人教版高中数学选修11：1.2 充分条件与必要条件 课时提升作业五 1.2.2 Word版含解析

1、起课时提升作业(五)充要条件的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设,-2,2,那么“<”是“tan<tan”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选c.在-2,2中,函数y=tanx为增函数,所以设,-2,2,那么“<”是“tan<tan”的充要条件.2.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a|b|”是“ab”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选a.由a·b=|a|b|得cos<a,b

2、>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而ab包括同向与反向两种情况.3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选d.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()a.p是q的充分条件,但不是q的必要条件b.p是q的必要条件,但不是q的充分条件c.p是q的充分必要

3、条件d.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选a.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.5.(2015·烟台高二检测)已知a,br,ab0,则“a>0,b>0”是“a+b2ab”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选c.当a>0,b>0时由基本不等式可得a+b2ab.当且仅当a=b时取等号.反之,当

4、a+b2ab时,由ab有意义结合a,b0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时a+b2<0与a+b2ab矛盾.故必有a>0,b>0成立,故“a>0,b>0”是“a+b2ab”的充要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·郑州高二检测)等差数列an的首项为a,公差为d,其前n项和为sn,则数列sn为递增数列的充要条件是.【解题指南】若sn为递增数列,则sn+1>sn(nn*),据此转化求解.【解析】由sn+1>sn(nn*)(n+1)a+n(n+1)2d>

5、;na+n(n-1)2d(nn*)dn+a>0(nn*)d0且d+a>0.因此数列sn为递增数列的充要条件是d0且d+a>0.答案:d0且d+a>07.(2015·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是.【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于2|1+1+m|2=2|m+2|=2m=-4或0.答案:m=-4或0【补偿训练】“x2-2x>0”的充要条件是.【解析】x2-2x>0x·(x-2)>0x>2或x<0.答

6、案:x>2或x<08.下列命题:“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为r”的充要条件;“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.其中真命题的序号为.【解析】x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;不等式解集为r的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故为假命题;当a=2时,两直线平

7、行,反之,两直线平行,a1=21,所以a=2,因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.求方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.【解析】方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于=100-12k>0,x1x2=k3>0,解得0<k<253,所以方程3x2-10x+k=0有两个

8、同号且不相等的实根的充要条件0<k<253.10.(2015·南京师大附中高二检测)已知数列an的前n项和sn=pn+q(p0且p1),求证:数列an为等比数列的充要条件为q=-1.【证明】充分性:当q=-1时,a1=s1=p-1;当n2时,an=sn-sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.于是an+1an=pn·(p-1)pn-1·(p-1)=p(p0且p1),即an为等比数列.必要性:当n=1时,a1=s1=p+q;当n2时,an=sn-sn-1=pn-1(p-1).因为p0且p1,所以当n2时,an+1an=pn·(p-1)p

9、n-1·(p-1)=p,可知等比数列an的公比为p.故a2a1=p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,解得q=-1.综上可知,q=-1是数列an为等比数列的充要条件.【误区警示】本题易弄错充分性与必要性而导致错误.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·福建高考)直线l:y=kx+1与圆o:x2+y2=1相交于a,b两点,则“k=1”是“oab的面积为12”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分又不必要条件【解题指南】小集合推出大集合.【解析】选a.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为a点,而b点也在圆上

10、,soab=12oa·obsinaob=12sinaob,因此aob必为直角,所以soab=12的等价条件是k=±1.2.(2015·西安高二检测)函数f(x)=a+sinx+3cosx有零点的充要条件为()a.a2b.a-2c.-2<a<2d.-2a2【解析】选d.函数f(x)=a+sinx+3cosx有零点方程a+sinx+3cosx=0有实数根方程-a=sinx+3cosx有实数根,由于-a=sinx+3cosx=2sin(x+60°),所以-2-a2,即-2a2.【延伸探究】本题改为函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+

11、sinx+3cosx有零点方程a+sinx+3cosx=0有实数根方程-a=sinx+3cosx有实数根.由于-a=sinx+3cosx=2sin(x+60°),所以-2-a2,即-2a2.所以函数f(x)=a+sinx+3cosx没有零点的充要条件为a<-2或a>2.答案:a<-2或a>2二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·佛山高二检测)数列an既是等差数列又是等比数列的充要条件为.【解析】依题意,an+1-an=d,且an+1an=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qan-an=d,所以an(q-1)=d对一切正整数n都成

12、立,故d=0,q=1,数列an为常数列.由于an=0不是等比数列,所以数列an既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列an是非零常数列.答案:数列an为非零常数列4.(2015·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是.【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|=log2x,x1,-log2x,0<x<1,要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,则0m-2<1<2m,所以2m<3.答案:2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·汕头高

13、二检测)已知数列an的前n项和为sn=(n+1)2+c,探究an是等差数列的充要条件.【解析】当an是等差数列时,因为sn=(n+1)2+c,所以当n2时,sn-1=n2+c,所以an=sn-sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.又a1=s1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,因为an是等差数列,所以a2-a1=2,所以1-c=2.所以c=-1,反之,当c=-1时,sn=n2+2n,可得an=2n+1(n1,nn*)为等差数列,所以an为等差数列的充要条件是c=-1.6.(2015·烟台高二检测)设a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边,证明:“

14、a2=b(b+c)”是“a=2b”的充要条件.【解题指南】从充分性与必要性两个方面证明.【证明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosa可得1+2cosa=cb=sincsinb.即sinb+2sinbcosa=sin(a+b).化简,得sinb=sin(a-b).由于sinb>0且在三角形中,故b=a-b,即a=2b.必要性:若a=2b,则a-b=b,sin(a-b)=sinb,又sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb.所以sin(a+b)=sinb(1+2cosa).因为a,b,c为abc的内角,所以sin(a+b)=sinc,即sinc=sinb(1+2cosa).所以sincsinb=1+2cosa=1+b2+c2-a2bc=b2+c2-a2+bcbc,即cb=b2+c2+bc-a2bc.化简得a2=b(b+c).所以“a2=b(b+c)”是“a=2b”的充要条件.【补偿训练】已知an为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为sn.求证:a1,ak,sk+2成等比数列的充要条件是k=6.【证明】设数列an的公差为d,由题意得2a1+3d=10,2a1+2d=8,解得a1=2,d=2,所以an=2+2(n-1)=2n,由此得sn=n(a1+an)2=n(2+2n)