第五章第4节广义积分

1、1反常积分（广义积分）第四节一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分2定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间), a上上连连续续，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间), a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .一、无穷限的广义积分无无穷穷限限广广义义积积分分adxxf,)(bdxxf,)(,)(dxxf3 bdxxf)(

2、 baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .类似类似 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim称积分称积分时时当右端两个积分都收敛当右端两个积分都收敛,dxxf)(;收敛收敛.否则称为发散否则称为发散:说明说明 dxxf)(.作中间限也可作中间限也可定义中用任意定义中用任意c41例例dxex0dxebxb0limbxbe0lim)(lim1bbe1几何意义几何意义5例例2 2 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021

3、xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 6例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 7例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛， 当当1 p时时发发散散. 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111px

4、p 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.85例dxxx031)(dxxx03111)(dxxx0321111)()(0212111)(xx219例6. 计算广义 积分0t dettp解: 原式 tpept( p 0)001t deptptpep21021p 说明说明: 广义积分只有先判断收敛后才能使用“偶倍奇零偶倍奇零”的性质 , 否则会出现错误 . 例如xdxx21)1ln(212x原积分发散 ,012xdxx?10 badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义

5、积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .二、无界函数的广义积分11类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而而)(limxfbx0，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存存在， 则称此极限为函数在， 则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广上的广义积分，义积分， 记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. . 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .12设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点外上除点外 c

6、连续，连续， )(limxfcx, ,如果两个广义积分如果两个广义积分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收敛，则定义都收敛，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.13例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinl

7、im 0arcsinlim0aa .2 14例例 2 2 证证明明广广义义积积分分 当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散. 证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxqdxxq10115例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln

8、(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.16例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx10313232) 1() 1(xdxxdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 175例04)(xxdx104)(xxdx14)(xxdx102arctanlim x bbx12arctanlim2 186例证明证明041xdxdxxx042122 证明证明则则令令,tx1041xdxdttt)(2041111dttt0421dttt0421dxxx0421