.能力提升1海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30千米/时,当速度为10千米/时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元如果甲、乙两地相距800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为()a30千米/时b25千米/时c20千米/时d10千米

9、/时【解析】设航速为v(0v30),燃料费为m,则mkv3,v10时,m25,代入上式得k,则总费用y·m×40020v2,y40v.令y0,得v20.经判断知v20时,y最小,故选c.【答案】c2如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为()a.3 b.3c.3 d.3【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为v,则4r2hl,h,vr2hr22r3.则vlr6r2,令v0,得r0或r,而r0,r是其唯一的极值点当r时,v取得最大值,最大值为3.【答案】a3如图344,内接于抛物线y1x2的矩形abcd,其中a,b在抛物线上运动,c,d在x轴上运动,则此矩形的面积的

10、最大值是_图344【解析】设cdx,则点c坐标为,点b坐标为,矩形abcd的面积sf(x)x·x,x(0,2)由f(x)x210,得x1(舍),x2,x时,f(x)>0,f(x)是递增的；x时,f(x)<0,f(x)是递减的,当x时,f(x)取最大值.【答案】4某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加,年销售量y关于x的函数为y3 240,则当x为何值时,本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)×年销售量) 【导学号：26160100】【解】由题意,得本年度每辆车的投入成本为10(1x)万元,本年度每辆车出厂价为13(10.7 x)万元,本年度的年利润为f(x)13(10.7x)10(1x)y(30.9x)×3 240×3 240(0.9x34.8x24.