第五章第2节微积分基本公式

1、1微积分基本公式第二节一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式四、小结2变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(ttdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12tsts 一、问题的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中3 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，

2、定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数4abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、积分上限函数的性质、积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x5 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf

3、)( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x6、变限积分求导公式、变限积分求导公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）证明（证明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf7)(,sin)(xfdttxfx求求例例15321解：解：)()sin()(11232xxxf112232xxx)

4、sin(2例例)(,)(sinarctanxfdttxfxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxf25112xx)(arctan8例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.9例例 4 4 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)( xf.证证明函数明函数 xxdttfdtttfx

5、f00)()()(在在), 0( 内为单调增加内为单调增加函数函数. 证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf故故)(xf在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.11例例 5 5 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1

6、 , 0上上只只有有一一个个解解. 证证, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf)(xf在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xf即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令12定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函

7、数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.13定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xf是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，cxxf )()(,bax 证证三、牛顿莱布尼茨公式14令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()(

8、)(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式15)()()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxf)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.166例例dxx10210331x317例例dxx3121131xarctan)arcta

9、n(arctan13)(43 12717例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例9 9 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1218例例10 10 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 19例

10、例11 11 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx12013例例dxx 01 sindxxx 0222)cos(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1242114例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdxx)cos(sinc

11、ossin2212021343232)(2215例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解：解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim233.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系2424325p习题1110912119753165432,),)()()()()(,25思考题思考题 设

12、设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？26思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 27一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ .

13、 .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxi dxnxmx sinsin，练练 习习 题题28（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . .

14、9 9、 xdttxx020coslim_ . .29二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 30三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx

15、 . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .31五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .32八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .33一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5